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方程的根与函数的零点 教学设计


方程的根与函数的零点
一、 设计理念
按照新课程教学理念, “数学教学是数学活动的教学;在这个活动中,使学生掌握一定的数 学知识和技能,同时身心获得一定的发展,形成良好的思想品质。 ”数学课已不仅仅是一些 数学知识的学习,更要体现知识的认识和发展过程,同时要根据教学需要,关注学生已有的 知识基础和学习经验,精心设计问题情境,激发学生学习兴趣,引导学生积极探索,在探索 过程中获得对数学的积极体验和应用。

二、 教材分析
本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修一第三章第一节——第一课时方程的 根与函数的零点,主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系,函数零点的 存在性定理,是一节概念课。函数是中学数学的核心概念,核心的原因之一在于函数与其他 知识具有广泛的联系性, 而函数的零点就是其中的一个链接点, 它从不同的角度, 将数与形, 函数与方程邮寄的联系在一起, 本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质, 具备初 步数形结合的能力基础之上, 利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数, 从 而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法,为下节“用二分法求方程的近似解”和后续 的学习垫底基础。因此本节课内容具有承前启后的作用,地位至关重要。

三、 学情分析
本节课的授课对象是普通高中高一学生,学生已经学习了函数的概念,对初等函数的性质, 图象已经有了比较系统的认识与理解, 特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习已是 一个重点, 对这块内容已经有了很深的理解, 所以对本节内容刚开始的引入起到了很好的铺 垫作用,但针对高一学生,刚进入高中不久,学生的动手,动脑能力,以及观察、归纳能力 都还没有很全面的基础, 在本节课的学习上还是会遇到较多的困难, 所以我在本节课的教学 过程中,从学生已有的经验出发,环环紧扣提出问题引起学生对结论最求的愿望,将学生置 于主动参与的地位。

四、 教学目标 (一)三维目标:
1 知识和技能目标:理解函数零点的概念;领会函数零点与相应方程根之间的关系;掌 握零点存在的判断条件。 2 过程与方法: 由二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标和对应的一元二次方程为突破 口,探究方程的根与函数的零点的关系,以探究的方法发现函数零点存在的条件;在课 堂探究中体会数形结合的数学思想,从特殊到一般的归纳思想. 3 情感、态度、价值观:在函数与方程的联系中体验数形结合思想,培养学生的辨证思 维能力,以及分析问题解决问题的能力.

(二)重难点:
1 教学重点:体会函数的零点与方程的根之间的联系 2 教学难点:零点存在性的判定条件。

五、 教学手段

PPT,黑板,粉笔

六、 教法学法
在教法上,本节课采用以学生为主体的探究式教学方法,采用“设问—探索—归纳—定论” 层层递进的方式来突破本科的重难点。 在学法上,精心设置了一个个问题链,并以此为主线,由浅入深,循序渐进,以培养学生探 究精神为出发点,着眼于知识的形成和发展,注重学生的学习体验,给不同层次的学生提供 思考、创造、表现和成功的舞台。 在教学手段上, 我是采用多媒体课件, 多媒体投影仪相结合, 它既便于学生直观, 节约时间, 又能利用情境因早课堂氛围,引发学生的兴趣。

七、 教学过程
(一)回顾旧知,发现问题 问题 1 求下列方程的根. (1) 3 x ? 2 ? 0 ; (2) x ? 5x ? 6 ? 0 ;
2

(3) ln x ? 2 x ? 6 ? 0 . 问题 2 观察下表(一),求出表中一元二次方程的实数根,画出相应的二次函数图象的简图, 并写出函数图象与 x 轴交点的坐标
方 函 程 数

x 2 ? 2x ? 3 ? 0

x 2 ? 2x ? 1 ? 0

x 2 ? 2x ? 3 ? 0

y ? x 2 ? 2x ? 3

y ? x 2 ? 2x ? 1

y ? x 2 ? 2x ? 3

函 图

数 象

(简图)

方程的实数根 函数的图象与轴的交 点

提出疑问:方程的根与函数图象与 x 轴交点的横坐标之间有什么关系? 结论:方程的根就是函数图象与 X 轴交点的横坐标。 问题 3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 及相应的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 的图象
与 x 轴交点的关系,上述结论是否仍然成立?

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)

方 程 的 根

函数的图象 (简图)

图象与 x 轴 的交点

??0

??0

??0

【设计意图: 让学生从熟悉的环境中发现新知识, 使新知识与原有知识形成联系. 为引出函数零点的概念做准备。】
(二)总结归纳,形成概念 1、函数的零点:对于函数 y=f(x)我们把使方程 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的 零点。 问:零点是一个点吗? 求下列函数的零点。 (1) f ( x) ? lg( x ? 1) (2) f ( x) ? x ? 5x ? 6
2

小结:求函数零点的步骤: 2、你能说说方程的根、函数图象与 x 轴的交点、函数的零点三者之间的关系吗?等价关系: 方程 f(x)=0 有实数根 函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点 函数 y=f(x)有零点 【设计意图:引导学生给出函数零点的定义,并引导学生仔细体会这段文字,感 悟其中的思想方法;通过引导,学生自己归纳出三者之间的关系,并且明确提出转化思 想。】 【设计意图:进一步理解零点的概念,灵活运用三者之间的关系。】 (四)分组讨论,探究结论(零点存在性) 问题 4:1 求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点。 2 判断函数 f(x)=lnx+2x-6 有没有零点? 【设计意图:由学生思考,产生认知冲突,从而激发学生的求知欲。】 思考: 函数 y=f(x)在某个区间上是否一定有零点? 【铺设台阶, 引出本节课的主要问题.】 怎样的条件下,函数 y=f(x)一定有零点? 问题 5: (1)观察二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图象:
2

1 在区间 [?2,1] 上有零点______; f (?2) ? _______, f (1) ? _______,

f (?2) · f (1) _____0(<或>) .
2 在区间 [2,4] 上有零点______; f ( 2) · f ( 4) ____0(<或>) . 3 若把区间改为[2,4],[-2,2],[0,5],[4,5],[-2,4]结果如何? 思考:根据以上探索,你能得出什么结论? 结论:函数在区间端点处函数值乘积小于 0,函数在该区间上有零点. 这个结论推广到一般情况下还成立吗? (2)观察下面函数 y ? f ( x) 的图象

1 在区间 [ a, b] 上______(有/无)零点; f ( a ) · f (b) _____0(<或>) . 2 在区间 [b, c] 上______(有/无)零点; f (b) · f (c) _____0(<或>) . 3 在区间 [c, d ] 上______(有/无)零点; f (c) · f ( d ) _____0(<或>) . (3)观察屏幕上的函数图象: 若函数在某区间内存在零点,则函数在该区间上的图象是 (间断/连续) ;含零 点的某一较小区间中以零点左右两边的实数为自变量, 它们各自所对应的函数值的符号 是 (相同/互异) 零点存在定理:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有 f (a).f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c 使得 f(c)=0.这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。 讨论:零点个数一定是一个吗? 逆定理成立吗?试结合图形来分析. 【设计意图:先从一个已研究过的、简单的函数入手,引导学生结合函数图象,通过计算、 观察、 比较得出函数在区间端点处函数值乘积的情况与函数在该区间内是否存在零点之间有 什么关系。总结归纳得出函数零点存在的条件,并进行交流、评析。】 (五)观察感知,例题学习 例 2(教材第 96 页)求函数 f(x)=㏑ x + 2x – 6 的零点个数 (1)你可以想到什么方法来判断函数零点个数? (2)判断函数的单调性,由单调性你能得该函数的单调性具有什么特性? 解:用计算机或计算器作出 x、 f(x)对应值表 ,

x

?

1

2

3

4

?

f(x) ?

-4 -1.306 1.0986 3.3863 ?

画出函数的图象,从列表和图象可看出,f(2)<0,f(3)>0 ,即 f(2)·f(3)<0,所以函数在 (2,3)内有零点。又由于函数在整个定义域内是增函数,故只有一个

思考: ①你能给出这个函数是增函数的证明吗?不用计算机或计算器, 你能估算出 f(2)<0 , f(3)>0 吗?②*作出函数 y=lnx 与 y=6-2x 的图象,观察两函数图象交点的横坐标与方程 lnx+2x-6=0 的根的关系. 【设计意图: 引导学生探索判断函数零点的方法, 指出可以借助计算机或计算器来画函数的 图象,结合图象对函数有一个零点形成直观的认识.】 练习:1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: 2 (1)-x +3x+5=0;(2)2x(x-2)=-3; 2 2 2 (3)x =4x-4; (4)5x +2x=3x +5. 2.利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: 3 (1)f(x)= -x -3x+5; (2)f(x)= 2xln(x-2)-3;; x-1 (3)f(x)= e +4x-4; (4)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x 小结:函数零点的求法. ① 代数法:求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ② 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来,并利 用函数的性质找出零点. (六)反思小结,提升能力 1.函数零点的定义 2.等价关系 函数 Y=f(x)的零点 函数 Y=f(x)的图象与 X 轴交点的横坐标

方程 f(x)=0 实数根 3.函数的零点或相应方程的根的存在性以及个数的判断

八、板书设计
方程的根与函数的零点 函数的零点: 等价关系: 自由书写区域

零点存在定理:


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