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23反思教学的若干认识


2015 年第 1 期

福建中学数学

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思评价.教师及时给予疏理,千方百计激活课堂, 提高学生的进一步学习的兴趣、自学的热情,才能 进一步激发学生自学兴趣活力. 4 关注后继尝试,实现学生良好学习习惯的循 环 在本节课结束时要及时布置下节课的尝试题, 并讲清要求,必要时还可作些提示,这样又是下一 节尝试的开始,这样的循环往复,使学生每一节课 都能处于尝试的状态,他们的尝试精神和探索精神 都会得到充分的发展.如在本节内容小结后布置下 节课的尝试题:①什么是整数指数幂?②把式子 ?2 y 3 ( x ? 2 y ) ?3 写成只含有正整数指数幂的式子;③ 利用负指数幂把下列各式化成不含分母的式子: x 2x . ? 2 , y ( a ? b) 2

通过布置下节课的尝试题就是让学生先行尝 试,他们在尝试过程中必然会遇到困难,他们就会 主动自学课本,在课本中寻找线索; 或者主动向别 人请教;再主动积极思考,直到解决问题.这样就 把学生推动主动的位置上,课堂教学就可以发生了 根本的变化,实现学生良好学习习惯的循环. 超前尝试自学是合理的“抢跑”, 学生若能掌握正 确的超前尝试自学方法,就可以帮助他们形成良性 循环的学习习惯,教师要通过关注学生的课前预习、 课堂学习、小结评价、后继尝试,使他们持之以恒 地坚持超前尝试自学,不仅能提高他们听课的效率, 而且有利于培养他们自主学习、独立思考的学习习 惯,从而养成良好的学习品质.
参考文献 [1]刘晓宁,杨良雄.基于无意注意的英语教学实践[J].福建教育中学版, 2014(10) :45-46

反思教学的若干认识
陈和春 福建省石狮市第八中学(362700)
A , B 两点,求 AB 的长.

学会学习是学校教育的追求目标,而学生在学 习过程中会不会主动地进行反思是他能否学会学习 的标志之一.教育学认为:学生的学习过程是以自 己已有的知识经验为基础,经过对信息的理解,探 索推理,在不断的反思过程中去发现新知识的过 程.为此在课堂教学中应根据学生的认知经验,设 计暴露思维过程的反思情境,培养学生自我检查、 评价、调控的反思意识. 1 设计旧知识的反思,体验新知识的发生、形 成过程 心理学认为:人的知识水平可划分为三个层次: “已知区”,“最近发展区”和“未知区”,而且在这三个 层次之间循环往复,不断转化,螺旋上升.教材中 的概念、公式、定理等是学生的主要学习内容,上 新课时对学生而言是在 “未知区 ”,因此在 “已知区 ” 与“最近发展区”的结合点, 即知识的增长点设计问题 情境,发现矛盾,反思旧知识的极限性,引导探索 解决问题的方法,从而构建新知识.
x2 ? y2 2 ? 1 的左焦点作倾斜角为 60? 的直线,直线交椭圆于

学生: 易求直线 AB 的方程是 y ? 3( x ? 1) , 联立 直线与椭圆的方程组,消去 y 得 7 x 2 ? 12 x ? 4 ? 0 ,
? ? ? 0 , 解 方 程 求 出 点 A( B( ?6 ? 2 2 3?2 6 , ), 7 7

?6 ? 2 2 3?2 6 , ) ,再用两点间的距离公式求 7 7 AB 的长.

反思 解题过程计算量较大较繁且容易出错,这 样就发现了旧知识(两点间距离公式)的极限性, 引导探索解决问题的方法.设 A( x1 , x2 ) , B ( y1 , y2 ) ,
AB : y ? kx ? b ,根据 AB ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ,用

只需求 x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 , x1 ,x2 表示 y1 , y2 , 就转化为用韦达定理求解即可,于是弦长公式
AB = (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 的 产 生 就 成 为 必 然

2

案例 1 (人教 A 版必修 2-1)经过椭圆

了.这样通过问题反思,让学生体验公式的产生, 形成过程,有利于培养学生自主探究的能力. 2 设计错题反思,正确理解知识的含义,体验 知错、改错,防错的思维过程

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由于学生对知识掌握不够扎实或理解的偏差, 审题不周,定势思维等原因,难免解题出错.重要 的是要引导学生善于质疑、检验、批判等思维方法 进行反思,以达到知错、改错、防错的效果. π 案例 2 若 0 ? x ? ,则 2 x 与 3sin x 的大小关系 2 是( ) A. 2 x > 3sin x B. 2 x < 3sin x C. 2 x = 3sin x D.与 x 的值有关 π π π 错解 x 取特殊角 , , ,比较都有 2 x ? 6 4 3 3sin x ,排除选项 A,C,根据做题经验感觉 D 不正 确,故选择 B. π 反思 验证当 x → 时, 2 x → π , 3sin x →3,显 2 然 ? ? 3 ,因此 2 x 与 3sin x 的大小与 x 的值有关,故 选择 D. 反思以上错误的原因是以偏概全、 思维定势 造成的,如何避免再出现类似的错误呢?一方面思 维要严密,另一方面要善于挖掘问题的几何背景, 加强数形结合的思想意识. 只需构造基本函数 y ? 2 x 与 y ? 3sin x ,要比较函数值的大小,自然想到在同 一个坐标系内分别做出他们的图像,观察图像可知 2 x 与 3sin x 的大小关系与 x 的值有关,故选择 D. x ? 1, ?(3a ? 1) x ? 4a , 案 例 3 f ( x) ? ? 是 (?? , ? ?) x ? 1, ?log a x , 上的减函数,则 a 的取值范围是_____ 1 A.(0,1) B. (0 , ) 3 1 1 1 C. [ , ) D. [ , 1) 7 3 7 错 解 由 题 意 , 得 y ? (3a ? 1) x ? 4a( x ? 1) 和
y ? log a x( x ? 1) 都是减函数, ?3a ? 1 ? 0 , 1 则? 得 a ? (0 , ) ,故选择 B. 3 ?0 ? a ? 1 ,

?3a ? 1 ? 0 , 1 1 ? 得 a ? [ , ) ,故选 C. ?(3a ? 1) ? 1 ? 4a ? 0 , 7 3 ?0 ? a ? 1 , ?

3 设计解题过程的反思,优化思维品质 解题教学是数学教学的主要内容,而问题的解 决是建立在实践、 认识, 再实践、 再认识的基础上. 在 解题过程中,难免会遇到许多困难和挫折,需要对 试题信息和自己的思考过程进行反思,促使对原有 的构思进行修正,及时转换思路,选择正确的方法, 从而积极地超越障碍,使解题顺利完成.
2 cos10? ? sin 20? . cos 20? 学生:由 20? 和 10? 的倍角关系,容易想到原式

案例 4 求值

2 cos10? ? 2sin10? cos10? 2 cos10? (1 ? sin10? ) ,因为 ? cos 20? cos 20? 难于协调分子与分母的关系,至此思路受阻. ?

反思 需要对试题信息和自己的思考过程进行 反思,重新观察角的特征,发现 10? ? 30? ? 20? ,可把 非特殊角转化为特殊角, 则原式 ?
? 2 cos(30? ? 20? ) ? sin 20? cos 20?

3 cos 20? ? sin 20? ? sin 20? ? 3. cos 20? 所以在思路受阻时,若能及时反思,变换观察

与思考的角度,就有可能发现解题的有效途径 案例 5 (福建中学数学增刊)如 y D F 图 1,已知 A(0 , 2) , B (0 , ? 2) ,点 C 为 A 直线 x ? 3 上的动点, 连接 AC 并将其绕 ? 点 A 旋转 90 得到 AD ,其中点 D 位于 轴上方,证明: k AC ? k BD 为定值.

x O B P C E 图1

t )(t ? 2) ,点 D(a , b)(b ? 0) , 学生:设点 C (3 , ???? ???? 由已知 | AC |?| AD | , | AC |?| AD | , ?3a ? (t ? 2)(b ? 2) ? 0 , 得: ? 2 2 2 ?9 ? (t ? 2) ? a ? (b ? 2) , 消去 a ,求得 b ? 5 , ? a ? 2 ? t ,即 D(2 ? t , 5) , t ?2 5? 2 7 则 k AC ? k BD = ? ? ? 为定值. 3 2?t 3 反思 因要联立方程组,解法较繁,计算量大, 许多学生因此思路受阻而放弃或计算出错.是否有 其他解法?再对试题信息和自己的思考过程进行反 ???? ???? 思,发现将 AC 其绕点 A 旋转 90? 得到 AD ,及时转

反思 反思以上错误的原因是对分段函数单调 性含义理解的片面性造成的,应把分段函数当成一 个整体,整个 f ( x) 的图像应随着 x 的增大而逐渐下 降. 故当 x ? 1 时, log a 1 ? 0 ,若 f ( x) 为 R 上的减函 数 , 则 (3a ? 1) x ? 4a ? 0 在 x ? 1 时 恒 成 立 , 则 有

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c e2 ? 1 可得 k ? ,故选 D. a 2 反思 因要联立方程组,消元,再利用韦达定理

? cos90? 换思路,联想到能否利用旋转变换 M ? ? ? sin90? ?
?sin90? ? ? 0 ?1? t )(t ? 2) , 由 ? =? ? 求 解 , 设 点 C (3 , cos90? ? ? ?1 0 ? ???? ???? ? ?t ? 2 ? ???? ??? ? ???? AD ? M AC ? ? 5) , ? ,即 OD ? OA ? AD ? (2 ? t , ?3 ? t ?2 5? 2 7 则 k AC ? k BD ? 显然此解法简单 ? ? ? 为定值. 3 2?t 3 快捷,大大减少计算量,提高了解题效率.所以在

e?

求中点坐标,解法较繁,计算量大,许多学生因此 思路受阻或计算出错.是否有其他解法? 学 生 2 : M ( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,
? y0 ? 2 x0 ,再由点差法得 k AB ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) b 2 ,即 ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) a 2

思路受阻时,再对试题信息进行反思,转换思路, 超越障碍,使解题顺利完成. 4 设计解题后的反思,引导变式与拓展,总结 解题规律 “解题后的反思是领会方法的最佳时机”.反思 是数学知识的迁移和解题思维过程的再现,旨在通 过这种再现,总结解题方法在怎样的数学思想或数 学观点的指导下形成的,能否引伸拓广,从而归纳 出解题规律,因此反思过程有利于知识的系统化, 做到“做一题,会一类、解决一种题型、复习一系列 知识.” 案例 6 (福建中学数学增刊)中心在原点,焦 点在 x 轴上的双曲线 C 的离心率为 e ,直线 l 与双曲 线 C 交于 A , B 两点,线段 AB 中点 M 在第一象限, 并且在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上, 且 M 到抛物线焦点 的距离为 p ,则直线 l 的斜率为( A. e 2 ? 1 ) B. e 2 ? 1

y0 b 2 c e2 ? 1 , ? 2 ,再把 y0 ? 2 x0 , e ? 代入得 k ? x0 a a 2

故选 D. 变式 把双曲线改为椭圆,其他条件不变,结论 能否成立?能否引伸拓广? 总结规律 中点弦问题:若直线 l 与椭圆或双曲 线相交于 A , B 两点,中点 M ,则可利用点差法有 它刻画了弦 AB 的斜 k AB ? kOM ? 关于离心率 e 的常数, 率与中点坐标的关系. 案例 7 求函数 f ( x) ? (1) 学生: 由 f ( x) ?
? 5 x ?4
2

x2 ? 9 x2 ? 4

的最小值.
x2 ? 4 ? 5 x2 ? 4 5 x ?4
2

x2 ? 9 x2 ? 4

?

? x2 ? 4

? 2 5 ,当且仅当

x2 ? 4 ?

,即

x ? ?1 时取到等号,所以 f ( x) 的最小值 2 5 .

(2)变式:求函数 f ( x) ? 学生 1:由 f ( x) ?
1 x ?4
2

x2 ? 5 x2 ? 4

的最小值.
? x2 ? 4 ?

e2 ? 1 e2 ? 1 C. D. 2 2 学生 1:设直线 l : y ? kx ? n (因斜率 k 存在) , x y 双 曲 线 为 2 ? 2 ? 1 , M ( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ) , a b B ( x2 , y2 ) ,因 M 在抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上, M 到
2 2

x2 ? 5 x2 ? 4

?

x2 ? 4 ? 1 x2 ? 4 1

? 2 ,当且仅当 x 2 ? 4 ?

到最小值 2,而发现 x 2 ? 4 ?

时, f ( x) 取 x2 ? 4 1 无解,则思路 2 x ?4

抛物线焦点的距离为 p ,由定义得 x0 ?
x0 ?

p ? p ,即 2

p 2 ,代入 y0 ? 2 px0 ,得 y0 ? p ,即 y0 ? 2 x0 ,又 2 ? y ? kx ? n , 得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 knx ? a 2 n 2 ? ? 2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b , 2a 2 kn ,即 x0 = a 2 b 2 ? 0 ,由韦达定理 x1 +x2 = ? 2 b ? a2k 2 a 2 kn a2k 2n , ? 2 y = ? ? n ,再代入 y0 ? 2 x0 , 0 b ? a2k 2 b2 ? a 2 k 2

受阻. 学生 2 提出:用换元法转化为有解函数.令 1 t ? x 2 ? 4 , ? y ? t ? ,即 t 2 ? yt ? 1 ? 0 , ? ? y 2 ? 4 t ? 0 ,得 y ? ?2 (舍去)或 y ? 2 ,所以 y 的最小值为 2,而发现 y =2 时,得 t 2 ? 2t ? 1 ? 0 ,解得 t ? 1 ?
x 2 ? 4 无解,思路再度受阻. 1 1 设置问题 作出函数 y ? x ? ( x ? 0) 与 y ? x ? x x

26
( x ? 2) 的图象.

福建中学数学
b?a

2015 年第 1 期

引导对比发现:可用函数的单调性求解. 1 1 令 t ? x2 ? 4 , 易证 y ? t ? 在 ? y ? t ? (t ? 2) , t t 5 [2 , ? ?) 上是单调递增,故 y 的最小值 = . 2 x2 ? b (3)反思总结规律:对于求 f ( x)= (a ? x2 ? a 0) 这一类函数的最小值,

①可变形为 f ( x) ? x 2 ? a ?

x2 ? a

(a ? 0) ;

② 当 b ? a ? a 时,b ? 2a , 可利用基本不等式求 的最小值 ? 2 b ? a ; 当 b ? a ? a 时, b ? 2a ,令 t = x 2 ? a , 1 y ? t ? (t ? a ) 在 [ a , ? ?) 上是单调递增, t 故最小值 =
b a . a

分析反思
陈小明

探究新解

四川省重庆市武隆中学(408500)
? ???? ???? ? ???? ???? ? 1 ???? (| AM |2 ?|MB|2 ? 2| AM ||MB|cos ?AMB ?| AM |2 2 ???? ? ???? ? ???? ? ??? ? ?|MC|2 ? 2| AM ||MC|cos ?AMC ?|BC|2 ) ? ???? ??? ? 1 ???? ? (2| AM |2 ?|MB|2 ?|BC|2 ) ? ?16 , 2 策略 2 由平面向量基本定理,我们会想到引入 ?

1 分析解法 首先看一位教师对 2012 年高考数学浙江卷理科 第 15 题的讲评: 在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM ? 3 , BC ? ??? ? ???? . 10 ,则 AB ? AC ? ??? ? ???? ? 1 ??? ? ???? ???? ? 1 ??? ? 解 ? AB ? AM ? BC , AC ? AM ? BC , 2 2 ??? ? ???? ???? ? 1 ??? ? ???? ? 1 ??? ? ? AB ? AC ? ( AM ? BC ) ? ( AM ? BC ) 2 2 ???? ? 2 1 ??? ?2 = AM ? BC 4 1 ? 9 ? ? 100 ? ?16 . 4 老师讲完以上解法马上转入下一道题,没有分 析解题思路,也许他认为此题容易.其实不然,学 ? ???? ? ??? 生缺乏选取基底的意识,不能想到以 AM , BC 为基 底来做,可能还会想到其它解法.因此我们应当引 导学生探究此题,挖掘学生潜在的数学机智,有意 创造条件提高学生的解题能力,培养学生的数学思 维能力. 2 探究新解 策略 1 由平面向量数量积的定义,我们会想到 定义法,彰显数学概念的核心价值观. ??? ? ???? ??? ? ???? 解 AB ? AC ? | AB|| AC|cos ?ABC ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? | AB|2 ?| AC|2 ?|BC|2 ??? ? ???? ? | AB|| AC|( ) 2| AB|| AC| ? ???? ??? ? 1 ??? ? (| AB|2 ?| AC|2 ?|BC|2 ) 2

基底,把未知转为已知,彰显转化与化归思想. ??? ? ???? ? 解 以 AM , BC 为一组基底, ??? ? ???? ???? ? 1 ??? ? ???? ? 1 ??? ? 则 AB ? AC ? ( AM ? BC ) ? ( AM ? BC ) 2 2 ???? ? 2 1 ??? ?2 ? AM ? BC ? ?16 . 4 策略 3 由平面向量数量积的运算律,我们会想 到引入基底,构造方程组,彰显方程思想. ??? ? ???? 解 以 AB 和 AC 为一组基底, ???? ? 1 ??? ? ???? ? AM ? ( AB ? AC ) , 2 ???? ? 2 1 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ???? ? AM ? ( AB ? AC ? 2 AB ? AC ) ? 9? (1) , 4 ??? ? ???? ??? ? ? BC ? AC ? AB , ??? ? 2 ??? ? ???? ??? ? ???? ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? 100? (2) ??? ? ???? ? AB ? AC ? ?16 . 策略 4 由向量数量积的坐标表示,容易想到坐 标法,彰显数形结合的思想. 解 以 BC 所在直线为 x 轴, M 为坐标原点建立 平面直角坐标系,则 B(?5 , 0) ,C (5 , 0) ,设 A( x , y) , ??? ? ???? 则 AB ? AC ? (?5 ? x , ? y ) ? (5 ? x , ? y)
? x 2 ? y 2 ? 25 ? 9 ? 25 ? ?16 .


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