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4.3 三角函数的图象与性质 练出高分(含答案解析)


§ 4.3

三角函数的图象与性质

A 组 专项基础训练

(时间:35 分钟,满分:57 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 函数 y= π π? A.? ?-3,3? π π? B.? ?kπ-3,kπ+3?,k∈Z π π? C.? ?2kπ-3,2kπ+3?,k∈Z D.R 答案 C 1 解析 由题意得 cos x≥ , 2 π π 即 2kπ- ≤x≤2kπ+ ,k∈Z, 3 3 π π? 故函数定义域为? ?2kπ-3,2kπ+3?,k∈Z. π? 2. y=sin? ?x-4?的图象的一个对称中心是 A.(-π,0) 3π ? C.? ? 2 ,0? 答案 B 解析 ∵y=sin x 的对称中心为(kπ,0) (k∈Z), π π ∴令 x- =kπ (k∈Z),x=kπ+ (k∈Z), 4 4 π 3π 3π x- ?的一个对称中心是?- ,0?. 由 k=-1,x=- 得 y=sin? 4 ? ? ? 4 ? 4 π π π 0, ?上单调递增,在区间? , ?上单调递 3. (2011· 山东)若函数 f(x)=sin ωx (ω>0)在区间? ? 3? ? 3 2? 3π ? B.? ?- 4 ,0? π ? D.? ?2,0? ( ) 1 cos x- 的定义域为 2 ( )

减,则 ω 等于 2 A. 3 答案 B 解析 ∵f(x)=sin ωx(ω>0)过原点, π π ∴当 0≤ωx≤ ,即 0≤x≤ 时,y=sin ωx 是增函数; 2 2ω π 3π π 3π 当 ≤ωx≤ ,即 ≤x≤ 时,y=sin ωx 是减函数. 2 2 2ω 2ω π? 由 f(x)=sin ωx (ω>0)在? ?0,3?上单调递增, π π? π π 3 在? ?3,2?上单调递减知,2ω=3,∴ω=2. 5π ? 4. 函数 f(x)=cos 2x+sin? ? 2 +x?是 A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D.有最大值又有最小值的偶函数 答案 D 解析 3 B. 2 C.2 D.3

(

)

(

)

5π ? 1?2 9 2 ? f(x)=cos 2x+sin? ? 2 +x?=2cos x-1+cos x=2?cos x+4? -8.显然有最大值又有

最小值,而且在 R 上有 f(-x)=f(x),所以正确答案为 D. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 函数 y=lg(sin x)+ 1 cos x- 的定义域为____________________. 2

π 2kπ, +2kπ? (k∈Z) 答案 ? 3 ? ? sin x>0 ? ? 解析 要使函数有意义必须有? , 1 ?cos x-2≥0 ? sin x>0 2kπ<x<π+2kπ ? ? ? ? 即? (k∈Z), 1 ,解得? π π cos x≥ - + 2 k π ≤ x ≤ + 2 k π ? ? ? 2 3 ? 3 π ∴2kπ<x≤ +2kπ,k∈Z, 3 π ? ? ∴函数的定义域为?x|2kπ<x≤3+2kπ,k∈Z?.
? ?

π 6. 已知函数 f(x)=3sin(ωx- )(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同.若 6

π x∈[0, ],则 f(x)的取值范围是________. 2 答案 3 [- ,3] 2

解析 由对称轴完全相同知两函数周期相同, π ∴ω=2,∴f(x)=3sin(2x- ). 6 π π π 5 由 x∈[0, ],得- ≤2x- ≤ π, 2 6 6 6 3 ∴- ≤f(x)≤3. 2 π? 7. 函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在? ?0,4?上单调递增,且在这个区间上的最大值是 3,那么 ω= ________. 答案 4 3

π 0, ?上单调递增, 解析 因为 f(x)=2sin ωx (ω>0)在? 且在这个区间上的最大值是 3, 所 4 ? ? π π π 4 以 2sin ω= 3,且 0< ω< ,因此 ω= . 4 4 2 3 三、解答题(共 22 分) π 8. (10 分)设函数 f(x)=sin(2x+φ) (-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. 解 π π (1)令 2× +φ=kπ+ ,k∈Z, 8 2

π ∴φ=kπ+ ,k∈Z, 4 5 1 又-π<φ<0,则- <k<- ,k∈Z. 4 4 3π ∴k=-1,则 φ=- . 4 3π? (2)由(1)得:f(x)=sin? ?2x- 4 ?, π 3π π 令- +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z, 8 8 π 5π ? 因此 y=f(x)的单调增区间为? ?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z.

π? π π 9. (12 分)(1)求函数 y=2sin? ?2x+3? (-6<x<6)的值域; (2)求函数 y=2cos2x+5sin x-4 的值域. 解 π π π 2π (1)∵- <x< ,∴0<2x+ < , 6 6 3 3

π? ∴0<sin? ?2x+3?≤1, π? ∴y=2sin? ?2x+3?的值域为(0,2]. (2)y=2cos2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4 =-2sin2x+5sin x-2 5?2 9 =-2? ?sin x-4? +8. ∴当 sin x=1 时,ymax=1,当 sin x=-1 时,ymin=-9, ∴y=2cos2x+5sin x-4 的值域为[-9,1].

B 组 专项能力提升

(时间:25 分钟,满分:43 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) π 1. (2012· 天津)将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象向右平移 个单位长度,所得图象经过点 4

?3π,0?,则 ω 的最小值是 ?4 ?
1 A. 3 答案 D π x- ?, 解析 根据题意平移后函数的解析式为 y=sin ω? ? 4? 3π ? ωπ 将? ? 4 ,0?代入得 sin 2 =0,则 ω=2k,k∈Z,且 ω>0, 故 ω 的最小值为 2. B.1 5 C. 3 D.2

(

)

π 2π nπ 2. (2012· 上海)若 Sn=sin +sin +…+sin (n∈N*),则在 S1,S2,…,S100 中,正数的 7 7 7 个数是 A.16 答案 C 解析 易知 S1>0,S2>0,S3>0,S4>0,S5>0,S6>0,S7>0. B.72 C.86 ( D.100 )

π 2π 7π 8π S8=sin +sin +…+sin +sin 7 7 7 7 =sin 2π 3π 7π +sin +…+sin >0, 7 7 7 3π 4π 7π +sin +…+sin >0, 7 7 7 4π 7π +…+sin >0, 7 7 5π 6π 7π +sin +sin >0, 7 7 7 6π 7π +sin >0, 7 7 7π =0, 7 7π 14π +sin =0, 7 7

S9=sin S10=sin S11=sin S12=sin S13=sin S14=sin

∴S1,S2,…,S100 中, S13=0,S14=0,S27=0,S28=0,S41=0,S42=0,S55=0, S56=0,S69=0,S70=0,S83=0,S84=0,S97=0,S98=0,共 14 个. ∴在 S1,S2,…,S100 中,正数的个数是 100-14=86(个). π π? 3. 已知函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在区间? ?-3,4?上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于( 2 A. 3 答案 B 解析 ∵f(x)=2sin ωx (ω>0)的最小值是-2, 2kπ π π 2kπ π π ∴x= - ,k∈Z,∴- ≤ - ≤ ,k∈Z, ω 2ω 3 ω 2ω 4 3 3 ∴ω≥-6k+ 且 ω≥8k-2,k∈Z,∴ωmin= ,故选 B. 2 2 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) π π 4. 函数 y=2sin(3x+φ) (|φ|< )的一条对称轴为 x= ,则 φ=________. 2 12 答案 π 4 3 B. 2 C.2 D.3 )

π π 解析 由题意得 3× +φ=kπ+ ,k∈Z, 12 2 π π π ∴φ=kπ+ ,k∈Z,又|φ|< ,∴φ= . 4 2 4 sin x+1 5. 函数 y= (0<x<π)的最小值为________. sin x

答案 2 1 1 解析 令 sin x=t∈(0,1],则函数 y=1+ ,t∈(0,1].又 y=1+ 在 t∈(0,1]上是减函数, t t 所以当 t=1 时,y 取得最小值 2. 6. 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:当 sin x≤cos x 时,f(x)=cos x,当 sin x>cos x 时,f(x) =sin x. 给出以下结论: ①f(x)是周期函数; ②f(x)的最小值为-1; ③当且仅当 x=2kπ (k∈Z)时,f(x)取得最小值; π ④当且仅当 2kπ- <x<(2k+1)π(k∈Z)时,f(x)>0; 2 ⑤f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2π. 其中正确的结论序号是________. 答案 ①④⑤ 解析 易知函数 f(x)是周期为 2π 的周期函数. 函数 f(x)在一个周期内的图象如图所示. 由图象可得,f(x)的最小值为- 2 5π ,当且仅当 x=2kπ+ (k∈Z)时,f(x)取得最小值;当 2 4

π 且仅当 2kπ- <x<(2k+1)π (k∈Z)时,f(x)>0;f(x)的图象上相邻两个最低点的距离是 2π. 2 所以正确的结论的序号是①④⑤. 三、解答题 π? ? π? 7. (13 分)已知 a>0,函数 f(x)=-2asin? ?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; π? (2)设 g(x)=f? ?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 解 π? π ?π 7π? (1)∵x∈? ?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ?.

π? ? 1 ? ∴sin? ?2x+6?∈?-2,1?, π? ∴-2asin? ?2x+6?∈[-2a,a]. ∴f(x)∈[b,3a+b],又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1,因此 a=2,b=-5. π? (2)由(1)得,f(x)=-4sin? ?2x+6?-1,

π? 7π? ? g(x)=f? ?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1 π? =4sin? ?2x+6?-1, 又由 lg g(x)>0,得 g(x)>1, π? π? 1 ? ∴4sin? ?2x+6?-1>1,∴sin?2x+6?>2, π π 5π ∴2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6 π π π π 其中当 2kπ+ <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z, 6 6 2 6 π? ∴g(x)的单调增区间为? ?kπ,kπ+6?,k∈Z. π π 5π π π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递减,即 kπ+ <x<kπ+ ,k∈Z. 2 6 6 6 3 π π? ∴g(x)的单调减区间为? ?kπ+6,kπ+3?,k∈Z.


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