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自己整理过的高中数学必修一知识总结


必修一 高二文印 350 1、集合的含义:一组确定对象的全体,元素具有确定性、互异性、无序性 2、元素、集合及其关系表示法:元素用小写字母如 a , b 表示;集合用大写字 母如 A, B 表示;元素在集合中用 a ? A 表示;不在集合中用 a ? A 表示 3、集合的表示法:列举法即把集合中的元素一个一个列举出来,如 {1, 2,3} ; 描述法:在大括号中竖线前写代表元,竖

线后写元素的性质,如 ,注意:不论是那种写法必须有大括号 {x | x ? 2? 0}
2

运算 类型 定 义

交 集 即公共 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集. 记作 A ? B 读 ( 作‘A 交 B’ ,即 ) A ? B={x|x ? A,且 x ? B} .

并 集 即全部 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作:A ? B (读作‘A 并 B’,即 ) A ? B ={x|x ? A,或 x ? B}).

补 集 即除去 A 设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子 集 A 的补集 记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A} S A

4 、 几 个 特 殊 的 集 合 表 示 : 自 然 数 集 N 即 0,1,2,3 , … ; 整 数 集 Z 即

? ? 2, ?1,0,1, 2,? ;有理数集 Q 即整数和分数;实数集 R;复数集 C ? { x | x ? a ? bi, a b? R , }
5、 子集: 若集合 A 中的每一个元素都在 B 中, A 为 B 的子集, 称 记作:A ? B 或B ? A,

韦 恩 图 示 性

A

B

A

B

图1

图2

? A ? B:即相等,如{1,2}={1,2} 子集关系有两种情况: ? 3} ? A ? B:即真子集:如{1,2}={1,2,
6、空集 ? 即不含任何元素的集合。如: {x ? R | x +1=0}= ?
2



A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

A ? A=A A ? Φ =A A ? B=B ? A A ? B ?A A ? B ?B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ .

A? B ? A ? A ? B

A? B ? A ? A ? B

性质:空集是任何集合的子集即 ? ? A ;空集是任何非空集合的真子集即

?? A? ?
7、含 n 个元素的集合共有 2 个子集,如 {1, 2,3} 共有 8 个子集 写子集的时候要先写空集和本身,然后按元素个数的规律写 8、集合的运算:
n

9、集合问题通常有两类高考题:一类是有限集的关系和运算;一类是数集的 关系和运算,需要用到解不等式的知识,补充如下: 10、有关不等式的知识 1) 、不等式两端同时加减任意数、同时乘除任意正数后不等号方向不变; 同时乘除负数后不等号方向改变;即:不能同时乘除 0,且系数化正为基 础,有可能在乘除的时候分类讨论(解不等式的核心方法是图形法)
必修一 1

例:解不等式 ( x2 ? 1)(1 ? 2 x) ? 0 解:原不等式可以化为: 1 ? 2 x ? 0 不等号方向不变 即 2x ?1 ? 0 -1,不等号方向改变 ∵ x 2 ? 1 ? 0 ,∴可以消去并且 ∵ x 的系数为负,∴两端乘以

【答案】 (0,8) . 【 解 析 】 x ? ax ? 2a ? 0 恒 成 立
2

??0 ??0

? ? ?0,
即 a ? 4 ? 2a ? 0 , 易 得
2

??0

1 x? 2
变:解不等式 ( x2 ? 1)(1 ? kx) ? 0 (由于不等式两端要除一个数,所以要讨 论 k 的正负) 2) 、二次不等式解法步骤: (二次项系数、方程有无根、根的大小会引起讨 论) 第一步:系数化正 第二步:写出对应方程
2 第三步:求判别式 ? ? b ? 4ac :若 ? ? 0 ,则方程有两个根,写不等式的

0 ? a ?8.
3) 、高次不等式:步骤:第一步:将原不等式分解因式;第二步,将每个因式 中的未知数的最高次项系数化正;第三步:求每个因 式对应的根;第四步:在数轴上标根;第五步:在数 轴上根据各个根分的段,从右向左依次标正负号;第 六步:根据正负写解集(1、有的因式可能没有根说明 是恒正或恒负,可以消去;2、第五步可以用口诀:右 起下行,见根穿根,奇穿偶不穿的画图的方法) 例、1) (12 年江西文)不等式 ( x ? 9)(2 ? x) ? 0 的解集为
2

解集: 有口诀: 大于在两边 (比 大的大或比小的小) 小于在中 , 间(大于小的小于大的) 若 ? ? 0 ,则根据图像写解集(方程没根 不意味不等式没解) 例 1、解不等式: 3 ? 2 x ? x 2 ? 0 解:原式可化为: x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 化正∵原式二次项系数为负,∴两端 乘-1 且不等号方向改变 2 又: x ? 2 x ? 3 ? 0 的解为 x ? 3 或 x ? ?1 求判别式也就 是为求方程的根 所以原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 3} 根据口诀写解集 例 2、 (12 福建文)已知关于 x 的不等式 x -ax+2a>0 在 R 上恒
2

解:原不等式可化为:( x ? 3)( x ? 3)( x ? 2) ? 0

分解因式;将 2 ? x 系

数化正两边乘-1 不等号变号 对应的三个根分别为 x ? ?3 或 x ? 2 或 x ? 3 或如图: + + -3 2 3 由图知原不等式的解集为: {x | ?3 ? x ? 2或x ? 3}

-3

2

3

取最近的不等

号,即大于 0.写成集合的形式 2) x( x ? 2 x ? 9) ? 0
2

成立,则实数 a 的取值范围是__.
必修一 2

解:对应的根分别为: x ? 0 或

x?

2 ? 4 ? 36 ? 1 ? 10 2

注意: x ? 0

不能丢,并且后一个因式不易分解,所以用求根公式求根 原不等式的解集为: {x | x ? 1 ? 10或0 ? x ? 1 ? 10}

? 4) 、分式不等式:依据: A ? 0 ? AB ? 0 ; A ? 0 ? ?
B

B

B?0 ? AB ? 0

即除

变乘;小于或小于等于的类似 步骤:第一步:移项(化一端为 0) ;第二步:通分;第三步:化积(利 用上面依据) ;第四步:转化为高次不等式的解法 例:解不等式: 1 ? x

12、函数及定义域、值域的定义:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定 的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应, 那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记 作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定 义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A } 叫做函数的值域. 13、定义域即使解析式有意义的集合,一般地:分数的分母不为 0;根号的被

x

解:原不等式可化为: 1 ? x ? 0

移项

x

?1 ?x,x ? 0 ? ? 开方数大于等于 0,对数的真数大于 0 即: ? x , x ? 0 ?log x , x ? 0 ? a ? ?
14、函数相等:即两个函数的定义域、对应关系、值域都相同。 15、函数的表示法:列表法、图象法、解析法 16、函数的增减性,即单调性 (1)增函数:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某 个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那 么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. (2) 减函数: 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, 2, x1<x2 时, x 当 都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 17、增减性的判断法:图象法、导数法、定义法、结论法 18、最值的定义:对于函数 y ? f ( x) 在定义域 D 内:若存在实数 M 使得: 1)对任意的 x ? D ,都有 f ( x) ? M ;2)存在 x0 ? D ,使 f ( x0 ) ? M 则 称 M 为该函数的最大值,记作 f ( x)max ? M 若存在实数 m 使得:1)对任意的 x ? D ,都有 f ( x) ? m ;2)存在 x0 ? D ,

即: 1 ? x ? 0
2

通分

x

x(1 ? x2 ) ? 0 x( x2 ? 1) ? 0
-1 + 0 1 +

化积 化正

所以原不等式的解集为 {x | -1 ? x ? 0或x ? 1} 11、区间的表示法: (区间是集合的另一种表示法)小括号表示不含端点

a ? x ? b : a, b) ; ? x ? b : a, b] ; ? x ? b : a, b] ; ? x ? b : a, b) ; a a a [ ( ( [

x ? a : (a, ??) ; x ? a : [a, ??) ; x ? a : (??, a) ; x ? a : (??, a]
必修一 3

使 f ( x0 ) ? m 则称 m 为该函数的最小值,记作 f ( x)min ? m 最大值最小值的求法(值域的求法)一般用换元观察法 19、函数的奇偶性: (1)偶函数:一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数.偶函数关于 y 轴对称 (2)奇函数:一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数.奇函数关于原点对称 20、奇偶性的判断法:图形法、定义法、结论法:即奇函数加奇函数等于奇函 数;偶函数加偶函数等于偶函数;奇函数乘以奇函数等于偶函数;奇函数 乘以偶函数等于奇函数;偶函数乘以偶函数等于偶函数 21、指数和指数函数的图象和性质 (一)指数与指数幂的运算 1. 根式的概念: 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n >1, * 且n∈N .
n

a>1
6 5

0<a<1
6 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域{y|y>0} 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 22、对数和对数函数的图象和性质
x

定义域 R 值域{y|y>0} 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

(一)对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 2.分数指数幂 (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

a 为底 N 的对数,记作: x ? loga N ( a 叫 底数, N 叫 真数) ..
loga 1 ? 0 ; loga a ? 1
常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 2 ○ loga (M · N ) ? loga M + loga N ;○ log a 3 ○ loga M n ? n loga M 换底公式 loga b ? (二)对数函数

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a ? a ,a
n m

m n

?m

? 1 ? m ,a a

m n

?

1 a
m n

?

1
n

am

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (a ? 0, r , s ? R) (1) a r · a r ? a r ? s ; (2) (a r ) s ? a rs ; (3) (ab) r ? a r a s . (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函 数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 2、指数函数的图象和性质
x

M ? loga M - loga N ; N

(n ? R) .

logc b 1 n ; log a b n ? log a b ; loga b ? 1) 2) . m logb a logc a
m

必修一 4

1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其 中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2

y=x 定义域 值域 奇偶性 R R 奇 增

y=x2 R [0, ?? ) 偶 x∈[0, ?? )时,增; x∈ (??, 0] 时,减

y=x3 R R 奇 增 (1,1)

y?x

1 2

y=x-1

[0, ?? ) [0, ?? ) 非奇非偶 增

?x | x ? R且x ? 0?
? y | y ? R且y ? 0?
奇 x∈(0,+ ? )时,减; x∈(- ? ,0)时,减

0<a<1
3 2.5 2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

单调性 定点

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域{x|x>0} 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点(1,0) 23、幂函数 1、幂函数定义:一般地,形 如 y ? x (a ? R) 的函数 称为幂函数,其中 ? 为常 数 . 我 们 只 研 究
?

定义域{x|x>0} 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

24、函数的零点和二分法 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实 数 x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦 即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 3 、 函 数 零 点 的 求 法 : 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 [ a ,b ]上 连 续 , 且

f (a) f (b) ? 0 则该函数在该区间内有零点
4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .
2

? ? 1, 2,3, , ?1 这五种情
况 2、幂函数的图象和性质.

1 2

(1) △>0, 方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根, 二次函数的图象与 x 轴 有两个交点,二次函数有两个零点.
2

(2) △=0, 方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根, 二次函数的图象与 x 轴 有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

(3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交 点,二次函数无零点.
2

5、二分法:给定精确度 ? ,用二分法求函数 f (x)零点近似值的步聚如下: (1)确定区间[a,b],验证 f (a)·f (b)<0,给定精确度 ? ;
必修一 5

(2)求区间(a,b)的中点 c; (3)计算 f (c); ①若 f (c) = 0,则 c 就是函数的零点; ②若 f (a)·f (c)<0,则令 b = c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f (c)·f (b)<0,则令 a = c(此时零点 x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度 ? :即若|a – b|< ? ,则得到零点近似值 a(或 b); 否则重复 2~4. 25、导数 1.导数的意义:函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线

在区间 ? a, b ? 内,若 f ? ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 在该区间内单调递增; 若 f ? ? x? ? 0 , 则函数 y ? f ? x ? 在该区间内单调递减. 5.极值:在点 x ? x0 左侧增右侧减,则 x ? x0 叫函数的极大值点; 在点 x ? x0 左侧减右侧增,则 x ? x0 叫函数的极小值点 求函数 y ? f ? x ? 的极值的方法是: 解方程 f ? ? x ? ? 0 . f ? ? x0 ? ? 0 时: 当

y ? f ? x ? 在点 ? ? x0 , f ? x0 ?? 处的切线的斜率.
2.常见函数的导数公式: ①C
'

?1? 如果在 x0 左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极大值;
? 2 ? 如果在 x0 左侧 f ? ? x ? ? 0 ,右侧 f ? ? x ? ? 0 ,那么 f ? x0 ? 是极小值.
'

? 0;
'

② (x

n '

) ? nx
x '

n?1


x

③ (sin x)

? cos x ;
x

④ (cosx)

? ? sin x ;⑤ (a ) ? a ln a ;⑥ (e ) ? e
x '
'

步骤是:求导数、解方程 f ? ? x ? ? 0 、利用特殊值检验列表、下结论 6.求函数 y ? f ? x ? 在 ? a, b? 上的最大值与最小值的步骤是:



⑦ (log a x ) ?

1 1 ' ; ⑧ (ln x ) ? x x ln a

?1? 求函数 y ? f ? x? 在 ? a, b ? 内的极值;
? 2 ? 将函数 y ? f ? x? 的各极值与端点处的函数值 f ? a ? , f ? b ? 比较,其
中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 26、常见函数的图象和性质见附表

3.导数运算法则: 1) [cf ( x)]? ? c[ f ( x)]? ;2) ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? ? g ? ? x ? ? ? 3) ? f ? x ? ? g ? x ??? ? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? ?

4) ?

? f ? x ? ?? f ? ? x ? g ? x ? ? f ? x ? g ? ? x ? ? g ? x ? ? 0? ? ? 2 ? g ? x? ? ? g ? x ?? ? ? ? ?

4.增减性判定
必修一 6


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