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四川省宜宾市2016届高三上学期半期测试数学文 Word版含答案


11
2015 年秋期普通高中三年级半期测试


个选项是符合题目要求).

学(文史类)
)

一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 1.设全集 U 是实数集 R , M ? ?x | x ? 1? , N ? ?x | 0

? x ? 2? ,则集合 M ? N 等于( (A) ?x | 0 ? x ? 2? 2.若复数 z ? (B) ?x |1 ? x ? 2? (C) ?x | 0 ? x ? 1 ? (D) ?x | x ? 1 ? )

2i , i 为虚数单位,则 z 在复平面内对应的点 Z 在( 1? i
(B)第二象限 (D)第四象限

y?

(A)第一象限 (C)第三象限

A?

3. ?OAB 的直观图 ?O?A?B? 如图所示,且 O?A? ? O?B? ? 2 , 则 ?OAB 的面积为( (A) 1 (B) 2 ) (C) 4 (D) 8 ) 450

O?

B?

第3题

x?
x

4.已知向量 a ? (1, 0) , b ? (2,1) ,且 ? b - ?a ? ? a ,则实数 ? 的值为( (A) ?1 (B) 0 (C) 1 ) (D) 2

5.下列有关命题的说法正确的是 (

2 2 (A)命题“若 x ? 4 ,则 x ? 2 ”的否命题为“若 x ? 4 ,则 x ? 2 ”. x y (B)命题“当 a ? 0 时,若 x ? y ,则 a ? a ”的逆否命题为真命题.

(C)“ x ? 2 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

(D)命题“ ?x ? R ,使得 x ? 0 ”的否定是“对 ?x ? R ,均有 x ? 0 ”.
2 2

6.若 a ? b ,则 下列不等式成立的是
a b (A) 2 ? 2 ? 2 ? 2 a ?b 2

( (B) a

)
?1

? b?1
a ?b

(C) lg(a ? b) ? 0

(D) 0.3

?1

7.已知 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,且 n ? ? ,则下列叙述正确的是 (A)若 m ∥ n , m ?

? ,则 ?

?

?

(B)若 ? ∥ ? , m ? n ,则 m ?

?

(C)若 ? ∥ ? , m ? ? ,则 m ∥ n

(D)若 m ∥ n , m ? ? ,则 ? ∥ ?

-1-

8.在 ?ABC 中, ?A ? 60? , b ? c ? 6, a ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积等于(

)

(A)

3 2

( B) 3

(C) 2

(D) 2 3

9.已知 {an } 是等差数列, S n 为 {an } 的前 n 项和,若 S7 ? 4 S5 ,则

a4 ?( a3
19 13

)

(A)

7 5

(B)

20 7

(C) 10

(D)

10.若方程 | 2x ? 3| ?m ? 0 有两个不同实数根,则实数 m 的取值范围是 ( (A) (?3, 0) (B) ( ??, 0) (C) (0,3) (D) (?3,3)

)

11.三棱锥 A ? BCD 的外接球半径为 13 , AD ? 2 ,且满足 AB ? AC ? AB ? AD

??? ? ??? ?

??? ? ????

??? ? ???? ? AC ? AD ? 0 , 则三棱锥 A ? BCD 体积的最大值为(
(A) 2 (B) 4 (C) 8

) (D) 16

12. 若 函 数 f ( x) 在 它 的 定 义 域 (??, ??) 内 具 有 单 调 性 , 且 对 任 意 实 数 x , 都 有

f ( f ( x) ? e x ) ? 1 ? e , e 是自然对数的底数,则 f (ln 2) 的值等于 (
(A) ?2 (B) ?1 (C) 1 (D) 1 ? e

)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若幂函数 f ( x ) 的图象过点 ( , 2) ,则 f (3) ? 14.已知数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2an ? 1 , 则 log2 a1 ? log2 a2 ? ? ? log2 a5 ? ▲ .
第 15 题图

1 2

▲ .

15.如图所示,在 ?ABC 中,点 O 是 BC 上的点,过 O 的直线 MN 分别交直线 AB, AC 于不同的两点 M , N ,若 AM ?

???? ?

? ???? ???? ? ??? ? 1 ??? AB , AO ? mAM ? nAC 2

(m ? 0, n ? 0) ,则 m ? 2n 的 值为





f ( x), f ( x)? g ( x) ? 16.已知函数 f ( x) ?| x ?1| , g ( x) ? ? x ? 6 x ? 5 , h( x) ? ? , ? g ( x), f ( x)? g ( x)
2

若函数 y ? h( x) ? ax 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

-2-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17(本小题满分 10 分).已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ? ? 值是 10, f ( x ) 的图象经过点 (0,5) ,且相邻两条对称轴间的距离是 (Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)将 f ( x ) 的图象向右平移

?
2

, x ? R ) 的最大

? . 2

? 个单位长度后得到 g ( x) 的图象,求 g ( x) 的单调递增区间. 6

ABC , 18(本小题满分 12 分).如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AA 1 ? 底面

CC1 ? AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 90? , D 为 BC 的中点.
(Ⅰ)下面给出了该三棱柱三视图中的正视图,请据此在框内对应位置画出它的侧视图; (Ⅱ)求证: AC 1 ∥平面 AB 1D ; (Ⅲ)若点 P 是线段 AC 1 上的动点 ,求三棱锥 P ? AB 1D 的体积.
正视图 侧视图

A1

B1
A

C1
P



2 2

B
第 18 题

D

C

-3-

19(本小题满分 12 分).已知函数 f ( x) ? loga (5 ? x) , g ( x) ? loga (5 ? x)(a ? 0 且 a ? 1) . (Ⅰ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,判断函数 h( x) 的奇偶性,并说明理由; (Ⅱ)若 f (a) ? f (3) ? g (a) ? g (3) ,求 a 的范围.

20( 本小题 满分 12 分 ). 在 锐角 三角形 ABC 中 , a, b, c 分 别是 角 A, B, C 的 对边, 向量

m ? (cos C, 2b ? c) ,向量 n ? (cos A, a) ,且 m // n .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)求函数 f (C ) ? 2sin C ? cos(
2

?
3

? 2C ) 的值域.

-4-

21(本小题满分 12 分).已知 y ? f ( x) 是递增的一次函数,且满足 f ( x) f ( x ? 1) ? 4 x2 ?1 , 若点 (n, an ) (n ? N * ) 在函数 f ( x ) 的图象上. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn

? (an ? 1) ? 2an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

-5-

22(本小题满分 12 分).已知函数 f ( x) ? x ln x ? ax在x ? 1处有最小值 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式并求出最小值; (Ⅱ)当 m ? 0 时,若 mf ( x) ? x 2 在区间 (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)设函数 g ( x) ?

cf ( x) ? x 2 ? 2 x ,讨论函数 g ( x) 的单调性. x

-6-

2015 年秋期普通高中三年级半期测试
数学(文史类)试题参考答案及评分意见
说明: 一、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可比照评分意见制 订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案

1 C

2 B

3 C

4 D

5 B

6 A

7 A

8 D

9 B

10 A

11 C

12 B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.

1 ; 3

14. 10 ;

15.2 ;

16. a ?

3 或 1 ? a ? 6 ? 2 5. 4

三、解答题(共 70 分) 17.解:(Ⅰ) f ( x ) 的最大值是 10,

? A ? 10 .

????????????(1 分)

又? f ( x) 相邻对称轴间的距离是
?

T ? ? ,?T ? ? ,?? ? 2 . 2 2 又? f ( x) 函数的图象经过点 (0,5) ,

? , 2
????????????(2 分)

?10sin ? ? 5, ? ? ?? ?

?
2
????????????(4 分)

?
6

? f ( x) ? 10sin(2 x ? ) 6
(Ⅱ)由函数 f ? x ? 的图象向右平移

?

???????????(5 分)

?
6

个单位长度后得到函数 ?????????????(7 分) ????????????(8 分)

g ? x ? ? 10sin(2 x ? ) 的图像 6 ? ? ? 由 ? ? 2 k? ? 2 x ? ? ? 2 k ? , k ? Z 2 6 2 ? ? 得 ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 6 3

?

-7-

? ? ? ? g ( x) 的增区间为 ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 3 ? 6 ? ? ? ? ? ? ? g ( x) ? 10sin(2 x ? ) 的增区间为 ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z 6 3 ? 6 ?
18.解:(Ⅰ)该三棱柱的左视图如下
正视图 侧视图

????(10 分)



2

?????????????(3 分)
2

2 2

(Ⅱ)连接 A 1B 交 AB1 于 O 点,连接 OD , 则O 为 A 1B 的中点. 又∵ D 为 BC 的中点, ∴ OD 是 ?A1 BC 的中位线. ∴ OD ∥ AC 1 .
第 18 题

O

? P

????????????????????(5 分)

∵ AC ? 平面 AB1D , OD ? 平面 AB1D , 1 ∴ AC 1 ∥平面 AB 1D . ????????????????????(7 分)

(Ⅲ)因 AA1 ? 底面 ABC ,且 CC1 ? AB ? AC ? 2 , ?BAC ? 90? . ∴ AD ? BC ,且 AD ?

2,DC ?

2,故 S ?ACD ?

1 AD ? DC ? 1 . ???(8 分) 2

又∵点 P 是线段 AC 1 上的动点,由(Ⅱ)可知 AC 1 ∥平面 AB 1D , 故点 P 到平面 AB1D 的距离等于点 C 到平面 AB1D 的距离. ∴ VP? AB1D ? VC ? AB1D ? VB1 ? ACD . 又∵ BB1 ? 面 ABC , ∴V B
1 ? ACD

???????(9 分)

??????????????????(11 分)

=

1 1 2 S ?ACD ? BB 1 ? ? 1 ? 2 ? . 3 3 3

即三棱锥 P ? AB1D 的体积为

2 . 3

??????????????????(12 分)

19.解: (Ⅰ)由 5? x ?0 ,得 h( x) 的定义域为 (?5,5) ????????????(2 分)

{5? x?0

-8-

又? h(? x) ? loga (5 ? x) ? loga (5 ? x) ? ?h( x)

? h( x) 为奇函数.

???????????(4 分)

(Ⅱ)由 f (a) ? f (3) ? g (a) ? g (3) ,得 f (a) ? g (a) ? f (3) ? g (3), 由(I)知 h(a) ? h(3) ????????????????????(5 分)

(1)当 a ? 1 时, f ( x) ? loga (5 ? x) 为增函数, g ( x) ? log a (5 ? x) 为减函数.

?h( x) ? loga (5 ? x) ? loga (5 ? x) 为增函数,
?a ? 1 ? ? ? ?5 ? a ? 5,? 3 ? a ? 5 ???????????????????(8 分) ?a ? 3 ?
(2)当 0 ? a ? 1 时, f ( x) ? loga (5 ? x) 为减函数, g ( x) ? log a (5 ? x) 为增函数.

?h( x) ? loga (5 ? x) ? loga (5 ? x) 为减函数,
?0 ? a ? 1 ? ? ? ?5 ? a ? 5,? 0 ? a ? 1 ??????????????????(11 分) ?a ? 3 ?
综上, 0 ? a ? 1, 或3 ? a ? 5 20.解: (Ⅰ)? m // n ??????????????????(12 分)

? a cos C ? cos A(2b ? c) ??????????(1 分) 由正弦定理知: sin A cos C ? cos A(2sin B ? sin C ) ?sin( A ? C ) ? 2cos A sin B ??????????(3 分)
又? 在 ?ABC 中, sin( A ? C ) ? sin B

? sin B ? 2 cos A sin B

1 ? ? sin B ? 0,? cos A ? , 0 ? A ? 2 2 ?A?

???????????(5 分) ??????????(6 分)

?

3
2

(Ⅱ) y ? 2sin C ? cos(

?

? 1 ? sin(2C ? ) 6 ?A?

?

1 3 ? 2C ) ? 1 ? cos 2C ? cos 2C ? sin 2C 3 2 2
????????????(8 分)

?

3

,? B ? C ?

2? 3

-9-

2? ? ? 0? ?C ? ? ? ? ? 3 2 由? ,得 ? C ? ??????????(9 分) 6 2 ? 0?C ?? ? ? 2 ? ? 5? 1 ? ? ? 2C ? ? , ? ? sin(2C ? ) ? 1 6 6 6 2 6 3 ? ? y?2 ????????????(11 分) 2 ? 3 ? 即 y ? 2sin 2 C ? cos( ? 2C ) 的值域是 ? ???????(12 分) , 2? ? 3 ?2 ? 21.解:(Ⅰ) ? y ? f ( x) 是递增的一次函数 ????????? (1 分) ? 可设 f ( x) ? kx ? b, k ? 0
则 f ( x) f ( x ?1) ? (kx ? b) ?k ( x ?1) ? b?

? k 2 x2 ? (k 2 ? 2kb) x ? kb ? b2 ? 4x2 ?1
? k2 ? 4 ? 2 于是 ? k ? kb ? 0 ?kb ? b 2 ? ?1 ?

??????????(3 分)

?k ? ?2 ?k ?2 (舍去),或 ? ?? ? b ?1 ?b ? ?1 ? f ( x) ? 2 x ? 1

????????(5 分)

? 点 (n, an ) (n ? N ? ) 在函数 f ( x) 的图象上. ? an ? 2n ? 1
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? (an ? 1) ? 2
1
an

???????(6 分)

? n? 4

n

?Tn ? 1? 4 ? 2 ? 42 ? 3? 43 ???? ? n ? 4n
分)

①??( 8

4Tn ?

(9 分) 1? 42 ? 2 ? 43 ???? ? (n ?1) ? 4n ? n ? 4n?1 ②??

①-②,得: ?3Tn ? 4 ? 42 ? 43 ???? ? 4n ? n ? 4n?1

4(1 ? 4n ) ? ? n ? 4n?1 1? 4 ?Tn ?
22.解: (Ⅰ)

4n ?1 (3n ? 1) ? 4 9

?????????(12 分)

f ( x) 定义域为 (0, ??) ……………….………………….…….(1 分)

- 10 -

? f (x ) 在x ? 处有最小值 1 ,? x ? 为函数 1 f x(的极值点 ) . ? f ?( x )? l n x? ? 1a ?,f ? ? (1) ?a1 ? 0 ? a ? ?1, 经检验,合题意 ? f ( x) ? x ln x ? x...........................................................................................(2分) ? f ( x)m i n? f (1) ? ?1.....................................................................................(3分)
(Ⅱ)由 mf ( x) ? x 2 ,得 mx(ln x ? 1) ? x 2

? m ? 0, x ? 0,?

1 ln x ? 1 ? ...................................................(4分) m x ln x ? 1 1 ? (ln x ? 1) 2 ? ln x 令h( x) ? , 则h?( x) ? ? .................(5分) x x2 x2 由h?( x) ? 0, 得x ? e 2

且当x ? (0, e 2 )时h?( x) ? 0; 当x ? (e 2 , ??)时h?( x) ? 0 1 ? h( x) max ? h(e 2 ) ? 2 e 1 1 ? ? 2 m e ? 0 ? m ? e 2 .............................................................................(7分)
(Ⅲ) g ( x) ? c(ln x ?1) ? x
2

? 2 x,

g ?( x) ?

c 2x2 ? 2x ? c ? 2x ? 2 ? ………….………………….…(8 分) x x

2 令F ( x) ? 2 x ? 2 x ? c, ? ? 4 ? 8 c, (1)当? ? 0, 即c ? (2)当? ? 0, 即c ? 1 2 1 2
...(9 分) 时, F ( x) ? 0, ? g ?( x) ? 0, g( x) 在(0,+? )上单调递增.

时, 由F( x) ? 0 得,x ?

1 ? 1 ? 2c 2

①当 c ? 0时, ? x ? 0,

1 ? 1 ? 2c 2

? 0, ? x ?

1 ? 1 ? 2c 2

应舍去 .

由F ( x ) ? 0, 得x ? (0, ? g ( x )在(0,

1 ? 1 ? 2c 2

), 这时g ?( x ) ? 0,

1 ? 1 ? 2c 2

)上单调递减.

由F ( x ) ? 0, 得x ? ( ? g ( x ) 在(

1 ? 1 ? 2c 2

, ?? ), 这时g ?( x ) ? 0,

1 ? 1 ? 2c 2

, ?? )上单调递增.........................(10分)

- 11 -

②当 0 ? c ?

1 2

时,
1 ? 1 ? 2c 1 ? 1 ? 2c , ), 这时g ?( x ) ? 0, 2 2

由F ( x ) ? 0, 得x ? ( ? g ( x ) 在(

1 ? 1 ? 2c 1 ? 1 ? 2c , )上单调递减. 2 2 1 ? 1 ? 2c 2 ), ( )?( 1 ? 1 ? 2c 2 , ?? ), 这时g ?( x ) ? 0,

由F ( x ) ? 0, 得x ? (0, ? g ( x )在(0,
综上: 当c ?

1 ? 1 ? 2c 2

1 ? 1 ? 2c 2

, ?? )上单调递增............(11分)

1 时, g ( x)在(0,+?)上单调递增 ; 2
1 ? 1 ? 2c 2 )上单调递减 ,

当 c ? 0时, g ( x )在(0,

在(

1 ? 1 ? 2c 2

, ?? )上单调递增 ;

当0 ? c ?

1 2

时, g ( x )在(

1 ? 1 ? 2c 1 ? 1 ? 2c , )上单调递减 , 2 2 ), ( 1 ? 1 ? 2c 2 , ?? )上单调递增 ……(12 分)

在(0,

1 ? 1 ? 2c 2

- 12 -


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