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2014-2015学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(含答案)


2014-2015 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)

数学Ⅰ试题
1.已知集合 A ? ?x ?1 ? x ? 1?, B ? ?x x ? 0? ,则 A 2.若复数
B?

. .

5 ? m (i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 m ? 1 ? 2i

y2 . ? 1 的离心率为 2 4.在一次满分为 160 分的数学考试中,某班 40 名学生的考试成绩分布如下:
3.双曲线 x2 ? 成绩(分) 80 分以下 人数 8 [80,100) 8 [100,120) 12 [120,140) [140,160] 10 的 2 概 率



在该班随机抽取一名学生, 则该生在这次考试中成绩在 120 分以上 P . .
A

5.函数 y ? ln( x2 ? 2) 的定义域为

6.如图,四棱锥 P-ABCD 中, PA ⊥底面 ABCD , 底面 ABCD 是矩形, AB ? 2 , AD ? 3 , PA ? 4 , 点 E 为棱 CD 上一点,则三棱锥 E-PAB 的体积为

D E



B (第6题)

C

7.右图是一个算法流程图,则输出的 x 的值为
2 8.已知等比数列 ?an ? 的各项均为正数,若 a4 ? a2 ,



开始 n←1 ,x←1 x← x x+1

a2 ? a4 ?

5 ,则 a5 ? 16



9.若曲线 C1 : y ? ax3 ? 6 x2 ? 12 x 与曲线 C2 : y ? e x 在 x ? 1 处的两条切线互相垂直,则实数 a 的值为 .

n ← 2 ny ? 1 y ← ?1 n>5 Y 输出 x 结束
(第 7 题)

π 10.设函数 f ( x) ? sin(ωx ? φ) ? 3 cos(ωx ? φ)(ω ? 0, φ ? ) 2 的最小正周期为 π ,且满足 f (? x) ? f ( x) ,则函数 f ( x)
的单调增区间为 .

N

11.如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为 DC 的中点, AE 与 BD 交于点 M, AB ? 2 , AD ? 1 ,且

1 . MA ? MB ? ? ,则 AB ? AD ? 6 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C:
x2 ? ( y ? 3)2 ? 2 ,点 A 是 x 轴上的一个动点,AP,

AQ 分别切圆 C 于 P,Q 两点,则线段 PQ 长的取值范围为 . 1 1 13.已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 f ( x) ? x ? ? x ? 恰有四个不同的交点,则实数 k 的取值 x x 范围为 .
2 1 ? 的最小值为 x ? 3y x ? y

14.已知实数 x, y 满足 x ? y ? 0 ,且 x ? y ? 2 ,则



π ? ? 15.已知向量 a ? ? sin(α ? ),3 ? , b ? (1, 4cos a ) , α ? (0, π) . 6 ? ?

(1)若 a ⊥ b ,求 tan α 的值; (2)若 a ∥ b ,求 α 的值.

16.如图,四边形 AA1C1C 为矩形,四边形 CC1 B1 B 为菱形,且平面 CC1 B1 B ⊥平面 AA1C1C , D,E 分别为边 A1 B1 , C1C 的中点. (1)求证: BC1 ⊥平面 AB1C ; (2)求证:DE∥平面 AB1C .
C1

B1

B

D

E

C

A1

(第16题)

A

17.如图,有一段河流,河的一侧是以 O 为圆心,半径为 10 3 米的扇形区域 OCD,河的 另一侧是一段笔直的河岸 l,岸边有一烟囱 AB(不计 B 离河岸的距离) ,且 OB 的连线恰 好与河岸 l 垂直, 设 OB 与圆弧 CD 的交点为 E. 经测量, 扇形区域和河岸处于同一水平面, 在点 C,点 O 和点 E 处测得烟囱 AB 的仰角分别为 45 ? , 30 ? 和 60 ? . (1)求烟囱 AB 的高度; (2)如果要在 CE 间修一条直路,求 CE 的长.

l

(第 17 题)

18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 点 (1,

2 x2 y 2 ,且过 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

6 ) ,过椭圆的左顶点 A 作直线 l ? x 轴,点 M 为直线 l 上的动点,点 B 为椭圆 2

右顶点,直线 BM 交椭圆 C 于 P. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求证: AP ? OM ; (3)试问 OP ? OM 是否为定值?若是定值, 请求出该定值;若不是定值,请说明理由.

19.已知函数 f ( x) ? ex x2 ? a (a… 0) . (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 的单调减区间; (2)若方程 f ( x) ? m 恰好有一个正根和一个负根,求实数 m 的最大值.

20. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 设数列 {bn } 满足 bn ? 2(Sn?1 ? Sn )Sn ? n(Sn?1 ? Sn )(n ? N? ) . (1)若数列 ?an ? 为等差数列,且 bn ? 0 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,且数列 ?a2n?1? , ?a2 n ? 都是以 2 为公比的等比数列,求满足不 等式 b2 n ? b2 n ?1 的所有正整数 n 的集合.

B 21.A.如图,AB 为圆 O 的切线,A 为切点,C 为线段 AB 的 中点,过 C 作圆 O 的割线 CED(E 在 C,D 之间) , 求证:∠CBE=∠BDE. D O

E A

C

(第 21A 题)

?1 0 ? B. 求曲线 x ? y ? 1在矩阵 M ? ? 1 ? 对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积. ?0 ? ? 3? ? ?

C.在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 r ? 2cos q ? 2sin q ,以极点为坐标原点,极轴

? ? x ? 1 ? t, 为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),求直线 l ? ? y ? 3t
被曲线 C 所截得的弦长.

D.求函数 y ? 1 ? x ? 3x ? 2 的最大值.

22.如图,在四棱锥 P-ABCD 中, PA ? 底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,
P

?ABC ? 60? , PA ? 6 ,M 为 PC 的中点.

(1)求异面直线 PB 与 MD 所成的角的大小; (2)求平面 PCD 与平面 PAD 所成的二面角的正弦值.
M A D

B
(第 22 题)

C

23.若存在 n 个不同的正整数 a1 , a2 ,

, an ,对任意 1 剟i ? j

n ,都有

ai ? a j ai ? a j

? Z ,则称这 n

个不同的正整数 a1 , a2 ,

. , an 为“ n 个好数”

(1)请分别对 n ? 2 , n ? 3 构造一组“好数” ; (2)证明:对任意正整数 n(n …2) ,均存在“ n 个好数” .

苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学参考答案
一、填空题 1. ?x 0 ? x ? 1? 6.4 11. 7. 2. ?1 3. 3 4.0.3 5. ??, ? 2

?

? ?

2, ??

?

1 6

8.

1 32

9. ?

1 3e

π 10. [? ? kπ, kπ],(k ? Z) 2
14.
3? 2 2 4

2 14 3 , 2 2) 12. [ 3 4 二、解答题

1 1 13. {? ,0, } 8 8

π 15.解: (1)因为 a ⊥ b ,所以 sin(α ? ) ? 12cos α ? 0 , 6


???????????2 分

3 1 3 25 sin α ? cos α ? 12 cos α ? 0 ,即 sin α ? cos α ?0 , ???????4 分 2 2 2 2

又 cos α ? 0 ,所以 tan α ? ?

25 3 . ??????????????????6 分 3

π (2)若 a ∥ b ,则 4cos αsin( α ? ) ? 3 , 6
即 4 cos α (
3 1 sin α ? cos α) ? 3 , 2 2

?????????????????8 分

所以 3 sin 2α ? cos 2α ? 2 , ?????????????????????10 分

π 所以 sin(2α ? ) ? 1 , ????????????????????????11 分 6
因为 α ? (0, π) ,所以 2α ? 所以 2α ?

π π 13π ?( , ), 6 6 6

???????????????13 分

π π π ? ,即 α ? . 6 2 6

????????????????????14 分

16.证明: (1)∵四边形 AA1C1C 为矩形,∴ AC ? C1C ,????????????2 分 又平面 CC1 B1 B ⊥平面 AA1C1C ,平面 CC1 B1 B 平面 AA1C1C = CC1 ,

∴ AC ? 平面 CC1 B1 B , ???????????????????????3 分 ∵ C1 B ? 平面 CC1 B1 B ,∴ AC ? C1 B , ?????????????????4 分 又四边形 CC1 B1 B 为菱形,∴ B1C ? BC1 , ????????????????5 分 ∵ B1C
AC ? C , AC ? 平面 AB1C , B1C ? 平面 AB1C ,

∴ BC1 ⊥平面 AB1C . ?????????????????????????7 分 (2)取 AA1 的中点 F,连 DF,EF, ∵四边形 AA1C1C 为矩形,E,F 分别为 C1C , AA1 的中点, ∴EF∥AC,又 EF ? 平面 AB1C , AC ? 平面 AB1C , ∴EF∥平面 AB1C , ????????????????????????10 分 又∵D,F 分别为边 A1 B1 , AA1 的中点, ∴DF∥ AB1 ,又 DF ? 平面 AB1C , AB1 ? 平面 AB1C , ∴DF∥平面 AB1C ,∵ EF
DF ? F , EF ? 平面 DEF, DF ? 平面 DEF,

∴平面 DEF∥平面 AB1C ,??????????????????????12 分 ∵ DE ? 平面 DEF,∴DE∥平面 AB1C .????????????????14 分 17.解: (1)设 AB 的高度为 h , 在△CAB 中,因为 ?ACB ? 45? ,所以 CB ? h , 在△OAB 中,因为 ?AOB ? 30? , ?AEB ? 60? , 所以 OB ? 3h , EB ? 由题意得 3h ?
3 h, 3

????????????1 分 ????????????2 分

?????????????????????4 分

3h ? 10 3 ,解得 h ? 15 . ???????????????6 分 3 答:烟囱的高度为 15 米. ???????????????????????7 分

(2)在△OBC 中, cos ?COB ?

OC 2 ? OB2 ? BC 2 2OC ? OB

?

300 ? 225 ? 3 ? 225 2 ? 10 3 ? 15 3

?

5 , 6

???????10 分

所以在△OCE 中, CE 2 ? OC 2 ? OE 2 ? 2OC ? OE cos ?COE 5 ???????13 分 ? 300 ? 300 ? 600 ? ? 100 . 6 答:CE 的长为 10 米. ???????????????????????14 分 18.解: (1)∵椭圆 C:
2 x2 y 2 , ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b 6 1 3 ∴ a2 ? 2c2 ,则 a2 ? 2b2 ,又椭圆 C 过点 (1, ) ,∴ 2 ? 2 ? 1 .????2 分 2 a 2b 2 2 ∴a ? 4 ,b ? 2, x2 y 2 则椭圆 C 的方程 ? ? 1 . ???????????????????4 分 4 2

(2)设直线 BM 的斜率为 k,则直线 BM 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 P( x1 , y1 ) , 将 y ? k ( x ? 2) 代入椭圆 C 的方程

x2 y 2 ? ? 1 中并化简得: 4 2

(2k 2 ? 1) x2 ? 4k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 ,?????????????????????6 分

解之得 x1 ?

4k 2 ? 2 , x2 ? 2 , 2k 2 ? 1

∴ y1 ? k ( x1 ? 2) ?

4k 2 ? 2 ?4k ?4k ,从而 P( 2 , ) .????????????8分 2 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1

令 x ? ?2 ,得 y ? ?4k ,∴ M (?2, ?4 k) , OM ? (?2, ?4k ) . ?????????9 分 又 AP ? (

4k 2 ? 2 ?4k 8k 2 ?4k = ? 2, ) ( , 2 ) , ?????????????11 分 2 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2 2 ?16k 16k ∴ AP ? OM ? 2 ? 2 ? 0, 2k ? 1 2k ? 1 ∴ AP ? OM . ???????????????????????????13 分 4k 2 ? 2 ?4k ?8k 2 ? 4 ? 16k 2 8k 2 ? 4 , 2 ) ? (?2, ?4k ) = ? 2 ?4. 2 2k ? 1 2k ? 1 2k 2 ? 1 2k ? 1
??????????????????????16 分 ?????????????1 分

(3) OP ? OM ? (

∴ OP ? OM 为定值 4.

?e x ( x2 ? 1), x ? 1, ? 19.解: (1)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x 2 ? ?e (1 ? x ), x ? 1,
当 x ? 1 时, f ?( x) ? e x ( x2 ? 2 x ? 1) ,

由 f ?( x) ? 0 ,解得 ?1 ? 2剟 x ? 1+ 2 , 所以 f ( x) 的单调减区间为 [?1 ? 2, ?1] , 当 x ? 1 时, f ?( x) ? ?e x ( x2 ? 2 x ? 1) , 由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 ? 2 或 x…? 1+ 2 , 所以 f ( x) 的单调减区间为 [?1+ 2,1] , ?????????????????5 分 ?????????6 分 ???????????????3 分

综上: f ( x ) 的单调减区间为 [?1+ 2,1] , [?1 ? 2, ?1] .

(2) 当 a ? 0 时, f ( x) ? e x ? x2 ,则 f ?( x) ? ex ? x2 ? 2x ? e x ? e x x( x ? 2) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? ?2 , (??, ?2) x ?2
f ?( x) f ( x) (?2,0)
(0, ??)

0 0 极小值

+ ↗

0 极大值

- ↘

+ ↗

所以 f ( x) 有极大值 f (?2) ?

4 ,极小值 f (0) ? 0 ,?????????????7 分 e2

x 2 ? ?e ( x ? a ), x ? a , 当 a ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? ?e (a ? x ), x ? a ,

同(1)的讨论可得, f ( x) 在 (??, ? a ? 1 ? 1) 上增,在 (? a ? 1 ? 1, ? a ) 上减, 在 (? a , a ? 1 ? 1) 上增,在 ( a ? 1 ? 1, a ) 上减,在 ( a , ??) 上增,?????8 分 且函数 y ? f ( x) 有两个极大值点,
f (? a ? 1 ? 1) ? 2e ? f ( a ? 1 ? 1) ? 2e
a ?1 ?1

( a ? 1 ? 1) ? 2e

2e?
a ?1

a ?1

( a ? 1 ? 1) ,??????????9 分 e

a ?1 ?1

( a ? 1 ? 1) ?

( a ? 1 ? 1) ,???????????10 分 e
a ?1

且当 x ? a ? 1 时, f (a ? 1) ? ea ?1 (a 2 ? a ? 1) ? e 所以若方程 f ( x) ? m 恰好有正根,

( a ? 1 ? 1) ?

2e

a ?1

( a ? 1 ? 1) , e

则 m ? f ( a ? 1 ? 1) (否则至少有二个正根) . ??????????????11 分

又方程 f ( x) ? m 恰好有一个负根,则 m ? f (? a ? 1 ? 1) . ?????????12 分 令 g ( x) ? e? x ( x ? 1), x …1 ,则 g ?( x) ? ? xe? x ? 0 ,

2 所以 g ( x) ? e? x ( x ?1) 在 x …1 时单调减,即 g ( x) ? g (1) ? ,?????????13 分 e 等号当且仅当 x ? 1 时取到. 2 所以 f (? a ? 1 ? 1) ? ( ) 2 ,等号当且仅当 a ? 0 时取到. e
且此时 f ( a ? 1 ? 1) ? 2e
a ?1?1

( a ? 1 ? 1) ? 0 ,???????????????14 分

即 f (? a ? 1 ? 1) ? f ( a ? 1 ? 1) , ???????????????????15 分 所以要使方程 f ( x) ? m 恰好有一个正根和一个负根, m 的最大值为 20.解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d , 所以 an ?1 ? a1 ? nd , Sn ? na1 ?

4 .???16 分 e2

n(n ? 1) d , ????????????????1 分 2

由 bn ? 2(Sn?1 ? Sn )Sn ? n(Sn?1 ? Sn )(n ? N? ) ,得 bn ? 2an?1Sn ? n(2Sn ? an ?1 ) ,及由 bn ? 0 ,
n(n ? 1) ? ? d ? ? n ? 2na1 ? n(n ? 1)d ? a1 ? nd ? ? 0 又由 bn ? 0 ,得 2(a1 ? nd ) ? na1 ? 2 ? ?

对一切 n ? N? 都成立, ????????????????????????3 分 即 d 2 ? d n2 ? (3a1d ? d 2 ? 2a1 )n ? 2a12 ? a1d ? a1 ? 0 对一切 n ? N? 都成立.
? d ? 0, ? d ? 1, 令 n ? 1 , n ? 2 ,解之得 ? 或? a ? 0, ? 1 ? a1 ? 1,

?

?

经检验,符合题意,

所以 ?an ? 的通项公式为 an ? 0 或 an ? n . ????????????????5 分 (2)由题意得 a2n?1 ? 2n?1 , a2n ? 3 ? 2n?1 , S2n ? 2n ? 1 ? 3(2n ? 1) ? 4 ? 2n ? 4 ,
S2n?1 ? S2n ? a2n ? 4 ? 2n ? 4 ? 3 ? 2n?1 ? 5 ? 2n?1 ? 4 .?????????????6 分
b2n ? 2a2n?1S2n ? 2n(2S2n ? a2n ?1 ) ? 2 ? 2n ? (4 ? 2n ? 4) ? 2n(8 ? 2n ? 8 ? 2n )

? 2n?1 (2n? 2 ? 9n ? 4) ? 16n .

????????????????????7 分

b2n?1 ? 2a2n S2n?1 ? (2n ? 1)(2S2n?1 ? a2n )

? 6 ? 2n?1 ? (5 ? 2n?1 ? 4) ? (2n ? 1)(10 ? 2n?1 ? 8 ? 3 ? 2n?1 ) ? 2n?1 (30 ? 2n?1 ? 26n ? 11) ? 16n ? 8 .

???????????????8 分

b2n ? b2n?1 ? 2n?1 (2n? 2 ? 9n ? 4) ? 16n ? [2n?1 (30 ? 2n?1 ? 26n ? 11) ? 16n ? 8]

5 5 ? 2n (2n?1 ? 5n ? ) ? 8 ? 22n?1 ? 8 ? 2n (5n ? ) . 2 2

?????????9 分

5 1 5 记 f (n) ? 22n?1 ? 8 ? 2n (5n ? ) ,即 f (n) ? 2n [ ? 2n ? (5n ? )] ? 8 , ?????10 分 2 2 2 1 5 记 g (n) ? ? 2n ? (5n ? ) , 2 2 1 15 1 5 则 g (n ? 1) ? g (n) ? ? 2n?1 ? (5n ? ) ? ? 2n ? 5n ? 2 2 2 2 1 ? ? 2n ? 5 , 2 n ? 1 当 ,2,3 时, g (n ? 1) ? g (n) ? 0 , 1 当 n ? N * 时, n ≥ 4 , g (n ? 1) ? g (n) ? ? 2n ? 5 ? 0 , ??????????12 分 2
因为 n ? 1 时, g (1) ? ?

13 1 53 ? 0 ,所以 g (4) ? 0 ;且 g (6) ? ? ? 0 ; g (7) ? ?0. 2 2 2

1 5 所以 f (n) ? 2n [ ? 2n ? (5n ? )] ? 8 在 n ≥ 7(n ? N*) 时也是单调递增, ????14 分 2 2
n ? 1 时, f (1) ? ?5 ? 0 ; n ? 2 时, f (2) ? ?34 ? 0 ; n ? 3 时, f (3) ? ?100 ? 0 ; n ? 4 时, f (4) ? ?224 ? 0 ; n ? 5 时, f (5) ? ?360 ? 0 ; n ? 6 时, f (6) ? ?24 ? 0 ; n ? 7 时, f (7) ? 3400 ? 0 ,

所以满足条件的正整数 n 的集合为{1,2,3,4,5,6} .?????????16 分 21、A.证明:因为 CA 为圆 O 的切线,

所以 CA2 ? CE ? CD ,

????????????????????????3 分

又 CA ? CB ,所以 CB 2 ? CE ? CD ,即

CB CD , ? CE CB

??????????5 分 ?????????????8 分

又 ?BCD ? ?BCD ,所以 D BCE ∽ D DCB ,

所以∠CBE=∠BDE. ????????????????????????10 分

?1 0 ? B. 解:设点 ( x0 , y0 ) 为曲线 x ? y ? 1上的任一点,在矩阵 M ? ? 1 ? 对应的变换作用下 ?0 ? ? ? 3? ?
得到的点为 ( x?, y?) ,

?1 0 ? ? x ? ? x? ? 则由 ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ,????????????????????????3 分 ?0 ? ? y0 ? ? y?? ? 3? ? ? ? x? ? x0 , ? 得: ? 1 y? ? y0 , ? 3 ?
? x ? x?, 即? 0 ? y0 ? 3 y ?,

?????????????????????5 分

?1 0 ? 所以曲线 x ? y ? 1在矩阵 M ? ? 1 ? 对应的变换作用下得到的曲线为 ?0 ? ? 3? ? ?
x ? 3 y ? 1,

??????????????????????????????8 分

1 2 2 所围成的图形为菱形,其面积为 ? 2 ? ? . ?????????????10 分 2 3 3
C.解:曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 , 圆心为 (1,1) ,半径为 2 , ??????????????????????3 分 ???????????????5 分

直线的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ? 0 , 所以圆心到直线的距离为 d ? 所以弦长 ? 2 2 ?
1 ? 7. 4

3 ?1 ? 3 2

?

1 , 2

????????????8 分

?????????????????????10 分

D.选修 4—5:不等式选讲 解:因为 ( 1 ? x ? 3x ? 2) 2 ? ( 3 ? 3 x ?
1 ? 3 x ? 2 ? 1) 2 3

1 20 , ≤(3 ? 3x ? 3x ? 2)( ? 1) ? 3 3
所以 y ? 1 ? x ? 3x ? 2 ≤ 等号当且仅当
2 15 . 3

?????????????????3 分 ??????????????????5 分 ????????????8 分

3 ? 3x 3x ? 2 7 ? ,即 x ? 时成立. 1 1 12 3
2 15 . 3

所以 y 的最大值为

??????????????????????10 分

22.解: (1)设 AC 与 BD 交于点 O,以 O 为顶点,向量 OC , OD 为 x,y 轴,平行于 AP 且方向向上的向量为 z 轴建立直角坐标系.??????????????????1 分 则 A(?1, 0, 0) , C (1,0,0) , B(0, ? 3,0) , D(0, 3,0) , P(?1,0, 6) , 所以 M (0, 0,
6 6 ) , MD ? (0, 3, ? ) , PB ? (1, ? 3, ? 6) , ????????3 分 2 2

cos ? MD, PA ??

MD ? PA MD PA

?

?3 ? 3 3 3 ? ? 1? 3 ? 6 2

? 0 .?????????????4 分

所以异面直线 PB 与 MD 所成的角为 90 ? . ????????????????5 分 (2)设平面 PCD 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,平面 PAD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 因为 CD ? (?1, 3,0) , PD ? (1, 3, ? 6) , PA ? (0,0, ? 6) ,

? ? n1 ? CD ? ? x1 ? 3 y1 ? 0, 由? 令 y1 ? 1 ,得 n1 ? ( 3,1 , 2) n ? PD ? x ? 3 y ? 6 z ? 0, ? ? 1 1 1 1

, ????????7 分

? n2 ? PA ? ? 6 z2 ? 0, ? 由? 令 y2 ? ?1 ,得 n2 ? ( 3, ?1,0) , ???????8 分 n ? PD ? x ? 3 y ? z ? 0, ? ? 2 2 2 2
所以 cos ? n1 , n2 ??
n1 ? n2 30 3 ?1 6 ? ? ,所以 sin ? n1 , n2 ?? .?????10 分 6 n1 n2 6 6?2

23.解: (1)当 n ? 2 时,取数 a1 ? 1 , a2 ? 2 ,因为 当 n ? 3 时,取数 a1 ? 2 , a2 ? 3 , a3 ? 4 ,则

2 ?1 ? ?3 ? Z ,???????1 分 1? 2

a1 ? a2 ? ?5 ? Z , a1 ? a2

a2 ? a3 a ? a3 ? ?7 ? Z , 1 ? ?3 ? Z ,???????????????????3 分 a2 ? a3 a1 ? a3

即 a1 ? 2 , a2 ? 3 , a3 ? 4 可构成三个好数. ???????????????4 分 (2)证:①由(1)知当 n ? 2,3 时均存在, ②假设命题当 n ? k (k ? 2, k ? Z ) 时,存在 k 个不同的正整数 a1 , a2 , 使得对任意 1 剟i ? j
k ,都有

, ak ,其中 a1 ? a2 ?

? ak ,

ai ? a j ai ? a j

? Z 成立, ?????????????5 分
, A ? ak ,

则当 n ? k ? 1 时,构造 k ? 1 个数 A, A ? a1 , A ? a2 , 其中 A ? 1? 2 ? 3 ?
? ak ,

, (*)

若在(*)中取到的是 A 和 A ? ai (i ? k ) ,则

A ? A ? ai 2A ?? ? 1 ? Z ,所以成立, A ? A ? ai ai

若取到的是 A ? ai (i ? k ) 和 A ? a j ( j ? k ) ,且 i ? j , 则
A ? ai ? A ? a j A ? ai ? A ? a j ? ai ? a j ai ? a j 2A ,由归纳假设得 + ?Z , ai ? a j ai ? a j ai ? a j
2A ?Z , ai ? a j

又 a j ? ai ? ak ,所以 a j ? ai 是 A 的一个因子,即
A ? ai ? A ? a j A ? ai ? A ? a j ? ai ? a j 2A + ?Z , ai ? a j ai ? a j

所以

???????????????8 分

所以当 n ? k ? 1 时也成立.

?????????????????????9 分 ???????????10 分

所以对任意正整数 n(n …2) ,均存在“ n 个好数”


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