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1.2.充要条件(2)


1.2充分条件与必要条件(2)

充分条件与必要条件定义:
一般地,如果已知 p ? q ,即命题“若p则q” 为真命题, 那么就说,p 是q 的充分条件,q 是p 的必要条件. 说明:(1)上述定义中,“p═?q” 即如果具备了条件 p,就足以保证q成立,所以称p是q的充分条件. (2)注意条件和结论是相对而言的,由于“p═?q” 的等价命题是“

? q═??p”,即若q不成立,则p不成 立,所以称q 是p成立的必要条件. (3)q 成立时, p可能成立,也可能不成立,即q成 立不保证p一定成立.

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程, 可确定:命题按条件p和结论q的充分性、必要 性可分为:

(1)充 分 不 必 要 条 件 ,
(2)必 要 不 充 分 条 件 ,

即 p?q但 q? ? p

即 p? ? q但q? p
即 p ? q且 q ? p

(3)充 要 条 件 ,

即 p? (4)既 不 充 分 又 不 必 要 条 件 , ? q且 q ? ? p

充分条件与必要条件的判断方法: 定义法、集合法、逆否法.

③ 逆否命题法:

p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件

? ?q 是?p的充分不必要条件 ? ?q 是?p的必要不充分条件 ? ?q 是?p的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件 ?

?q 是?p的既不充分也不必要条件

1. 已知 p , q 都是 r的必要条件,s 是 r的充分条件, q 是 s的充分条件,那么 (1)s是 q的什么条件? (2)r是 q的什么条件? (3)p是 q的什么条件? 解: 由已知得: q ? r ? p

q ? s?r
综上知: ( 1) s ? q ( 2) r ? q ∴ s是 q的充要条件. ∴ r是 q的充要条件. ∴ p是 q的必要条件.

( 3) q ? p

2.若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件, 充分不必要条 D是C的充分而不必要条件,那么D是A的_____________. 解: 由已知得: A ? B 且 A ? B C?B D?C 且 D?C 综上知: D ? A 且 D ? A 即 D是 A的充分不必要条件. 2.已知p是q的充分而不必要条件,那么┐p是┐q的 必要不充分条件 _______________. 3.已知p是q的必要而充分不条件,那么┐p是┐q的 充分不必要条件 _______________.

练习3. 下列各题中,p是q的什么条件? (1)p:a>0,b>0,q:a+b>0; 充分不必要条件 (2)p:四边形的四条边相等, q:四边形是正方形;必要不充分条件 (3)p:|x|<1,q:-1<x<1; 充要条件 (4)p:a>b,q:a2>b2; 既不充分也不必要条件 (5)p:b=0, 充要条件 q:f(x)=ax2+bx+c是偶函数; (6)p: xy>0 ,q:x>0,y>0 ;必要不充分条件 (7)p: a+c>b+c ,q:a>b. 充要条件

例 1:

说明: 证明充要条件,即证明命题的原命题和逆 命题都成立,但是要分清命题的必要性、充分 性是什么.

? 2 ? 例 2. 函数 f ( x) ? lg? ? 1? 的定义域为 ? x ?1 ?
集合 A ,函数 g ? x ? ? 1 ? x ? a 的定义域 为集合 B . 问: a ? 2 是 A ? B ? ? 的什么 条件? 并证明你的结论.
解: a ?2 是 A ? B ? ? 的充分不必要条件. 下面证明

(1)B ? { x | 1? | x ? a |? 0} 证明:

| x ? a |? 1 ? ?1 ? x ? a ? 1 ? ?1 ? a ? x ? 1 ? a
? B ? [?1 ? a, 1 ? a].
当a?2时,-1-a?-3,1-a?-1,

? A ? B ? ?. 因为 A=(-1,1) ,B=[-1- a ,1- a ],

? 2 ? 例 2. 函数 f ( x) ? lg? ? 1? 的定义域为 ? x ?1 ?
集合 A ,函数 g ? x ? ? 1 ? x ? a 的定义域 为集合 B . 问: a ? 2 是 A ? B ? ? 的什么 条件? 并证明你的结论.
解: (2) 若 A ? B ? ?, 可取-a-1=2, 则a=-3,a小于2.

综上所述, a ?2 是 A ? B ? ? 的充分不必 要条件.

练习.



y

O x1

x2

1

x

? ?1 ? 0. 6

2 2 x ? 1 q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 (m ? 0), |1? | ? 2, 2 .已知 p: 3

若 ┐p是 ┐q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围 .

解: 由 | 1 ? x ? 1 | ? 2 得 ? 2 ? x ? 10

? ? p: A ? { x | x ? ?2 或 x ? 10} .
由 x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0 (m ? 0) 得 1 ? m ? x ? 1 ? m (m ? 0)

3

? ? q:B ? { x | x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m , m ? 0} .
A ∵ ┐p是 ┐q的必要而不充分条件, ? B ? ? ?m ? 0 ? ? ?1 ? m ? ?2 。。 。 。 ?1 ? m ? 10 1-m ? 2 1+m 10 ?
解得实数m的取值范围: m ? 9 .

2 2 x ? 1 q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 (m ? 0), |1? | ? 2, 2 .已知 p: 3

若 ┐p是 ┐q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围 .

由 | 1 ? x ? 1 | ? 2 得 ? 2 ? x ? 10 解2:

3 ? p:P ? { x | ?2 ? x ? 10} 由 x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0 (m ? 0) 得 1 ? m ? x ? 1 ? m (m ? 0)

? q:Q ? { x | 1 ? m ? x ? 1 ? m , m ? 0}
∵ ┐p是 ┐q的必要而不充分条件,

∴ p是 q的充分而不必要条件.

? P?Q ?

?m ? 0 ? ? ?1 ? m ? ?2 ?1 ? m ? 10 ?

1-m ? 2

10 1+m

解得实数m的取值范围: m ? 9 .

2 2 x ? 1 q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 (m ? 0), |1? | ? 2, 2.已知 p: 3

若 ┐p是 ┐q的必要而不充分条件,求实数m的取值范围 .

解3:由 | 1 ? x ? 1 | ? 2 得 ? 2 ? x ? 10 3 ? ? p: x ? ?2 或 x ? 10 .

y

? q: x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0 ( m ? 0 )
∵ ┐p是 ┐q的必要而不充分条件,

x1

-2 O

10

x2 x

?m ? 0 ?m ? 0 ? ? ? ?( ?2 )2 ? 2 ? ( ?2 ) ? 1 ? m 2 ? 0 ? ? m 2 ? 9 ? 2 ? 2 2 10 ? 2 ? 10 ? 1 ? m ? 0 ? ? m ? 81
解得实数m的取值范围: m ? 9 .

2 2 x ? 1 q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 (m ? 0), |1? | ? 2, 变式. 已知 p: 3

若 ┐p是 ┐q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围 .

x ? 1 | ? 2 得 ? 2 ? x ? 10 解:由 | 1 ?

3 ? ? p: x ? ?2 或 x ? 10 , 记 A ? { x | x ? ?2 或 x ? 10} .

由 x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0 (m ? 0) 得 1 ? m ? x ? 1 ? m (m ? 0)

? ? q:x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m (m ? 0),
记 B ? { x | x ? 1 ? m 或 x ? 1 ? m , m ? 0} .

B ∵ ┐p是 ┐q的充分而不必要条件, ? A ? ?
?m ? 0 ? ? ?1 ? m ? ?2 ? 0 ? m ? 3 . ?1 ? m ? 10 ? 解得实数m的取值范围:0 ? m ? 3 .

-2

1-m 1+m 10

2 2 x ? 1 q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 (m ? 0), |1? | ? 2, 变式. 已知 p: 3

若 ┐p是 ┐q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围 .

由已知得: p : ? 2 ? x ? 10 , 记 P ? { x | ?2 ? x ? 10}. 解2:

q : 1 ? m ? x ? 1 ? m (m ? 0),
记 Q ? { x | 1 ? m ? x ? 1 ? m , m ? 0}.
∵ ┐p是 ┐q的充分而不必要条件, ∴ q是 p的充分而不必要条件.

? Q? P ?

?m ? 0 ? ? ?1 ? m ? ?2 ? 0 ? m ? 3 . ?1 ? m ? 10 ?
解得实数m的取值范围:0 ? m ? 3 .

。 ? 2 1-m

1+m 10



2 2 x ? 1 q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 (m ? 0), |1? | ? 2, 变式. 已知 p: 3

若 ┐p是 ┐q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围 .

3 ? ? p: x ? ?2 或 x ? 10. 记 A ? { x | x ? ?2 或 x ? 10} . ? q: x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 ? 0 (m ? 0) , 记B ? { x | x 2 ? 2 x ? 1 ? m2 ? 0, m ? 0},
则 ? ? 4m 2 ? 0 令 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ? m 2 (m ? 0) ,

解3:由 | 1 ? x ? 1 | ? 2 得 ? 2 ? x ? 10

B ∵┐p是 ┐q的充分而不必要条件, ? A ? ? m? ?0 0 ?m ? ?m ? 0 ? ? ? 2 2 2 f ( ? 2) ? 0 ? ( ? 2) ? 2 ? ( ? 2) ? 1 ? m ?0 m ? 9 ? 0 ? m ? 3 . ? ? ? ? f (10) ? 0 ? ?102 ? 2 ? 10 ? 1 ? m 2 ? 0 ? ? ? m ? 81
解得实数m的取值范围: 0 ? m ? 3 .

y
x?1

x1 x2
-2 O 10

x

课后作业

乐学七中 1.2.1 充要条件(一)


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