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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示 理


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第二章 函数概念 与基本初等函数 I 2.1 函数及其表示 理

1.函数与映射 函数 两集合 A、 设 A,B 是两个非空数集 如果按某种对应法则 f,对于集合 映射 设 A,B 是两个非空集合 如果按某种对应法则 f,对于 A 中 的每一个元素, 在 B 中都有唯一的 元素与之对应 称对应 f: A→B

为从集合 A 到集合

B
对应法则

f:A→B

A 中的每一个元素 x,在集合 B 中
都有唯一的元素 y 和它对应 这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的一个函数

名称 记法

B 的映射 f:A→B

y=f(x)(x∈A)

2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x∈A 中,其中所有 x 组成的集合 A 称为函数 y=f(x)的定义域;将所有 y 组成的集合叫做函数 y=f(x)的值域. (2)函数的三要素:定义域、对应法则和值域. (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法. 3.分段函数 在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式,这样的函数,通常叫做分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段 函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数. 4.常见函数定义域的求法 类型 2n

x 满足的条件 f(x)≥0

f?x?,n∈N*

1

1 0 与[f(x)] f?x? logaf(x)(a>0,a≠1) logf(x)g(x) tan f(x)

f(x)≠0 f(x)>0 f(x)>0,且 f(x)≠1,g(x)>0 f(x)≠kπ + ,k∈Z
π 2

【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数 f:A→B,其值域是集合 B.( × ) (2)若两个函数的定义域与值域相同,则这两个函数是相等函数.( × ) (3)映射是特殊的函数.( × ) (4)若 A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|,其对应是从 A 到 B 的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )

(6)若函数 f(x)的定义域为{x|1≤x<3},则函数 f(2x-1)的定义域为{x|1≤x<5}.( × )

? ?1+x,x∈R 1.已知 f(x)=? ??1+i?x,x?R ?

,其中 i 是虚数单位,则 f(f(1-i))=________.

答案 3 解析 f(1-i)=(1+i)(1-i)=2,

f(f(1-i))=f(2)=1+2=3.
2.函数 f(x)= 的定义域为______________. 2 ?log2x? -1 1

? 1? 答案 ?0, ?∪(2,+∞) 2 ? ?
? ?x>0, 解析 要使函数 f(x)有意义,需使? 2 ??log2x? -1>0, ?

1 解得 x>2 或 0<x< .故 f(x)的定义 2

? 1? 域为?0, ?∪(2,+∞). ? 2?
? ?1+log2?2-x?,x<1, 3.(2015·课标全国Ⅱ)设函数 f(x)=? x-1 ?2 , x≥1, ?

则 f(-2)+f(log212)

=________. 答案 9 解析 因为-2<1,log212>log28=3>1,所以 f(-2)=1+log2[2-(-2)]=1+log24=3,
2

1 f ? log 2 12 ?=2log2 12-1=2log2 12 ? 2-1= 12 ? =6, 故 f(-2)+f(log212)=3+6=9. 2
4.(教材改编)若函数 y=f(x)的定义域为 M={x|-2≤x≤2},值域为 N={y|0≤y≤2},则 函数 y=f(x)的图象可能是________(填序号).

答案 ② 解析 ①中函数定义域不是[-2,2],③中图象不表示函数,④中函数值域不是[0,2],故填 ②. 5.给出下列四个命题: ①函数是其定义域到值域的映射;②f(x)= x-2+ 2-x是函数;③函数 y=2x(x∈N)的图 象是一条直线;④函数的定义域和值域一定是无限集合. 其中真命题的序号有________. 答案 ①② 解析 对于①, 函数是映射, 但映射不一定是函数; 对于②, f(x)是定义域为{2},值域为{0} 的函数;对于③,函数 y=2x(x∈N)的图象不是一条直线;对于④,函数的定义域和值域不 一定是无限集合.

题型一 函数的概念 例 1 有以下判断:
?1 ?x≥0? ? |x| ①f(x)= 与 g(x)=? x ? ?-1 ?x<0?

表示同一函数;

②函数 y=f(x)的图象与直线 x=1 的交点最多有 1 个; ③f(x)=x -2x+1 与 g(t)=t -2t+1 是同一函数;
2 2

? ?1?? ④若 f(x)=|x-1|-|x|,则 f?f? ??=0. ? ?2??
其中正确判断的序号是________. 答案 ②③ 解析 对 于 ① , 由 于 函 数 f(x) = |x|

x

的 定 义 域 为 {x|x∈R 且 x≠0} , 而 函 数 g(x) =

3

?1 ? ? ?-1 ?

?x≥0? ?x<0?

的定义域是 R,所以二者不是同一函数;对于②,若 x=1 不是 y=f(x)

定义域内的值, 则直线 x=1 与 y=f(x)的图象没有交点, 如果 x=1 是 y=f(x)定义域内的值, 由函数定义可知,直线 x=1 与 y=f(x)的图象只有一个交点,即 y=f(x)的图象与直线 x=1 最多有一个交点;对于③,f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应法则均相同,所以 f(x)和 g(t)

?1? ?1 ? ?1? 表示同一函数;对于④,由于 f? ?=? -1?-? ?=0, ?2? ?2 ? ?2? ? ?1?? 所以 f?f? ??=f(0)=1. ? ?2??
综上可知,正确的判断是②③. 思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定;当且仅当定义域和对应法则都相同 的函数才是同一函数. 值得注意的是, 函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应 法则是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应法 则算出的函数值是否相同). (1)下列四组函数中,表示同一函数的是________. ①y=x-1 与 y= ?x-1? ; ②y= x-1与 y=
2

x-1 ; x-1
2

③y=4lg x 与 y=2lg x ; ④y=lg x-2 与 y=lg . 100 (2)下列所给图象是函数图象的个数为________.

x

答案 (1)④ (2)2 解析 (1)①中两函数对应法则不同;②、③中的函数定义域不同,④表示同一函数. (2)①中当 x>0 时, 每一个 x 的值对应两个不同的 y 值, 因此不是函数图象, ②中当 x=x0 时,

y 的值有两个,因此不是函数图象,③④中每一个 x 的值对应唯一的 y 值,因此是函数图象.
题型二 函数的定义域 命题点 1 求给定函数解析式的定义域 例 2 (1)函数 f(x)= 1-2 +
x

1

x+3

的定义域为__________.

lg?x+1? (2)函数 f(x)= 的定义域是______________. x-1

4

答案 (1)(-3,0] (2)(-1,1)∪(1,+∞) 解析
?1-2 ≥0, ? (1)由题意知? ?x+3>0, ?
x

解得-3<x≤0,所以函数 f(x)的定义域为(-3,0].

lg?x+1? (2)要使函数 f(x)= 有意义,需满足 x+1>0 且 x-1≠0,得 x>-1,且 x≠1. x-1 命题点 2 求抽象函数的定义域 例 3 (1) 若函数 y = f(x) 的定义域是 [1,2 016] ,则函数 g(x) =

f?x+1? 的定义域是 x-1

____________. (2)若函数 f(x +1)的定义域为[-1,1],则 f(lg x)的定义域为________. 答案 (1)[0,1)∪(1,2 015] (2)[10,100]
2

解析 (1)令 t=x+1,则由已知函数的定义域为[1,2 016],可知 1≤t≤2 016.要使函数

f(x+1)有意义,则有 1≤x+1≤2 016,解得 0≤x≤2 015,故函数 f(x+1)的定义域为[0,
2 015].
?0≤x≤2 015, ? 所以使函数 g(x)有意义的条件是? ?x-1≠0, ?

解得 0≤x<1 或 1<x≤2 015.故函数 g(x)

的定义域为[0,1)∪(1,2 015]. (2)因为 f(x +1)的定义域为[-1,1],则-1≤x≤1,故 0≤x ≤1,所以 1≤x +1≤2.因为
2 2 2

f(x2+1)与 f(lg x)是同一个对应法则,所以 1≤lg x≤2,即 10≤x≤100,所以函数 f(lg x)
的定义域为[10,100]. 命题点 3 已知定义域求参数范围 例 4 若函数 f ? x ?= 2 答案 [-1,0] 解析 因为函数 f(x)的定义域为 R,所以 2
2

x2+2ax-a-1

的定义域为 R,则 a 的取值范围为________.

x2+2ax-a-1

x2 ? 0 对 x∈R 恒成立,即 2x +2ax-a ? 20,

2

+2ax-a≥0 恒成立,因此有 Δ =(2a) +4a≤0,解得-1≤a≤0. 思维升华 简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)抽象函数: ①无论是已知定义域还是求定义域,均是指其中的自变量 x 的取值集合; ②对应 f 下的范围一致. (3)已知定义域求参数范围,可将问题转化,列出含参数的不等式(组),进而求范围. 1 1 (1)已知函数 f(x)的定义域是[0,2], 则函数 g(x)=f(x+ )+f(x- )的定义域 2 2 是________.
5

(2)函数 y=

ln?x+1? -x -3x+4
2

的定义域为_______________________________.

1 3 答案 (1)[ , ] 2 2

(2)(-1,1)

解析 (1)因为函数 f(x)的定义域是[0,2], 1 0≤x+ ≤2, ? ? 2 需要满足? 1 0≤x- ≤2, ? ? 2

1 1 所以函数 g(x)=f(x+ )+f(x- )中的自变量 x 2 2

解得:

1 2

3 ≤x≤ , 2 1 3 所以函数 g(x)的定义域是[ , ]. 2 2
? ?x+1>0, (2)由? 2 ?-x -3x+4>0, ?

得-1<x<1.

题型三 求函数解析式 2 例 5 (1)已知 f( +1)=lg x,则 f(x)=________.

x

(2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)=________. 1 (3)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)=2f( )· x-1,则 f(x)=________.

x

答案 (1)lg

2 2 1 (x>1) (2)2x+7 (3) x+ x-1 3 3

2 2 解析 (1)(换元法)令 t= +1(t>1),则 x= , x t-1 ∴f(t)=lg 2

t-1

,即 f(x)=lg

2

x-1

(x>1).

(2)(待定系数法) 设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+5a+b, 即 ax+5a+b=2x+17 不论 x 为何值都成立, ∴?
? ?a=2, ?b+5a=17, ?

解得?

? ?a=2, ?b=7, ?

∴f(x)=2x+7. (3)(消去法) 1 1 在 f(x)=2f( ) x-1 中,用 代替 x,

x

x

6

1 1 得 f( )=2f(x) -1,

x x

x

1 2f?x? 1 将 f( )= -1 代入 f(x)=2f( ) x-1 中,

x

x

2 1 可求得 f(x)= x+ . 3 3 思维升华 函数解析式的求法 (1)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; (3)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替 代 g(x),便得 f(x)的解析式;

?1? (4)消去法:已知 f(x)与 f? ?或 f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等 ?x?
式组成方程组,通过解方程组求出 f(x). (1)已知 f( x+1)=x+2 x,则 f(x)=________. (2)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=2f(x).若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当 -1≤x≤0 时,f(x)=________. (3) 定 义 在 ( - 1,1) 内 的 函 数 f(x) 满 足 2f(x) - f( - x) = lg(x + 1) , 则 f(x) = __________________. 1 2 答案 (1)x -1(x≥1) (2)- x(x+1) 2 2 1 (3) lg(x+1)+ lg(1-x) (-1<x<1) 3 3 解析 (1)设 x+1=t(t≥1),则 x=t-1. 代入 f( x+1)=x+2 x, 得 f(t)=t -1(t≥1), ∴f(x)=x -1(x≥1). (2)当-1≤x≤0 时,0≤x+1≤1, 1 1 由已知 f(x)= f(x+1)=- x(x+1). 2 2 (3)当 x∈(-1,1)时, 有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x 代替 x 得, 2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得,
2 2

7

f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1).

2 3

1 3

2.分类讨论思想在函数中的应用

?e ,x<1, ? 典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数 f(x)=? 1 ? ? x 3 ,x≥1,
取值范围是________.
? ?3x-1,x<1, (2)(2015·山东改编)设函数 f(x)=? x ?2 ,x≥1, ?

x-1

则使得 f(x)≤2 成立的 x 的

则满足 f(f(a))=2

f(a)

的 a 的取值范围

是____________. 解析 (1)当 x<1 时,e ∴x<1. 当 x≥1 时, x 3 ? 2, 解得 x≤8,∴1≤x≤8. 综上可知 x∈(-∞,8]. (2)由 f(f(a))=2
f(a) x-1

≤2,解得 x≤1+ln 2,

1

得,f(a)≥1.

2 2 当 a<1 时,有 3a-1≥1,∴a≥ ,∴ ≤a<1. 3 3 当 a≥1 时,有 2 ≥1,∴a≥0,∴a≥1. 2 综上,a≥ . 3
a

?2 ? 答案 (1)(-∞,8] (2)? ,+∞? ?3 ?
温馨提醒 (1)求分段函数的函数值, 首先要确定自变量的范围, 然后选定相应关系式代入求 解. (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时, 应根据每一段解 析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取 值范围. (3)当自变量含参数或范围不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.

[方法与技巧] 1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应法则是 否相同.

8

2.定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域 上进行. 3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、消去法. 4.分段函数问题要分段求解. [失误与防范]

1.复合函数 f[g(x)]的定义域也是解析式中 x 的范围,不要和 f(x)的定义域相混. 2. 分段函数无论分成几段, 都是一个函数, 求分段函数的函数值, 如果自变量的范围不确定, 要分类讨论.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.下列各组函数中,表示同一函数的是________. ①f(x)=x,g(x)=( x) ; ②f(x)=x ,g(x)=(x+1) ; ③f(x)= x ,g(x)=|x|; ④f(x)=0,g(x)= x-1+ 1-x. 答案 ③ 解析 在①中,定义域不同,在②中,解析式不同,在④中,定义域不同. 2.已知函数 f(x)= ______________. 答案 (-∞,1) 解析 M=(-1,1),N=(-1,+∞),故 M∪(?RN)=(-∞,1). 3.已知 f(x)为偶函数,且当 x∈[0,2)时,f(x)=2sin x,当 x∈[2,+∞)时,f(x)=log2x, 1 1-x
2 2 2 2 2

的定义域为 M,g(x)=ln(1+x)的定义域为 N,则 M∪(?RN)=

? π? 则 f?- ?+f(4)=________. ? 3?
答案 3+2

π ? π ? ?π ? 解析 因为 f?- ?=f? ?=2sin = 3, 3 ? 3? ?3?

f(4)=log24=2,所以 f?- ?+f(4)= 3+2. 3

? π? ? ?

9

?x,x≥0 ? 4.已知 f(x)=? ?-x,x<0 ?

,则不等式 x+x·f(x)≤2 的解集是__________.

答案 {x|x≤1} 解析 原不等式可化为?
? ?x≥0, ?x+x ≤2 ?
2

或?

? ?x<0, ?x-x ≤2. ?
2

解得 0≤x≤1 或 x<0.∴x≤1. 5.已知函数 f(x)满足 f( 答案 f(x)=-log2x 1 1 解析 根据题意知 x>0,所以 f( )=log2x,则 f(x)=log2 =-log2x. 2

x+|x|

)=log2 x|x|,则 f(x)的解析式是______________.

x

x

6.已知函数 f(x)=log2 7 答案 - 8 解析 由题意可得 log2
x

1 ,f(a)=3,则 a=________. x+1

1

a+1

=3,所以

1

a+1

7 3 =2 ,解得 a=- . 8

7.已知函数 y=f(2 )的定义域为[-1,1],则 y=f(log2x)的定义域是________. 答案 [ 2,4] 解析 ∵函数 f(2 )的定义域为[-1,1], 1 x ∴-1≤x≤1,∴ ≤2 ≤2. 2 1 ∴在函数 y=f(log2x)中, ≤log2x≤2, 2 ∴ 2≤x≤4. 2 ? ?x+ -3,x≥1, 8.(2015·浙江)已知函数 f(x)=? x ? ?lg?x2+1?,x<1,
x



f(f(-3))=________,f(x)的最小值是________.
答案 0 2 2-3
2

解析 ∵f(-3)=lg[(-3) +1]=lg 10=1, ∴f(f(-3))=f(1)=0, 2 当 x≥1 时, f(x)=x+ -3≥2 2-3, 当且仅当 x= 2时, 取等号, 此时 f(x)min=2 2-3<0;

x

当 x<1 时,f(x)=lg(x +1)≥lg 1=0,当且仅当 x=0 时,取等号,此时 f(x)min=0.∴f(x) 的最小值为 2 2-3.
10

2

9.已知 f(x)是二次函数,若 f(0)=0,且 f(x+1)=f(x)+x+1,求函数 f(x)的解析式. 解 设 f(x)=ax +bx+c (a≠0),又 f(0)=0, ∴c=0,即 f(x)=ax +bx. 又∵f(x+1)=f(x)+x+1. ∴a(x+1) +b(x+1)=ax +bx+x+1. ∴(2a+b)x+a+b=(b+1)x+1, 1 ? ?a=2, 解得? 1 ?b=2. ?
2 2 2 2

? ?2a+b=b+1, ∴? ?a+b=1, ?

1 2 1 ∴f(x)= x + x. 2 2 10.根据如图所示的函数 y=f(x)的图象,写出函数的解析式.

解 当-3≤x<-1 时, 函数 y=f(x)的图象是一条线段(右端点除外), 设 f(x)=ax+b(a≠0), 3 7 将点(-3,1),(-1,-2)代入,可得 f(x)=- x- ; 2 2 当-1≤x<1 时,同理可设 f(x)=cx+d(c≠0), 3 1 将点(-1,-2),(1,1)代入,可得 f(x)= x- ; 2 2 当 1≤x<2 时,f(x)=1.

? ? 所以 f(x)=?3 1 x- ,-1≤x<1, 2 2 ?1,1≤x<2. ?

3 7 - x- ,-3≤x<-1, 2 2

B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.若函数 y= 答案 [0,3) 解析 因为函数 y=
2

ax+1 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是________. ax2+2ax+3

ax+1 的定义域为 R, ax2+2ax+3

所以 ax +2ax+3=0 无实数解,
11

即函数 y=ax +2ax+3 的图象与 x 轴无交点. 1 当 a=0 时,函数 y= 的图象与 x 轴无交点; 3 当 a≠0 时,则 Δ =(2a) -4·3a<0,解得 0<a<3. 综上所述,a 的取值范围是[0,3). 12.若函数 f(x)= (1)
2

2

x2-1 ,则 x2+1

f?2?
1 2

=________;

f? ?
1 1 1 (2)f(3)+f(4)+?+f(2 017)+f( )+f( )+?+f( )=________. 3 4 2 017 答案 (1)-1 (2)0 1 x -1 1-x 解析 (1)∵f(x)+f( )= 2 + =0, x x +1 1+x2 ∴
2 2

f?x?
1 f? ?

=-1(x≠±1),∴

f?2? f? ?
1 2

=-1.

x

1 1 (2)∵f(3)+f( )=0,f(4)+f( )=0,?, 3 4

f(2 017)+f(

1 )=0, 2 017

1 1 ∴f(3)+f(4)+?+f(2 017)+f( )+?+f( )=0. 3 2 017 4 13.已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b],(a,b∈Z),值域是[0,1],则满足条件 |x|+2 的整数数对(a,b)共有________个. 答案 5 4 4 解析 由 0≤ -1≤1, 即 1≤ ≤2, 得 0≤|x|≤2, 满足条件的整数数对有(-2,0), |x|+2 |x|+2 (-2,1),(-2,2),(0,2),(-1,2),共 5 个.

?1? 14.具有性质:f? ?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: x ? ?
x,0<x<1, ? ? 0,x=1, 1 1 ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x 1 - ,x>1. ? ? x
其中满足“倒负”变换的函数是________.
12

答案 ①③ 1 ?1? 1 解析 对于①,f(x)=x- ,f? ?= -x=-f(x),满足;

x

?x? x

?1? 1 对于②,f? ?= +x=f(x),不满足; x ? ? x
,0< <1, x x ? ? 1 ?1? 对于③,f? ?=?0, =1, x ?x? 1 ? ?-x,x>1, 1 1 1 ,x>1, ? 1? ?x ? 即 f? ?=? 0,x=1, ?x? ? ?-x,0<x<1,

?1? 故 f? ?=-f(x),满足. ?x?
综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. 15.如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图象.

(1)试说明图 1 上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义; (2)由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议,如图 2、3 所示.你 能根据图象,说明这两种建议的意义吗? (3)此问题中直线斜率的实际意义是什么? (4)图 1、图 2、图 3 中的票价分别是多少元? 解 (1)点 A 表示无人乘车时收支差额为-20 元,点 B 表示有 10 人乘车时收支差额为 0 元, 线段 AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图 2 的建议是降低成本,票价不变,图 3 的建议是提高票价. (3)斜率表示票价. (4)图 1、2 中的票价是 2 元.图 3 中的票价是 4 元.

13


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