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高中数学必修一3.1函数与方程练习题及答案


高中数学必修一 3.1 函数与方程练习题及答案
1 y ? x 2 , y ? ( ) x , y ? 4 x 2 , y ? x 5 ? 1, y ? ( x ? 1) 2 , y ? x, y ? a x (a ? 1) 2 1. 若
上述函数是幂函数的个数是( A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 ) )

2. 已

知 f ( x) 唯一的零点在区间 (1,3) 、 (1, 4) 、 (1,5) 内,那么下面命题错误的(

? 2,3? 内有零点 A.函数 f ( x) 在 (1, 2) 或
B.函数 f ( x) 在 (3,5) 内无零点 C.函数 f ( x) 在 (2,5) 内有零点 D.函数 f ( x) 在 (2, 4) 内不一定有零点 3. 若 a ? 0, b ? 0, ab ? 1, loga b ? log 1 a A. C.
2

log 1 a ? ln 2
2

loga b 与 ,则
2

log 1 a
2

的关系是(



loga b ? log 1 a
B. D.
2

loga b ? log 1 a
2

loga b ? log 1 a
3

4. 求函数 f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 零点的个数为 ( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4



5. 已知函数 y ? f ( x) 有反函数,则方程 f ( x) ? 0 ( A.有且仅有一个根 C.至少有一个根
2



B.至多有一个根 D.以上结论都不对 )

6. 如果二次函数 y ? x ? mx ? (m ? 3) 有两个不同的零点,则 m 的取值范围是( A. ?? 2,6? B. ?? 2,6? C. ?? 2,6? D.

? ??, ?2? ?6, ???


7. 某林场计划第一年造林 10000 亩,以后每年比前一年多造林 20% ,则第四年造林( A. 14400 亩 B. 172800 亩 C. 17280 亩 D. 20736 亩

8. 若函数 f ?x ? 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是 f ?x ? =

(3, 4 27) ,则 f ( x) 的解析式是_____________ 9. 幂函数 f ( x ) 的图象过点

3 x ? 2.5 ,那么下一个 10. 用“二分法”求方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 在区间 [2,3] 内的实根,取区间中点为 0

有根的区间是 11. 函数 f ( x) ? ln x ? x ? 2 的零点个数为

? a, b? 上连续,若满足 12. 设函数 y ? f ( x) 的图象在


,方程 f ( x) ? 0

? a, b? 上有实根.
f ( x) ? x ? 1 x 在 x ??1, ??? 上是增函数.

13. 用定义证明:函数

14. 设

x1 与 x2 分别是实系数方程 ax2 ? bx ? c ? 0 和 ?ax2 ? bx ? c ? 0 的一个根,且

a 2 x ? bx ? c ? 0 x1 ? x2 , x1 ? 0, x2 ? 0 ,求证:方程 2 x x 有仅有一根介于 1 和 2 之间.

?0,1? 上有最大值 2 ,求实数 a 的值 . 15. 函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 1 ? a 在区间
2

16. 某商品进货单价为 40 元,若销售价为 50 元,可卖出 50 个,如果销售单价每涨 1 元,销售量就 减少 1 个,为了获得最大利润,则此商品的最佳售价应为多少?

17. 函数 y

? x3 (



A.是奇函数,且在 R 上是单调增函数 B.是奇函数,且在 R 上是单调减函数 C.是偶函数,且在 R 上是单调增函数 D.是偶函数,且在 R 上是单调减函数 18. 已知 a ? log 2 0.3, b ? 2 A. a ? b ? c C. a ? c ? b B. c ? a ? b D. b ? c ? a
5

0.1

, c ? 0.2 1.3 ,则 a, b, c 的大小关系是(



19. 函数 f ( x) ? x ? x ? 3 的实数解落在的区间是( A. [0,1] B. [1, 2] C. [2,3] D. [3, 4]

)

20. 函数 f ( x ) 对一切实数 x 都满足 根的和为 21. 若函数

1 1 f ( ? x) ? f ( ? x) 2 2 ,并且方程 f ( x) ? 0 有三个实根,则这三个实

f ( x) ? 4 x ? x 2 ? a

的零点个数为 3 ,则 a ? ______

22. 一个高中研究性学习小组对本地区 2000 年至 2002 年快餐公司发展情况进行了调查,制成了该 地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图(如图) ,根据图中提 供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭 万盒.

23. 已知 2 ? 256且
x
2

log 2 x ?

1 x f ( x) ? log2 ? log 2 ,求函数 2


2

x 2 的最大值和最小值.

24. 函数y==x -6x+10在区间(2,4)上是( A.递减函数 C.先递减再递增 B.递增函数

D.选递增再递减. )

25. 函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-∞,4)上是增函数,则a的范围是( A.a≥5 B.a≥3 C.a≤3 D.a≤-5

1 26. 函数y= x+1 的单调区间为___________.
27. 函数f(x)=2x2-3|x|的单调减区间是___________.

1 28. 确定函数y=x+ x (x>0)的单调区间,并用定义证明.

29. 快艇和轮船分别从A地和C地同时开出,如右图,各沿箭头方向航行,快艇和轮船的速度分别是 45千米/时和15千米/时,已知AC=150千米,经过多少时间后,快艇和轮船之间的距离最短?

30. 设f(x)是定义在R上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y) ,f(3)=1,求解不等式f(x)+f (x-2)>1.

答案1. C. y ? x , y ? x 是幂函数
2

2. C. 唯一的零点必须在区间 (1,3) ,而不在 3. A.
2

?3,5?
2

log 1 a ? ln 2 ? 0, 得0 ? a ? 1, b ? 1 loga b ? 0,log 1 a ? 0


4. C. f ( x) ? 2 x ? 3x ? 1 ? 2x ? 2x ? x ? 1 ? 2x( x ?1) ? ( x ?1)
3 3 2 2 ? ( x ?1 ) ( x 2 ? x 2?, 1) 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 显然有两个实数根,共三个;

5. B.可以有一个实数根,例如 y ? x ? 1 ,也可以没有实数根, 例如 y ? 2
x

6. D. ? ? m ? 4(m ? 3) ? 0, m ? 6 或 m ? ?2
2

7. C. 10000(1? 0.2) ? 17280
3

1 8. x

设 f ( x) ? x , 则 ? ? ? 1

?

9. f ( x) ?

4

x

3

f ( x)? x 图象过点( , 3 , 2 7, )
4
3

?

3? ? 4 27 ? 3 4 , ? ?
3

3

3 4

10. [2, 2.5) 11. 2

令 f ( x) ? x ? 2x ? 5, f (2) ? ?1 ? 0, f (2.5) ? 2.5 ?10 ? 0

分别作出 f ( x) ? ln x, g ( x) ? x ? 2 的图象;

12. f (a) f (b) ? 0

见课本的定理内容

1 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(1 ?
13. 证明:设 即

1 )?0 x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
1 x 在 x ??1, ??? 上是增函数

f ( x) ? x ?
∴函数

f ( x) ?
14. 解:令

a 2 x ? bx ? c, ax 2 ? bx1 ? c ? 0, ?ax22 ? bx2 ? c ? 0 2 由题意可知 1

bx1 ? c ? ?ax12 , bx2 ? c ? ax22 ,
f ( x2 ) ?

f ( x1 ) ?

a 2 a a x1 ? bx1 ? c ? x12 ? ax12 ? ? x12 , 2 2 2

a 2 a 3a 2 x2 ? bx2 ? c ? x2 2 ? ax2 2 ? x2 , a ? 0, x1 ? 0, x2 ? 0 2 2 2 因为

a 2 x ? bx ? c ? 0 f ( x ) f ( x ) ? 0 x x 1 2 ∴ ,即方程 2 有仅有一根介于 1 和 2 之间.
15. 解:对称轴 x ? a , 当 当

a ? 0, ?0,1?

f ( x)max ? f (0) ? 1 ? a ? 2 ? a ? ?1 ; 是 f ( x ) 的递减区间,

a ? 1, ?0,1?

f ( x)max ? f (1) ? a ? 2 ? a ? 2 ; 是 f ( x ) 的递增区间,
f ( x)max ? f (a) ? a 2 ? a ? 1 ? 2, a ? 1? 5 , 2 与 0 ? a ? 1 矛盾;

当 0 ? a ? 1时

所以 a ? ?1 或 2

16. 解:设最佳售价为 (50 ? x) 元,最大利润为

y 元,

y ? (50 ? x)(50 ? x) ? (50 ? x) ? 40 ? ? x2 ? 40 x ? 500
当 x ? 20 时, 17. A.

y 取得最大值,所以应定价为 70 元

f (?x) ? (?x)3 ? ?x 3 ? ? f ( x) 为奇函数且为增函数

18. C.

a ? log 2 0.3 ? 0, b ? 20.1 ? 1, c ? 0.21.3 ? 1

19. B. f (0) ? ?3 ? 0, f (1) ? ?1 ? 0, f (2) ? 31 ? 0, f (1) ? f (2) ? 0

3 20. 2

x?
对称轴为

1 1 1 x? x? 2 ,可见 2 是一个实根,另两个根关于 2 对称

21. 4

作出函数

y ? x2 ? 4x

与函数 y ? 4 的图象,发现它们恰有 3 个交点

22. 85

2000年: 30 ?1.0 ? 30 (万) ;2001年: 45 ? 2.0 ? 90 (万) ;

2002年: 90 ?1.5 ? 135 (万) ;

x?

30 ? 90 ? 135 ? 85 3 (万)

1 ? log 2 x ? 3 log x ? 3 2 23. 解:由 2 ? 256 得 x ? 8 , 即2
x

3 1 f ( x) ? (log 2 x ? 1) ? (log 2 x ? 2) ? (log 2 x ? ) 2 ? 2 4
3 1 log 2 x ? , f ( x) min ? ? 2 4 ,当 log2 x ? 3, f ( x)max ? 2 当
24. C解析:本题可以作出函数y=x -6x+10的图象,根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递 增. 25. A解析:本题作出函数f(x)=-x +2(a-1)x+2的图象,可知此函数图象的对称轴是 x=a -1,由图象可知,当a-1≥4,即当a≥5时,函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-∞,4)上 是增函数. 26. (-∞,-1) , (-1,+∞)
2 2

3 3 27. [0, 4 ] , (-∞,- 4 )
28. 解:本题可利用计算机作出该函数的图象,通过图象求得单调区间,最后用单调性的定义证明. 答案:增区间(1,+∞) ,减区间(0,1) .

29. 解:设经过x小时后快艇和轮船之间的距离最短,距离设为y,

y= (150-45 x) 2 +(15 x) 2 (0<x ?
答案:3小时.

10 ) 3 ,可求得当x=3时,y有最小值.

30. 解:由条件可得f(x)+f(x-2)=f[x(x-2) ] ,1=f(3) .所以f[x(x-2) ]>f(3) , 又f(x)是定义在R上的增函数,所以有x(x-2)>3,可解得x>3或x<-1. 答案:x>3或x<-1.


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