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2015-2016学年高中数学 2.1.2椭圆的简单几何性质学案 新人教A版选修1-1


2015-2016 学年高中数学 2.1.2 椭圆的简单几何性质学案 新人教 A 版选修 1-1

?基础梳理 1. 椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.

2.椭圆的离心率 e. (1)因为 a>c>0,所以 0<e<1. (2)e 越小,椭圆越圆;e 越大,椭圆越扁. 2 2 2 (3)当 e=0 时,即 c

=0,a=b 时, 两焦点重合, 椭圆方程变成 x +y =a ,成为一个圆. (4)当 e=1 时,即 a=c,b=0 时,椭圆压扁成一条线段.

1

(5)离心率 e 刻画的是椭圆的扁平程度,与焦点所在轴无关. 3.直线与椭圆. 2 设直线方程 y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去 y 得关于 x 的一元二次方程:ax +bx+c=0(a≠0). (1)Δ >0,直线与椭圆有两个公共点; (2)Δ =0,直线与椭圆有一个公共点; (3)Δ <0,直线与椭圆无公共点.,?自测自评 1.椭圆 +y =1 的长轴端点的坐标为(D) 6 A.(-1,0),(1,0) B.(-6,0),(6,0) C.(0,- 6),(0, 6) D.(- 6,0)( 6,0) 3 2.离心率为 ,焦点在 x 轴上,且过点(2,0)的椭圆标准方程为(A) 2 A. +y =1 4 B. +y =1 或 x + =1 4 4 2 2 C.x +4y =1 D. +y =1 或 + =1 4 4 16

x2

2

x2 x2

2

2

2

y2

x2

2

x2

y2

x y 2 3.椭圆 + =1 的离心率为 . 16 8 2
解析:∵ + =1 中,a =16,b =8, 16 8

2

2

x2

y2

2

2

c 2 2 2 2 2 2 ∴c =a -b =8.∴e= = = . a 4 2

1.椭圆 25x +9y =225 的长轴长,短轴长,离心率依次是(B) 4 4 A.5,3, B.10,6, 5 5 3 3 C.5,3, D.10,6, 5 5 1 2 2 2.已知椭圆的焦点在 x 轴上,离心率为 ,且长轴长等于圆 C:x +y -2x-15=0 的半 2 径,则椭圆的标准方程是(A) A. + =1 4 3

2

2

x2 y2 x2

B. + =1 16 12

x2 x2

y2

C. +y =1 D. + =1 4 16 4

2

y2

c 1 2 2 2 解析:圆:x +y -2x-15=0 的半径 r=4? a=2,又因为 e= = ,c=1,所以 a =4, a 2 b2=3,故选 A. 3.在一椭圆中以焦点 F1,F2 为直径两端点的圆,恰好过短轴的两顶点,则此椭圆的离 心率 e 等于________.

2

解析:由题可知 b=c,∴a =b +c =2c ,a= 2c. c 2 ∴e= = . a 2 答案: 2 2
2 2

2

2

2

2

x y 3 4.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>c)过点(0,4),离心率为 . a b 5 (1)求 C 得方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5 16 解析:(1)将(0,4)代入 C 的方程得 2 =1,∴b=4. b c 3 a -b 9 16 9 又 e= = ,得 2 = ,即 1- 2 = , a 5 a 25 a 25 ∴a=5,
∴C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3). 5 5 4 x 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1), B(x2,y2),将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5 25 (x-3) 3- 41 3+ 41 x1+x2 2 + =1, 即 x -3x-8=0, 解得 x1= , x2= , ∴AB 的中点坐标 x0= 25 2 2 2 6? 3 y1+y2 2 6 ?3 = ,y0= = (x1+x2-6)=- ,即中点坐标为? ,- ?. 2 5? 2 2 5 5 ? 5.如图所示 F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐 2 标,其纵坐标等于短半轴长的 ,求椭圆的离心率. 3
2 2 2 2

x2

y2

解析:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为 a,b,c.则焦点为 F1(-c,0),F2(c, 2 0),M 点的坐标为(c, b),则△MF1F2 为直角三角形. 3 2 2 2 ∴|F1F2| +|MF2| =|MF1| , 4 2 2 2 即 4c + b =|MF1| . 9 4 2 2 2 4c + b + b=2a, 9 3 3 2 整理得 3c =3a -2ab. b2 4 c2 a2-b2 b2 5 5 2 2 2 2 又 c =a -b ,所以 3b=2a,所以 2= .∴e = 2= 2 =1- 2= ,∴e= . a 9 a a a 9 3 而|MF1|+|MF2|=

3

1.椭圆 + =1 与 + =1(0<k<9)的关系为(D) 25 9 9-k 25-k A.有相等的长轴 B.有相等的短轴 C.有相同的焦点 D.有相等的焦距 2 2 2.(2013·广东四校联考)已知椭圆的方程为 2x +3y =m(m>0),则此椭圆的离心率为 (B) A. C. 1 3 B. 3 3 2 2 1 D. 2
2 2

x2

y2

x2

y2

x y 1 3.若椭圆 + =1 的离心率为 ,则 m 的值为(B) 16 m 3 128 128 A. B. 或 18 9 9 128 C.18 D. 或 6 3
1 4.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为 ,则椭圆 3 的方程是(D) A. C. + =1 144 128 + =1 32 36

x2

y2

B. + =1 36 20 D. + =1 36 32

x2

y2

x2

y2

x2

y2

5.椭圆 2+ 2=1 和 2+ 2=k(k>0)具有(A) A.相同的离心率 B.相同的焦点 C.相同的顶点 D.相同的长、短轴

x2 y2 a b

x2 y2 a b

x2 y2 + =1. a2k b2k 2 2 2 (a -b )k c 2 2 2 2 则 c =(a -b )k,∴e = = 2. 2 ak a x2 y2 → → 6.已知点 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点,且PF1·PF2=0,tan a b
解析:将 2+ 2=k(k>0)化为 1 ∠PF1F2= ,则该椭圆的离心率等于(D) 2 A. 1 1 2 B. C. 3 2 3 D. 5 3

x2 y2 a b

7.已知椭圆上一点 P 到两个焦点的距离的和为 4,其中一个焦点的坐标为( 3,0),则 椭圆的离心率为________. 3 答案: 2 8.椭圆的短轴长等于 2,长轴端点与短轴端点间的距离等于 5,则此椭圆的标准方程 是________________________________________________________________________.

4

答案: +y =1 或 +x =1. 4 4 9.过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若 ∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为________.

x2

2

y2

2

x2 y2 a b

b? 2c ? 解析: 若点 P 在第二象限, 则由题意可得 P?-c, ?, 又∠F1PF2=60°, 所以 2 =tan 60° a? b ? a
= 3,化简得 3c +2ac- 3a =0,即 3e +2e- 3=0,e∈(0,1),解得 e= 3 . 3 答案: 3 3
2 2 2

2

3 ,故填 3

2 10.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e= ,短轴长为 8 5,求椭圆的方程. 3 解析:∵2b=8 5,∴b=4 5. c 2 2 2 2 又 = ,由 a -c =b , a 3 2 2 得 a =144,b =80. ∴ + =1 或 + =1. 144 80 144 80
2 2

x2

y2

y2

x2

x y 1 11.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,且椭圆经过点 N(2,-3). a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)求椭圆以 M(-1,2)为中点的弦所在直线的方程. 解析:(1)由椭圆经过点 N(2,-3), 2 2 2 (-3) 得 2+ =1 2 a b c 1 2 2 又 e= = ,解得 a =16,b =12. a 2
∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 12 (2)显然 M 在椭圆内,设 A(x1,y1),B(x2,y2)是以 M 为中点的弦的两个端点, + =1, + =1. 16 12 16 12 (x2-x1)(x2+x1) (y2-y1)(y2+y1) 相减得 + =0. 16 12 12·(x1+x2) 3 整理得 kAB=- = , 16·(y1+y2) 8 3 则所求直线的方程为 y-2= (x+1), 8 即 3x-8y+19=0 12.(2014·惠州调研)已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上,若右焦点到 直线 x-y+2 2=0 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 y=kx+m(k≠0)与椭圆相交于不同的两点 M、N,当|AM|=|AN|时,求 m 的取 值范围. 则

x2

y2

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

5

解析:(1)依题意可设椭圆方程为 2+y =1, 则右焦点 F 的坐标为( a -1,0), 2 | a -1+2 2| 2 由题意得 =3,解得 a =3. 2 故所求椭圆的标准的方程为 +y =1. 3 (2)设 P(xP,yp)、M(xM,yM)、N(xN,yN),其中 P 为弦 MN 的中点, ?y=kx+m 由?x2 得(3k +1)x +6mkx+3(m -1)=0. 2 +y =1, ? 3 ? 2 2 2 ∵Δ =(6mk) -4(3k +1)×3(m -1)>0, 2 2 即 m <3k +1 ①, 6mk xM+xN 3mk xM+xN=- 2 ,∴xP= =- 2 , 3k +1 2 3k +1
2 2 2 2

x2 a

2

x2

2

?

从而 yP=kxP+m= 2 . 3k +1 yP+1 m+3k2+1 ∴kAP= =- , xP 3mk 又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN, m+3k2+1 1 2 因而- =- ,即 2m=3k +1 3mk k 2 把②式代入①式得 m <2m,解得 0<m<2, 2m-1 1 2 由②式得 k = >0,解得 m> , 3 2 1 综上所述,求得 m 的取值范围为 <m<2. 2

m

②,

?体验高考 1.(2014·全国大纲卷)若椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2 离心率 为 3 ,过 F2 的直线 l 交 C 与 A,B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3,则椭圆 C 的方程为(A) 3 A. + =1 3 2 C. + =1 12 8

x2 y2 a b

x2 y2 x2

B. +y =1 3 D. + =1 12 4

x2

2

y2

x2

y2

解析:∵△AF1B 的周长为 4 3,∴4a=4 3, c 3 ∴a= 3,∵e= = ,∴c=1,b= 2, a 3 ∴椭圆 C 的方程为 + =1. 3 2 2.(2014·江西卷)设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的 垂线与 C 相交于 A, B 两点, F1B 与 y 轴相交于点 D, 若 AD⊥F1B, 则椭圆 C 的离心率等于________. 2 2 2 解析:由题意,F1(-c,0),F2(c,0),其中 c =a -b .

x2 y2

x2 y2 a b

6

不妨设点 B 在第一象限,由 AB⊥x 轴, ∴B?c, ?,A?c,- ?. a a

? ?

b2?

?

? ?

b2?

?

由于 AB//y 轴,|F1O|=|OF2|,

? b? ∴点 D 为线段 BF1 的中点,则 D?0, ?, ? 2a?
→ → 由于 AD⊥F1B,知F1B·DA=0, 2 2 4 b? ? 3b ? 3b ? 2 2 2 c , c ,- 则? ·? =2c - 2=0,即 2ac= 3b , a? 2a ? 2a ? ? ? ? ∴2ac= 3(a -c ), 又 e= ,且 e∈(0,1), ∴ 3e +2e- 3=0,解得 e= 答案: 3 3
2 2 2

2

c a

3 (e=- 3舍去). 3

x2 y2 3.(2014·安徽卷)设 F1,F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 a b 的直线交椭圆 E 于 A,B 两点,|AF1|=3|BF1|. (1)若|AB|=4,△ABF2 的周长为 16,求|AF2|;
3 (2)若 cos∠AF2B= ,求椭圆 E 的离心率. 5 解析:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4, 得|AF1|=3,|F1B|=1. ∵△ABF2 的周长为 16. ∴4a=16,|AF1|+|AF2|=2a=8, 故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5. (2)设|F1B|=k,则 k>0 且|AF1|=3k,|AB|=4k, 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k, 在△ABF2 中,由余弦定理可得 2 2 2 |AB| =|AF2| +|BF2| -2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B, 6 2 2 2 即(4k) =(2a-3k) +(2a-k) - (2a-3k)·(2a-k), 5 化简可得(a+k)·(a-3k)=0,而 a+k>0,故 a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k, 2 2 2 因此|BF2| =|AF2| +|AB| ,可得 AF1⊥AF2. 2 2 ∴△AF1F2 为等腰直角三角形,∴c= a,e= . 2 2 4.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点,
7

x2 y2 a b

M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N.
3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 解析:(1)根据 c= a -b 及题设知 M?c, ? a
2 2

? ?

b2?

?

3 b 3 2 由 kMN= ,得 = ,则 2b =3ac. 4 2ac 4 2 2 2 2 将 b =a -c 代入 2b =3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2//y 轴, 所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF1 的中点,故 =4. 于是 b =4a.① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ? ? ?2(-c-x1)=c, ?x1=- c, 2 ? 即? ?-2y1=2, ? ? ?y1=-1. 2 9c 1 代入 C 的方程,得 2+ =1.② 4a b2 2 9(a -4a) 1 2 2 将①及 c= a -b 代入②得 + =1. 2 4a 4a 解得 a=7,b =4a=28,即 b=2 7. ∴a=7,b=2 7.
2 2

2

b2 a

8


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