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直线、平面垂直的判定及其性质 习题


人教 A 版高中数学必修二第二章

《2.3 直线、平面垂直的判定及其性质》 练习题 1

2.3.1 直线与平面垂直的判定 基础练习
1.填空。 (1) 过直线外一点可作_____条直线与该直线平行,可作______条直线与该直线垂直; (2) 过平面外一点可作_____条直线与该平面平行,可作______条直线与该平面垂直。

2.一条直线与一个平面垂直的条件是 ( ) A. 垂直于平面内的一条直线 B. 垂直于平面内的两条直线 C. 垂直于平面内的无数条直线 D. 垂直于平面内的两条相交直线 3.如果平面α 外的一条直线 a 与α 内两条直线垂直,那么 ( ) A. a⊥α B. a∥α C. a 与α 斜交 D. 以上三种均有可能 4.判断题: (对的打“√” ,错的打“×” ) (3) 过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行 ( ) (4) 过已知平面外一点,有且只有一条直线与已知平面平行 ( ) (5) 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ( ) (6) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 ( ) (7) 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 ( ) (8) 过已知直线外一点, 有且只有一个平面与已知直线平行。 ( )

巩固练习
5.如图 2-36:已知 PA⊥⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径, C 是异于 A、B 的⊙O 上任意一点,过 A 作 AE⊥PC 于 E , 求证:AE⊥平面 PBC。

6.图 2-37:BC 是 Rt△ABC 的斜边,AP⊥平面 ABC,连结 PB、PC,作 PD⊥BC 于 D, 连结 AD,则图中共有直角三角形_________个。

7.如图 2-38:AB 是圆 O 的直径,C 是异于 A、B 的圆周上的任意一点,PA 垂直于圆 O 所在的平面,则 BC 和 PC_____________。

能力提高
8.如图 2-39:已知 ABCD 是空间四边形,AB=AD,CB=CD 求证:BD⊥AC

9.如图 2-40:P 是△ABC 所在平面外的一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面 ABC,H 是垂足。 求证:H 是 ABC 的垂心。

10.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 中点,O 为底面 ABCD 中心, 求证:B1O⊥平面 PAC。

答案
基础练习
1.1,无数;无数,1 2.D 3.D 4.√;×;×;√;√;×。

巩固练习
5.证明:∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC, 又∵AB 是⊙O 的直径,∴BC⊥AC 而 PA∩AC=A,∴BC⊥平面 PAC 又∵AE ? 平面 PAC,∴BC⊥AE ∵PC⊥AE 且 PC∩BC=C,∴AE⊥平面 PBC。 6. 解:Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。 可证 BC⊥平面 APD,由 BC⊥AD,BC⊥PD 可得 Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC 共 8 个。 7.垂直 解:∵PA⊥平面 ABC,而 BC ? 平面 ABC ∴PA⊥BC 又∵AB 是圆 O 的直径, ∴AC⊥BC 又∵PA∩AC=A ∴BC⊥平面 PAC,且 PC ? 平面 PAC ∴BC⊥PC 即 BC 和 PC 垂直

能力提高
8.证明:设 BD 的中点为 K,连结 AK、CK, ∵AB=AD,K 为 BD 中点 ∴AK⊥BD 同理 CK⊥BD,且 AK∩KC=K ∴BD⊥平面 AKC ∴BD 垂直于平面 AKC 内的所有直线 ∴BD⊥AC 9.证明:∵PA⊥PB,PB⊥PC, ∴PA⊥平面 PBC,BC ? 平面 PBC ∴BC⊥PA ∵PH⊥平面 ABC,BC ? 平面 ABC ∴BC⊥PH ∴BC⊥平面 PAH,AH ? 平面 PAH ∴AH⊥BC,同理 BH⊥AC,CH⊥AB, 因此 H 是△ABC 的垂心。

10.证明:如图:连结 AB1,CB1,设 AB=1 ∵AB1=CB1= 2 ,AO=CO,∴B1O⊥AC, 连结 PB1,∵ OB1 ? OB ? BB1 ?
2 2 2

3 2

9 4 3 OP 2 ? PD 2 ? DO 2 ? 4
2 2 2 PB1 ? PD1 ? B1D1 ?

∴ OB12 ? OP2 ? PB12 ∴B1O⊥PO, ∴B1O⊥平面 PAC。


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