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玉溪一中2014——2015学年上学期期中考试 高三理科数学试题


玉溪一中 2015 届高三上学年期中考试题









第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x || x |? 1} , B ? {x | l

og 1 x ? 0 } ,则 A ? B 是 (
3

)

A. ?

B. ?? 1,1?

C.

D. ?0,1?

2.已知复数 z 满足 (3 ? 4i ) z ? 25 ,则 z A. 3 ? 4i B.

?(

) D. ? 3 ? 4i
2

3 ? 4i
)

C. ? 3 ? 4i

3.下列命题中正确的是(

2 A.若 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0

B.若 p ? q 为真命题,则 p ? q 也为真命题 C. “函数 f ( x) 为奇函数”是“ f (0) ? 0 ”的充分不必要条件 D.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的否命题为真命题 4.公比不为 1 的等比数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 ? 3a1 , ? a 2 , a 3 成等差数列,若 a1 ? 1 , 则 S4 = ( A. ? 20 ) B. 0 C. 7 D. 40

5.若框图所给的程序运行结果为 S=20, 那么判断框中应填入的关于 k 的条件是 ( ).

A.k=9? 6.函数 f ( x) ? 2 x ? A.(1,3)

B.k≤8?

C.k<8?

D.k>8? )

2 ? a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是 ( x
B.(1,2) C.(0,3) D.(0,2)

7. 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 P 是上底面 A1 B1C1 D1 内 一动点,则三棱锥 P ? BCD 的正视图与侧视图的面积之比为 ( ) B. 2 : 1 (7 题图)

A. 1 : 1

C. 2 : 3

D. 3 : 2

8.在平行四边形 ABCD 中, AD ? 1, ?BAD ? 60°, E 为 CD 的中点,若 AD ? BE ? 1 ,则 AB 的 2 长为( A. )

1 2

B. 1

C. 2

D. 3

9.若任取 x, y ? ?0,1? ,则点 P( x, y ) 满足 y ? A. 10. 已知 A

x 的概率为(
D.

)

1 3

B.

2 3

C. 1 2

2 2

( x A , y A ) 是圆心在坐标原点的单位圆上任意一点, 且射线 OA 绕原点逆时针旋转 30 ° 到 OB 交单位圆于点 B ( x B , y B ) ,则 x A ? y B 的最大值为( )
A.

1 2
x

B.1

C.

3 2

D. 2

11.函数 y=

x3 的图象大致是 ( 3 -1

)

12.函数

f ( x) ? x ? x 3 ( x ? R) ,当 0 ? ? ?
) B. ?? ?,1?

?
2

时, f ( a sin ? ) ? f (1 ? a ) ? 0 恒成立,则实数

a 的取值范围是 (
A. ?? ?,1?

C. ?1,?? ?

D. ?1,?? ?

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,安排到甲、乙两地参加活动,每个小组由 1 名 教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有__________种. 14.数列 ?a n ?的前 n 项和为 S ,若 S n ? 2a n ? 1 则 S 7 =____________.
n

15.如果存在实数 x 使不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? k 成立,则实数的取值范围是__________.

16.已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ,给出下列五个说法:

? ? 上单调递增. ④将函 ① f (1921? ) ? 1 . ②若 f ( x1 ) ? ? f ( x 2 ) ,则 x1 ? ? x 2 .③ f ( x) 在区间 ?? ? , ? ?
12 4

? 6 3?

数 f ( x) 的图象向右平移 3? 个单位可得到 y ? 1 cos 2 x 的图象.
4
2

⑤ f ( x) 的图象关于点 (? ? , 0) 成中心对称.其中正确说法的序号是 4 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 10 分)

.

已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度单位相 同.曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ). (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程. (Ⅱ)直线 l : ? ?
? x? 1 t 2

? ?y ? 1? 3 t ? 2 ?

( t 为参数)与曲线 C 交于 A, B 两点,于 y 轴交于点 E,求 1 ? 1 .
EA EB

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ( x ? ? ) ? 3 cos 2 x, x ? ? ? , ? ? .设 x ? ? 时 f ( x) 取到最大值. ? 4 ?4 2? ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及 ? 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , A ? ? ? ? ,且 sin B sin C ? sin 2 A ,试判断 12 三角形的形状.

19.(本小题满分 12 分)某高校自主招生选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回 答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概 率分别为

4 3 2 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响. 5 5 5

(Ⅰ)求该同学被淘汰的概率; (Ⅱ)该同学在选拔中回答问题的个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望.

20.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是直 角梯形, AB ? AD , AB // CD , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , E 是 PB 的中点。

(Ⅰ)求证:平面 EAC ? 平面 PBC ; (Ⅱ)若二面角 P ? AC ? E 的余弦值为 平面 EAC 所成角的正弦值。 A

P

6 ,求直线 PA 与 3

E

B C

D

21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,椭圆的离心率为

1 ,且椭圆 2

3 经过点 P (1, ) . 2
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)线段 PQ 是椭圆过点 F2 的弦,且 PF2 ? ? F2 Q ,求 ?PF1Q 面积最大时实数 ? 的值.

22.(本小题满分 12 分)设 f ( x) ?

a ? x ln x , x

g ( x) ? x3 ? x 2 ? 3 .

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线的方程;(Ⅱ)如果存在 x1 , x2 ? [0, 2] , 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立,求满足上述条件的最大整数 M ;

(Ⅲ)如果对任意的 s, t ? [ , 2] ,都有 f ( s ) ? g (t ) 成立,求实数 a 的取值范围.

1 2

玉溪一中 2015 届高三上学年期中考试理科数学 参考答案
1-----5 13. 12 DADAD 6-----10 CACAB 11-----12 14. 127 15. (?3,??) 16.① ,④ CA

17.【答案】(1) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(2) 1 ? 1 ? EA ? EB ? 5 EA EB EA EB

18. 【答案】f ( x) ? ?1 ? cos(2 x ?

) ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? ). 2 ? 3 ? ? ? 2? ? ? ?? ? ? 又 x ? ? , ? ,则 ? 2 x ? ? ,故当 2 x ? ? 6 3 3 3 2 ?4 2? 5? 即x ?? ? 时, f ( x) max ? 3. 6分 12
,由 sin B sin C ? sin 2 A 即 bc ? a 2 , 12 3 又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b 2 ? c 2 ? bc , 2 则 b 2 ? c 2 ? bc ? bc 即 (b ? c) ? 0 , 故 b ? c ? 0. ? b ? c 又 A ?? ?

? ?

? ?

?

(2)由(1)知 A ? ? ?

?

?

?

?

12

?

?

3

所以三角形为等边三角形. 12 分

19.【答案】 (Ⅰ)记“该同学能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1, 2, 3) , 则 P ( A1 ) ?

4 , P( A2 ) ? 3 , P( A3 ) ? 2 ,??????3 分 5 5 5

∴该同学被淘汰的概率 P ? P ( A1 ? A1 A2 ? A2 A2 A3 ) ? P ( A1 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 )
? 1 4 2 4 3 3 101 .????????6分 ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 125

(Ⅱ) ? 的可能值为 1,2,3, P (? ? 1) ? P ( A1 ) ?
4 2 8 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? 5 5 25

1 , 5


4 3 12 .??????8 分 P(? ? 3) ? P( A1 A2 ) ? P ( A1 ) P ( A2 ) ? ? ? 5 5 25

∴ ? 的分布列为

?
P

1

2

3

1 5

8 25

12 25
????????10分

∴ E? ? 1?

1 8 12 57 ? 2 ? ? 3? ? ????????12分 5 25 25 25

20【答案】. 解: (Ⅰ)? PC ? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD,? AC ? PC ,

AB ? 2 , AD ? CD ? 1 ,? AC ? BC ? 2
P

z

E

? AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,? AC ? BC
又 BC ? PC ? C ,? AC ? 平面 PBC, ∵ AC ? 平面 EAC,? 平面 EAC ? 平面 PBC (2)以 C 为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则 C(0,0,0) ,A(1,1,0) ,B(1,-1,0) 。 设 P(0,0,a) (a>0) ,则 E( ……………6 分

1 1 a ,? , ) , 2 2 2

1 1 a CA ? (1,1,0) , CP ? (0,0, a ) , CE ? ( ,? , ) , 2 2 2
取 m =(1,-1,0)……………8 分 则 m ? CP ? m ? CA ? 0 ,? m 为面 PAC 的法向量 设 n ? ( x, y, z ) 为面 EAC 的法向量,则 n ? CA ? n ? CE ? 0 , 即?

? x ? y ? 0, ,取 x ? a , y ? ? a , z ? ?2 ,则 n ? (a,? a,?2) , ? x ? y ? az ? 0

依题意, cos ? m, n ? ?

m?n mn

?

a a2 ? 2

?

6 ,则 a ? 2 。于是 n ? (2,?2,?2) 3 PA ? n PA n 2 , 3

设直线 PA 与平面 EAC 所成角为 ? ,则 sin ? ? cos ? PA, n ? ?

?

即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为

2 。……………12 分 3

3 ( )2 c 1 3 1 21.【答案】 (1) e ? ? , P (1, )满足 2 ? 22 ? 1 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 2 a b

a 2 ? 4, b 2 ? 3,?

x2 y2 ? ? 1 …………4 分 4 3

(2)显然直线 PQ 不与 x 轴重合 当直线 PQ 与 x 轴垂直时,| PQ |=3, | F1 F2 |? 2 , S ?PF1Q ? 3 ;………5 分 当直线 PQ 不与 x 轴垂直时,设直线 PQ : y ? k ( x ? 1), k ? 0 代入椭圆 C 的标准方程, 整理,得 (3 ? 4k ) y ? 6ky ? 9k ? 0,
2 2 2

? ? 0. y1 ? y 2 ?

? 6k ? 9k 2 , y ? y ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

……………7 分

S ?PF1Q

1 k2 ? k ? ? | F1 F2 | ? | y1 ? y 2 |? ... ? 12 2 (3 ? 4k 2 ) 2
t ?3 4

令 t ? 3 ? 4k 2 ,? t ? 3, k 2 ?

所以 S ?PF1Q ? 3 ? 3( ? ) ?
2

1 1 t 3

4 1 1 ? 0 ? ? ? S ?PF1Q ? (0,3) 由上,得 S ?PF1Q ? (0,3] 3 t 3
……………10 分

所以当直线 PQ 与 x 轴垂直时 S ?PF1Q 最大,且最大面积为 3 所以, PF2 ? F2 Q, ? ? 1 ………………12 分

22【答案】 (1)当 a ? 2 时, f ( x) ?

2 2 ? x ln x , f '( x) ? ? 2 ? ln x ? 1 , x x

f (1) ? 2 , f '(1) ? ?1 , 所 以 曲 线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处 的 切 线 方 程 为 y ? ? x ? 3 ;
2分 (2) 存在 x1 , x2 ? [0, 2] , 使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立
3 2 察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3 x ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,

等价于 : [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 考

2

2 3

x

0

2 (0, ) 3
?
递减

2 3
0
极小值 ?

2 ( , 2] 3
?

2

g '( x) g ( x)

0

?3

85 27

递增

1

由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ?

2 3

85 , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 27 112 , 27

[ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ?

所以满足条件的最大整数 M ? 4 ; (3)当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ?

7分

1 2

a ? x ln x ? 1 恒成立等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立, x

∴f(x)的最大值是 0,

最小值是 ?

3 ? 1 .………………12 分 2


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