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三角恒等变换复习课件1


三角恒等变换复习

基本公式: 1、两角和与差的三角函数公式:

sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
sin(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 ? tan ? tan ?

2、辅助角公式

a sin x ? b cos x a b sin x ? cos x ) 2 2 ( ? a ?b a 2 ? b2 a 2 ? b2 2 2 (cos? sinx ? sin ? cos x ) ? a ?b
? a 2 ? b2 sin(x ? ? ) . b 其中? 由 sin ? ? , cos? ? 2 2
a ?b
说明: 利用辅助角公式可以将形如 y =a sin ? +b cos ?的函 数,转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大(小)值、单调区间等。

这个公式 有什么作 用?

a a ?b
2 2

确定.

3. 二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

变形

(sin ? ? cos ? ) ? 1 ? sin 2?
2

2

? 1 ? 2sin ?
2

变形

1 ? cos 2? sin ? ? 2

变形

2 tan? tan2? ? 2 1 ? tan ?

( 降幂公式 )

(3)半角公式
1 ? cos? cos ?? 2 2 ? 1 ? cos?
?
2 ??
1 ? cos?
?
2

1 ? cos? sin ? ? 2 2

?

tan

sin

=

2 ? sin 2 = ? cos 2

cos

?

1 ? cos? 2 ? 2 ? ? ? sin ? sin cos 2 2 2 ? 1 ? cos? sin 2 2 ? 2 ? ? ? sin ? sin cos 2 2 2 sin 2

?

1 ? cos ? ? sin ? sin ? ? 1 ? cos ?

注:在半角公式中,根号前的正负号,由角 的象限确定.

?
2

所在

基础练习:
计算:

(1) cos74? sin 14? ? sin 74? cos14?
(2) sin 20 cos110 ? cos160 sin 70
? ? ? ?

3 ? 2

?1
1 4

(3)1 ? 2 sin 22.5
2

?

(4) sin 15 cos15

?

?

2 2

tan12? ? tan33? (5) 1 ? tan12? tan33?
(公式变,逆用)

1

例1
【解】

求 3tan 10° +4sin 10° 的值.
3sin 10° + 4sin 10° cos 10° 原式= cos 10°

3sin 10° + 2sin 20° 3sin? 30° - 20° ?+ 2sin 20° = = cos 10° cos 10° 3sin 30° cos 20° - 3cos 30° sin 20° + 2sin 20° = cos 10° 3 1 cos 20° + sin 20° 2 2 sin? 60° + 20° ? sin 80° = = = = 1. cos 10° cos 10° cos 10°

典型例题:
例1:已知 ?,?为锐角, cos ? ?
求 cos ?的值

1 13 , cos( ? ? ? ) ? ? 7 14
注:⑴ 常用角的变换:
① ? ? (? ? ? ) ? ? ② 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? )

解: ??,?为锐角 ? 0 ? ? ? ? ? ?
1 13 又 ? cos ? ? , cos( ? ? ? ) ? ? 7 14 4 3 3 3 ? sin ? ? , sin(? ? ? ) ? , 7 14

③ 2? ? ? ? ? ? (? ? ? )
④ ? ? ? ?? ?? ?? ⑤ ? ? ? ? (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) 4 4 ⑵ 注意对角范围的要求。
2 2

23 ? cos( ? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? 98

? cos ? ? cos[(? ? ? ) ? ? ]

[借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关 系,分析角与角之间的互余、互补关系,合理拆、凑,把未知角 用已知角表示.

变式练习:

3 1.(2012· 全国)已知α为第二象限角,sin α+cos α= 3 ,则cos 2α = 5 A.- 3 5 C. 9 5 B.- 9 5 D. 3 ( A ).

1 2.(2012· 江西)若tan θ+ =4,则sin 2θ= tan θ ( D ). 1 A. 5 1 C.3 1 B. 4 1 D.2


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