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第三章 导数及其应用基础训练


导数及其应用基础训练
姓名:______________ 一、选择题 1.一个物体的运动方程为 s ? 1 ? t ? t 2 其中 s 的单位是米, t 的单位是秒,那么物体在 3 秒 末的瞬时速度是( ) A. 7 米/秒 C. 5 米/秒 B. 6 米/秒 D. 8 米/秒 ) C. (??,??) ) D. (1,??) 成绩:__________

2.函数 y = x3 + x 的递增区间是( A. (0,??) B. (??,1)

3. f ( x) ? ax3 ? 3x2 ? 2 ,若 f ' (?1) ? 4 ,则 a 的值等于( A.

19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3


4.函数 y ? f ( x) 在一点的导数值为 0 是函数 y ? f ( x) 在这点取极值的( 5.函数 y ? x ? 4 x ? 3 在区间 ? ?2,3? 上的最小值为(
4

A.充分条件

B.必要条件

C.充要条件

D.必要非充分条件 ) D. 0

A. 72 二、填空题

B. 36

C. 12

1.若 f ( x) ? x3 , f ' ( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为_________________; 2.曲线 y ? x ? 4 x 在点 (1, ?3) 处的切线倾斜角为__________;
3

3.函数 y ?

sin x 的导数为_________________; x

4. 曲线 y ? ln x 在点 M (e,1) 处的切线的斜率是_________, 切线的方程为_______________; 5.函数 y ? x 3 ? x 2 ? 5x ? 5 的单调递增区间是___________________________。 三、解答题 1. 求下列函数的导数。 (1) y ? x cos x
2

x2 (2) y ? 1? x

(3) y ? x e ? 2
3 x

x

2.求垂直于直线 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 并且与曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 5 相切的直线方程。

3 . 求 函 数 f ( x) ? x5 ? 5x4 ? 5x3 ? 1 在 区 间 ?? 1,4? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 。

4.已知函数 y ? ax ? bx ,当 x ? 1 时,有极大值 3 ;
3 2

(1)求 a , b 的值; (2)求函数 y 的单调增区间和极小值。

(数学选修 1-1)第一章
一、选择题 1.B

导数及其应用基础训练参考答案

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? lim 2[ ] h ?0 h ?0 h 2h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) ? 2 lim ? 2 f ' ( x0 ) h ?0 2h lim

2.C 3.C 4.D

s' (t ) ? 2t ?1, s' (3) ? 2 ? 3 ?1 ? 5 y ' = 3x2 + 1 > 0 对于任何实数都恒成立
f ' ( x) ? 3ax 2 ? 6 x, f ' ( ?1) ? 3a ? 6 ? 4, a ? 10 3

5.D 对于 f ( x) ? x3 , f ' ( x) ? 3x 2, f ' (0) ? 0, 不能推出 f ( x) 在 x ? 0 取极值,反之成立 6.D

y' ? 4x3 ? 4, 令y' ? 0, 4x3 ? 4 ? 0, x ? 1,当x ? 1时, y' ? 0;当x ? 1时, y' ? 0
得 y极小值 ? y |x?1 ? 0, 而端点的函数值 y |x??2 ? 27, y |x?3 ? 72 ,得 ymin ? 0

二、填空题 1. ? 1 2.

f ' ( x0 ) ? 3x02 ? 3, x0 ? ?1
3 y ' ? 3 x 2 ? 4 , k ? y'x ?|1 ? ?1 , ? tan ? ? ? 1, ? ? 4

3 ? 4

3.

x cos x ? sin x x2
1 e

y' ?
y' ?

(sin x)' x ? sin x ? ( x)' x cos x ? sin x ? x2 x2

4. , x ? ey ? 0

5. ( ??, ? ), (1, ??)

5 3

1 1 1 1 , k ? y ' |x ?e ? , y ? 1 ? ( x ? e), y ? x x e e e 5 令y ' ? 3 x 2 ? 2 x ? 5 ? 0, 得x ? ? , 或x ? 1 3

三、解答题 1.解:设切点为 P (a, b) ,函数 y ? x ? 3x ? 5 的导数为 y ? 3x ? 6x
3 2 ' 2

切线的斜率 k ? y' |x?a ? 3a2 ? 6a ? ?3 ,得 a ? ?1 ,代入到 y ? x ? 3x ? 5
3 2

得 b ? ?3 ,即 P(?1, ?3) , y ? 3 ? ?3( x ? 1),3x ? y ? 6 ? 0 。

2.解: y' ? ( x ? a)' ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)' ( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c)'

? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b)
3.解: f ?( x) ? 5x 4 ? 20x 3 ? 15x 2 ? 5x 2 ( x ? 3)(x ? 1) , 当 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ,或 x ? ?1 ,或 x ? ?3 , ∵ 0 ?[?1, 4] , ?1?[?1, 4] , ?3 ?[?1,4] 列表:

x
f ' ( x)
f ( x)

?1

(?1, 0)
+ ↗

0

(0, 4)
+ ↗

0
0

0
1

又 f (0) ? 0, f (?1) ? 0 ;右端点处 f (4) ? 2625 ; ∴函数 y ? x 5 ? 5x 4 ? 5x 3 ? 1 在区间 [?1, 4] 上的最大值为 2625 ,最小值为 0 。 4.解: (1) y ? 3ax ? 2bx, 当 x ? 1 时, y' |x?1 ? 3a ? 2b ? 0, y |x?1 ? a ? b ? 3 ,
' 2

即?

?3a ? 2b ? 0 , a ? ?6, b ? 9 ?a ? b ? 3
3 2 ' 2 '

(2) y ? ?6 x ? 9 x , y ? ?18x ? 18x ,令 y ? 0 ,得 x ? 0, 或x ? 1

? y极小值 ? y |x?0 ? 0


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