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【课堂新坐标】2017届高三文科数学(通用版)二轮复习限时集训:3平面向量.doc


专题限时集训(三)

平面向量

[建议 A、B 组各用时:45 分钟] [A 组 高考达标] 一、选择题 → → → 1.在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则DA=( A.(2,4) C.(1,1) C D.(-1,-1) B.(3,5) )

→ → → → [DA=

CB=AB-AC=(2,4)-(1,3)=(1,1).] )

→ → → 2. (2016· 河北联考)在等腰梯形 ABCD 中, AB=-2CD, M 为 BC 的中点, 则AM=( 1→ 1 → A. AB+ AD 2 2 3→ 1 → C. AB+ AD 4 4 B 3→ 1 → B. AB+ AD 4 2 1→ 3 → D. AB+ AD 2 4

→ → → → → 1 → → 1 → [因为AB=-2CD,所以AB=2DC.又 M 是 BC 的中点,所以AM= (AB+AC)= (AB 2 2

1 → → 1→ 3→ 1 → → → +AD+DC)= (AB+AD+ AB)= AB+ AD,故选 B.] 2 2 4 2 1 3 3 1 → → 3.已知向量BA=? , ?,BC=? , ?,则∠ABC=( ?2 2 ? ? 2 2? A.30° C.60° A B.45° D.120° )

3 3 3 1 3 → 3 1 → → → → → → [因为BA=? , ?,BC=? , ?,所以BA· BC= + = .又因为BA· BC=|BA 4 4 2 ?2 2 ? ? 2 2?

3 → ||BC|cos∠ABC=1× 1× cos∠ABC, 所以 cos∠ABC= .又 0°≤∠ABC≤180°, 所以∠ABC=30° . 2 故选 A.] → → → 4.(2016· 武汉模拟)将OA=(1,1)绕原点 O 逆时针方向旋转 60° 得到OB,则OB=( A.? C.? A )

?1- 3 1+ ? 2 , 2

3?

?1+ 3 1- ? B.? 2 , 2 ? ?

3?

? ?
D.?

?-1- 3 -1+ 3? ? ? 2 , 2 ?

?-1+ 3 -1- 3? ? ? 2 , 2 ?

2 6 1- 3 → [由题意可得OB的横坐标 x= 2cos(60° +45° )= 2? - ?= , 纵坐标 y= 2 2 4? ?4

sin(60° +45° )= 2?

6 2? 1+ 3 → ?1- 3 1+ 3? = ,则OB=? + ?,故选 A.] 2 4? ?4 ? 2 , 2 ?

→ 1 → → → → → 5.△ABC 外接圆的半径等于 1,其圆心 O 满足AO= (AB+AC),|AO|=|AC|,则向量BA 2 → 在BC方向上的投影等于( ) 【导学号:85952018】 A.- 3 C. 2 C 3 2 B. 3 2

D.3 → 1 → → → → [由AO= (AB+AC)可知 O 是 BC 的中点,即 BC 为外接圆的直径,所以|OA|=|OB| 2

→ → → =|OC|.又因为|AO|=|AC|=1,故△OAC 为等边三角形,即∠AOC=60° ,由圆周角定理可知 3 → → → → ∠ABC=30° ,且|AB|= 3,所以BA在BC方向上的投影为|BA|· cos∠ABC= 3× cos 30° = , 2 故选 C.] 二、填空题 6.在如图 32 所示的方格纸中,向量 a,b,c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点) x 上,若 c 与 xa+yb(x,y 为非零实数)共线,则 的值为________. y

图 32 6 5 [设 e1,e2 为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量 c=e1-2e2,a=

2e1+e2,b=-2e1-2e2,由 c 与 xa+yb 共线,得 c=λ(x a+y b),∴e1-2e2=2λ(x-y)e1+λ(x
? x-2y?=1, ?λ? 2 -2y)e2,∴? ?λ?x-2y?=-2, ?

?x=λ, ∴? 5 ?y=2λ,
x 6 则 的值为 .] y 5 → → → → → → → → → 7.已知向量AB与AC的夹角为 120° ,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,

3

则实数 λ 的值为________. 7 12 → → → → [∵AP⊥BC,∴AP· BC=0,

→ → → ∴(λAB+AC)· BC=0, → → → → → → → → → → 即(λAB+AC)· (AC-AB)=λAB· AC-λAB2+AC2-AC· AB=0. → → → → ∵向量AB与AC的夹角为 120° ,|AB|=3,|AC|=2, 7 ∴(λ-1)× 3× 2× cos 120° -9λ+4=0,解得 λ= .] 12 → → 8.(2016· 湖北七州联考)已知点 O 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心,则OB· OC= __________. - 1 [∵△ABC 是正三角形,O 是其中心,其边长 AB=BC=AC=1,∴AO 是∠BAC 6 3 → → → → → → → → → → → → →2 ,∴OB· OC=(AB-AO)· (AC-AO)=AB· AC-AO· AC-AO· AB+AO 3

的平分线,且 AO= =1× 1× cos 60° - 三、解答题

3 3 1 3 × 1× cos 30° - × 1× cos 30° +? ?2=- .] 3 3 6 ?3?

π? 9.设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈? ?0,2?. (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. [解] (1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2 x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a|=|b|,得 4sin2x=1.4 分 π? 1 又 x∈? ?0,2?,从而 sin x=2, π 所以 x= .6 分 6 (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2 x = 3 1 1 sin 2x- cos 2x+ 2 2 2

π? 1 =sin? ?2x-6?+2,9 分 π π π 0, ?时,sin?2x- ?取最大值 1. 当 x= ∈? 6? ? 3 ? 2? 3 所以 f(x)的最大值为 .12 分 2 → → 10.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA· BC=2,cos B

1 = ,b=3.求: 3 (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. → → [解] (1)由BA· BC=2 得 cacos B=2.1 分 1 因为 cos B= ,所以 ac=6.2 分 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos 又 b=3,所以 a2+c2=9+2× 2=13.
? ?ac=6, 解? 2 2 ?a +c =13, ?

B.

得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.4 分 因为 a>c,所以 a=3,c=2.6 分 (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2 B= 1?2 2 2 1-? ?3? = 3 ,7 分

c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= × = . b 3 3 9 8分 因为 a=b>c,所以 C 为锐角,因此 cos C= 1-sin2 C= 4 2?2 7 1-? = .10 分 ? 9 ? 9

1 7 2 2 4 2 23 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= × + × = .12 分 3 9 3 9 27 [B 组 名校冲刺] 一、选择题 1.(2016· 石家庄一模)已知 A,B,C 是圆 O 上的不同的三点,线段 CO 与线段 AB 交于 → → → 点 D,若OC=λOA+μOB(λ∈R,μ∈R),则 λ+μ 的取值范围是( A.(0,1) C.(1, 2] B D.(-1,0) B.(1,+∞) )

→ → → → [由题意可得OD=k OC=kλOA+kμOB(0<k<1),又 A,D,B 三点共线可得 kλ+kμ

1 =1,则 λ+μ= >1,即 λ+μ 的取值范围是(1,+∞),故选 B.] k 1 2.已知非零向量 m,n 满足 4|m|=3|n|,cos〈m,n〉= ,若 n⊥(t m+n),则实数 t 的 3 值为( A.4 ) B.-4

9 C. 4 B

9 D.- 4 [∵n⊥(tm+n),∴n· (t m+n)=0,

即 tm· n+|n|2=0, ∴t|m||n|cos〈m,n〉+|n|2=0. 3 1 又 4|m|=3|n|,∴t× |n|2× +|n|2=0, 4 3 解得 t=-4.故选 B.] → → → → 3.如图 33,BC,DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径,BF=2FO,则FD· FE等于( )

图 33 3 A.- 4 1 C.- 4 B 8 B.- 9 4 D.- 9

→ → [∵BF=2FO,圆 O 的半径为 1,

→ 1 ∴|FO|= , 3 8 → → → → → → → → → → → → ?1?2 ∴FD· FE=(FO+OD)· (FO+OE)=FO2+FO· (OE+OD)+OD· OE=?3? +0-1=- .] 9 4.设向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积:a?b=(a1,a2)?(b1,b2)=(a1b1, 1 ? ?π ? a2b2).已知向量 m=? ?2,4?,n=?6,0?,点 P 在 y=cos x 的图象上运动,点 Q 在 y=f(x)的 π π? → 图象上运动,且满足OQ=m?OP+n(其中 O 为坐标原点),则 y=f(x)在区间? ?6,3?上的最大 值是( ) 【导学号:85952019】 A.4 C.2 2 A B.2 D.2 3

[因为点 P 在 y=cos x 的图象上运动,所以设点 P 的坐标为(x0,cos x0),设 Q 点的

1 ? → → ?π ? 坐 标 为 (x , y) , 则 OQ = m ? OP + n ? (x , y) = ? ?2,4? ? (x0 , cos x0) + ?6,0? ? (x , y) =

?x=1x0+π, ?1x0+π,4cos x0?? ? 2 6 6 ?2 ? ? ? ?y=4cos x0,

π ? ?x0=2? x- ?, π? ? 6? 即? ? y=4cos ? ?2x-3?, ? ?y=4cos x0 π 2x- ?, 即 f(x)=4cos? 3? ? π π? 当 x∈? ?6,3?时, π π π 2π π π 由 ≤x≤ ? ≤2x≤ ? 0≤2x- ≤ , 6 3 3 3 3 3 π π 1 2x- ?≤1? 2≤4cos ?2x- ?≤4, 所以 ≤cos ? 3 3 ? ? ? ? 2 π π? 所以函数 y=f(x)在区间? ?6,3?上的最大值是 4,故选 A.] 二、填空题 π 5.(2016· 广州二模)已知平面向量 a 与 b 的夹角为 ,a=(1, 3),|a-2b|=2 3,则|b| 3 =__________. 2 [由题意得|a|= 12+? 3?2=2,则|a-2b|2=|a|2-4|a||b|cos〈a,b〉+4|b|2=22-

π 4× 2cos |b|+4|b|2=12,解得|b|=2(负舍).] 3 → → ? AB AC ? → → → → → 6.已知非零向量AB与AC满足? → + → ?· BC=0, 且|AB-AC|=2 3,点 D 是△ABC ?|AB| |AC|? → → 中 BC 边的中点,则AB· BD=________.

-3

→ → ? AB AC ? → → → [由? → + → ?· BC=0 得BC与∠A 的角平分线所在的向量垂直, 所以 AB=AC, BC ?|AB| |AC|?

→ → → ⊥AD.又|AB-AC|=2 3, → 所以|CB|=2 3, → 所以|BD|= 3, → → → → → AB· BD=-BA· BD=-|BD|2=-3.] 三、解答题

?ωx+2π?,0?,b=(2cos ωx,3)(ω>0),函数 f(x)=a· 7.已知向量 a=? 2sin b 的图象与直线 3? ? ? ?

y=-2+ 3的相邻两个交点之间的距离为 π. (1)求 ω 的值; (2)求函数 f(x)在[0,2π]上的单调递增区间.

?ωx+2π?,0?,b=(2cos ωx,3)(ω>0),所以函数 f(x)=a· [解] (1)因为向量 a=? 2sin b 3? ? ? ?
2π? ? ?-1?+cos ωx· 3?cos ωx=2 3· =4sin? cos2ωx-2sin ωxcos ωx= ?ωx+ 3 ?cos ωx=4?sin ωx· ? 2? 2? π? 3(1+cos 2ωx)-sin 2ωx=2cos? ?2ωx+6?+ 3,4 分 由题意可知 f(x)的最小正周期为 T=π, 2π 所以 =π,即 ω=1.6 分 2ω π? π? π ?π (2)易知 f(x)=2cos? ?2x+6?+ 3,当 x∈[0,2π]时,2x+6∈?6,4π+6?,8 分 π π 故 2x+ ∈[π,2π]或 2x+ ∈[3π,4π]时,函数 f(x)单调递增,10 分 6 6 5π 11π? ?17π 23π? 所以函数 f(x)的单调递增区间为? ?12, 12 ?和? 12 , 12 ?.12 分 → → → 8.已知△ABC 的周长为 6,|BC|,|CA|,|AB|成等比数列,求: (1)△ABC 面积 S 的最大值; → → (2)BA· BC的取值范围. → → → [解] 设|BC|,|CA|,|AB|依次为 a,b,c,则 a+b+c=6,b2=ac.2 分 a2+c2-b2 a2+c2-ac 2ac-ac 1 π 在△ABC 中,cos B= = ≥ = ,故有 0<B≤ ,4 分 2ac 2ac 2ac 2 3 a+c 6-b 又 b= ac≤ = ,从而 0<b≤2.6 分 2 2 1 1 1 2 π π (1)S= acsin B= b2sin B≤ · 2· sin = 3,当且仅当 a=c,且 B= , 2 2 2 3 3 即△ABC 为等边三角形时面积最大,即 Smax= 3.8 分 a2+c2-b2 ?a+c?2-2ac-b2 ? 6 -b?2-3b2 → → (2)BA· BC=accos B= = = =-(b+3)2+ 2 2 2 27.10 分 → → ∵0<b≤2,∴2≤BA· BC<18, → → 即BA· BC的取值范围是[2,18).12 分


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