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河南省三门峡市陕州中学2016届高三数学下学期尖子生专题训练试题(二)文


2015-2016 学年下期高三尖子生专题训练(二) (文科)数学试题
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. 设全集 U ? x ? N* x ? 4 ,集合 A ? ?1, 4? , B ? ?2, 4? ,则 ? U ? A ? B? ? ( A. ?1, 2,3? B. ?1, 2, 4? C. ?1, 4,3? D.

?

?



?2, 4,3?

2. 设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则

A. i B. 2 ? i ? ? 3. cos160 sin10 ? sin 20? cos10? ? ( A. ?
3 2

2 ) ?( z C. 1 ? i
) C. ?

D.0

B.

3 2

1 2

D. )

1 2

4. 函数 f ? x ? ? e x cos x 在点 ? 0, f ? 0? ? 处的切线斜率为( A.0 B. ?1
x

C. 1

D.

2 2

?1? 5. 已知函数 f ? x ? ? ? ? ? cos x ,则 f ? x ? 在 ?0,2? ? 上的零点的个数为( ?2?



A.1 B.2 C.3 D.4 6. 按如下的程序框图,若输出结果为 273,则判断框?处应补充的条件为(
开始
i ?1 S ?0


结束

S ? S ? 3i

i?i?2 ?





输出S

A. i ? 7
2 2

B. i ? 7

C. i ? 9

D. i ? 9

7. 设双曲线

x y 1 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? ?2 x ,且一个焦点与抛物线 y ? x 2 的焦点相同,则此双曲 线 2 4 a b 的方程为( ) 5 5 5 5 2 A. x2 ? 5 y 2 ? 1 B. 5 y 2 ? x2 ? 1 C. 5x2 ? y 2 ? 1 D. y ? 5x2 ? 1 4 4 4 4


1 8. 正项等比数列 ?an ? 中的 a1 , a4031 是函数 f ? x ? ? x3 ? 4x2 ? 6x ? 3 的极值点,则 log 6 a2016 ? ( 3
A. ?1 B. 1 C.
2

D. 2

9. 右图是一个四面体的三视图,这三个视图均是腰长为 2 的等腰 直角三角形,正视图和俯视图的虚线是三角形的中线,则该四面体 的体积为( ) A.

2 3

B.

4 3

C.

8 3

D. 2

10.已知函数 f ? x ? ? x ? 值范围是 ( )

4 ?1 ? , g ? x ? ? 2x ? a ,若 ?x1 ? ? ,3? , ?x2 ? ? 2,3? 使得 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,则实数 a 的取 x ?2 ?
1

A. a ? 1 11.已知椭圆

B. a ? 1

C. a ? 0

D. a ? 0

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,过点 F2 的直线与椭圆交于 A, B 两点,若 a 2 b2
) D.
6? 3

?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为(

A.

2 2

B. 2 ? 3

C.

5?2

?? x 2 ? 2 x, x ? 0 2 12.已知函数 f ? x ? ? ? 2 , 若关于 x 的不等式 ? 则实数 a f ? x ?? ? af ? x ? ? b2 ? 0 恰有 1 个整数解, ? ? ? x ? 2 x, x ? 0

的最大值是( A.2

) B.3 C.5 D.8

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 f ? x ? ? 2x ? 1 的定义域是_______.
? x? y?0 ? 14.若不等式 x ? y ? 2 所表示的平面区域为 M , 不等式组 ? x ? y ? 0 表示的平面区域为 N , 现随机向区 域 ? y ? 2x ? 6 ?
2 2

N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为________.

15. ?ABC 的三个内角为 A, B, C ,若

3 cos A ? sin A

? 7? ? tan ? ? 3 sin A ? cos A ? 12

? ? ,则 tan A ? ________. ?

? ?? ?? ? ? ? ?? ? 16. 已知向量 ? 、 ? 是平面内两个互相垂直的单位向量,若 5? ? 2? ? 12? ? 2? ? 0 ,则 ? 的最大值为

?

??

?

________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 ?an ? 满足: a2 ? 5 ,前 4 项和 S4 ? 28 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? ? ?1? an ,求数列 ?bn ? 的前 2 n 项和 T2 n .
n

18.(本小题满分 12 分) 为了整顿道路交通秩序,某地考虑对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通人中随机 抽取理 200 人进行调查,当不处罚时,由 80 人会闯红灯,处罚时,得到如下数据: 处罚金额 x (单位:元) 会闯红灯的人数 y 5 50 10 40 15 20 20 0
2

若用表中数据所得频率代替概率. (Ⅰ)当处罚金定为 10 元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多 少? (Ⅱ)将选取的 200 人中会闯红灯的市民分为两类: A 类市民在罚金不超过 10 元时就会改正行为; B 类 是其它市民.现对 A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问卷,则前两位均为 B 类市民 的概率是多少?

19.(本小题满分 12 分)

1 ?BAD ? ?ADC ? 90? ,AB ? AD ? CD ,BE ? DF . 如图, 矩形 CDEF 和梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, 2
(Ⅰ)若 M 为 EA 中点,求证: AC ∥平面 MDF ; (Ⅱ)若 AB ? 2 ,求四棱锥 E ? ABCD 的体积.

E

F

M D
A B
C

20.(本小题满分 12 分) 已知点 M ? ?1,0 ? , N ?1,0 ? ,曲线 E 上任意一点到点 M 的距离均是到点 N 的距离的 3 倍. (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ) 已知 m ? 0 ,设直线 l1 : x ? my ? 1 ? 0 交曲线 E 于 A, C 两点,直线 l2 : mx ? y ? m ? 0 交曲线 E 于 B, D 两 点.当 CD 的斜率为 ?1 时,求直线 CD 的方程.

21.(本小题满分 12 分) 1 设函数 f ? x ? ? x2 ? m ln x , g ? x ? ? x2 ? ? m ? 1? x , m ? 0 . 2 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)当 m ? 1 时,讨论函数 f ? x ? 与 g ? x ? 图象的交点个数.

3

请考生在 22-24 三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第 一题记分.做答时用 2B 铅笔在答题卡上把 所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?BAC 的平分线与 BC 和 ?ABC 的外接圆分别相交于 D 和 E ,延长 AC 交过 D, E , C 的三点的圆于点

F. (Ⅰ)求证: EC ? EF ; (Ⅱ)若 ED ? 2 , EF ? 3 ,求 AC ? AF 的值. D
B

A
C

E

F

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 3 x ? ?2 ? t ? ? 2 ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 2 cos ? ? ? ? ? .以极点为坐标原 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ? ? 2 4? ? ?y ? 1 t ? ? 2 点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系.

(Ⅰ)求曲线 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ? 1 (Ⅰ)解不等式 f ? x ? ? 1 ; (Ⅱ)当 x ? 0 时,函数 g ? x ? ?

ax2 ? x ? 1 ? a ? 0? 的最小值总大于函数 f ? x ? ,试求实数 a 的取值范围. x

4

2015-2016 下期高三年级尖子生专题训练(二) 文科数学参考答案 一、选择题:

ACCCC
二、填空题: 13. ?x | x ? 0? ; 三、解答题:

BCBAC

DD

14.

?
24

;

15. 1;

16.

13 . 2

?a2 ? a1 ? d ? 5, ? 17.解:⑴由已知条件: ? ?????????2 分 4?3 S ? 4 a ? ? d ? 28, 4 1 ? ? 2
? a ? 1, ?? 1 ? d ? 4.
?????????4 分

?an ? a1 ? ? n ?1? ? d ? 4n ? 3. ?????????6 分
⑵由⑴可得 bn ? (?1)n an ? (?1)n ? 4n ? 3? ?????????8 分

T2n ? ?1? 5 ? 9 ?13 ?17 ? ...... ? ?8n ? 3? ? 4 ? n ? 4n. ?????????12 分
18.解:⑴设“当罚金定为 10 元时,闯红灯的市民改正行为”为事件 A ,??2 分 则 p ? A? ?

40 1 ? . ?????????4 分 200 5

∴当罚金定为 10 元时,比不制定处罚,行人闯红灯的概率会降低

1 .?????6 分 5 ⑵由题可知 A 类市民和 B 类市民各有 40 人,故分别从 A 类市民和 B 类市民各抽出两人,设从 A 类

市民抽出的两人分别为 A1 、 A2 ,设从 B 类市民抽出的两人分别为 B1 、 B2 . 设从“ A 类与 B 类市民按分层抽样的方法抽取 4 人依次进行深度问卷”为事件 M , ?????????8 分 则事件 M 中首先抽出 A1 的事件有: ? A 1, A 2, B 1 , B2 ? , ? A 1, A 2 , B2 , B 1? ,? A 1, B 1, A 2 , B2 ? ,

? A1, B1, B2 , A2 ? , ? A1, B2 , A2 , B1 ? , ? A1, B2 , B1, A2 ? 共 6 种.
同理首先抽出 A2 、 B1 、 B2 的事件也各有 6 种. 故事件 M 共有 4 ? 6 ? 24 种.?????????10 分 设从“抽取 4 人中前两位均为 B 类市民”为事件 N ,则事件 N 有 ? B1 , B2 , A 1, A 2 ?,

? B1, B2 , A2 , A1 ? , ? B2 , B1, A1, A2 ? , ? B2 , B1, A2 , A1 ? .? P ? N ? ? 24 ? 6 .
5

4

1

∴抽取 4 人中前两位均为 B 类市民的概率是

1 .?????????12 分 6

19. ⑴证明:设 EC 与 DF 交于点 N ,连结 MN , 在矩形 CDEF 中,点 N 为 EC 中点, 因为 M 为 EA 中点,所以 MN ∥ AC , 又因为 AC ? 平面 MDF , MN ? 平面 MDF , 所以 AC ∥平面 MDF . ????????4 分 ⑵解:取 CD 中点为 G ,连结 BG, EG , 平面 CDEF ? 平面 ABCD ,平面 CDEF ? 平面 ABCD ? CD ,

AD ? 平面 ABCD , AD ? CD , 所以 AD ? 平面 CDEF ,同理 ED ? 平面 ABCD ,????????7 分 所以, ED 的长即为四棱锥 E ? ABCD 的高,????????8 分 1 在梯形 ABCD 中 AB ? CD ? DG , AB / / DG , 2 所以四边形 ABGD 是平行四边形, BG / / AD ,所以 BG ? 平面 CDEF , 又因为 DF ? 平面 CDEF ,所以 BG ? DF ,又 BE ? DF , BE ? BG ? B , 所以 DF ? 平面 BEG , DF ? EG .????????10 分
2 注意到 Rt ?DEG ? Rt ?EFD ,所以 DE ? DG ? EF ? 8 , DE ? 2 2 ,

1 所以 VE ? ABCD ? S ABCD ? ED ? 4 2 . ????????12 分 3
20. ⑴解:设曲线 E 上任意一点坐标为 ( x, y ) ,由题意,

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 3 ( x ? 1) 2 ? y 2 ,

????????2 分

整理得 x2 ? y 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,即 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 为所求.????????4 分 ⑵解:由题知 l1 ? l2 ,且两条直线均恒过点 N (1, 0) ,????????6 分 设曲线 E 的圆心为 E ,则 E (2, 0) ,线段 CD 的中点为 P , 则直线 EP : y ? x ? 2 ,设直线 CD : y ? ? x ? t ,

由?

? y ? x ? 2, t?2 t?2 , ) , ????????8 分 ,解得点 P ( 2 2 ? y ? ?x ? t
1 | CD |? | ED |2 ? | EP |2 , ????????9 分 2

由圆的几何性质, | NP |? 而 | NP | ? (
2

t?2 t?2 2 | 2?t | 2 ? 1) 2 ? ( ) , | ED |2 ? 3 , | EP |2 ? ( ) , 2 2 2

解之得 t ? 0 ,或 t ? 3 , ????????10 分
6

所以直线 CD 的方程为 y ? ? x ,或 y ? ? x ? 3 . ????????12 分

21. ⑴解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ?

( x ? m )( x ? m ) ,????2 分 x

当 0 ? x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 的单调递减, 当 x ? m 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 的单调递增. 综上:函数 f ( x ) 的单调增区间是 ( m, ??) ,减区间是 (0, m ) .????????5 分 ⑵解:令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ?

1 2 x ? (m ? 1) x ? m ln x, x ? 0 , 2

问题等价于求函数 F ( x) 的零点个数,????????6 分

F ?( x) ? ?
注意到 F (1) ?

( x ? 1)( x ? m) ,当 m ? 1 时, F ?( x) ? 0 ,函数 F ( x) 为减函数, x

3 ? 0 , F (4) ? ? ln 4 ? 0 ,所以 F ( x) 有唯一零点;??????8 分 2

当 m ? 1 时, 0 ? x ? 1 或 x ? m 时 F ?( x) ? 0 , 1 ? x ? m 时 F ?( x) ? 0 , 所以函数 F ( x) 在 (0,1) 和 (m, ??) 单调递减,在 (1, m) 单调递增, 注意到 F (1) ? m ?

1 ? 0 , F (2m ? 2) ? ?m ln(2m ? 2) ? 0 , 2
????????11 分

所以 F ( x) 有唯一零点;

综上,函数 F ( x) 有唯一零点,即两函数图象总有一个交点. ?????12 分 22. ⑴证明:因为 ?ECF ? ?CAE ? ?CEA ? ?CAE ? ?CBA , ?EFC ? ?CDA ? ?BAE ? ?CBA , AE 平分 ?BAC , ? 所以 ECF ? ?EFC ,所以 EC ? EF . ????????4分 ⑵解:因为 ?ECD ? ?BAE ? ?EAC , ?CEA ? ?DEC , 所以 ?CEA ? ?DEC , ????????6 分 即

CE DE EC 2 ? , EA ? , EA CE DE

由⑴知, EC ? EF ? 3 ,所以 EA ?

9 , ????8 分 2

所以 AC ? AF ? AD ? AE ? ( AE ? DE ) ? AE ?

45 . ????????10 分 4

23.解:(Ⅰ) ? ? 2 2 cos ? ? ?

? ?

π? ? ? 2 ? cos ? ? sin ? ? ,???????????2 分 4?
7

即 ? ? 2 ? ? cos
2

? ? ? sin ? ? ,可得 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0 ,
2 2

故 C2 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .????????????????5 分 (Ⅱ) C1 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , 由(Ⅰ)知曲线 C2 是以 (1,1) 为圆心的圆,且圆心到直线 C1 的距离

d?

1? 3 ? 2 1 ?
2

? 3?

2

?

3? 3 , 2

?????????8 分

所以动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为

3? 3 ? 2 2 .?????????10 分 2

24.解:(Ⅰ) ①当 x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 2 ? x ? 1 ? 1 ,此时不成立; ②当 ?1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 2 ? x ? x ? 1 ? 1 ,即 ?1 ? x ? 0 , ③当 x ? ?1 时,原不等式可化为 2 ? x ? x ? 1 ? 1 ,即 x ? ?1 , ∴原不等式的解集是 ?x | x ? 0? . (Ⅱ)因为 g ( x) ? ax ? ??3 分

?????????5 分

1 a ? 1 ? 2 a ? 1 ,当且仅当 x ? 时“=”成立, x a

所以 g ( x)min ? 2 a ?1,-----7 分

?1 ? 2 x,0 ? x ? 2, ,所以 f ( x) ?[?3,1) ,-----9 分 f ( x) ? ? ? 3, x ? 2 ?
∴ 2 a ? 1 ? 1,即 a ? 1 为所求. -----10 分

8


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