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高一数学直线方程知识点归纳及典型例题


直线的一般式方程及综合 【学习目标】 1.掌握直线的一般式方程; 2.能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程,并理解这些直线的不同形式的方程在表 示直线时的异同之处; 3.能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】 要点一:直线方程的一般式 关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线.我们把方程写为 Ax+By+C=0,这个方程(其中 A、B 不全为零) 叫做直线方程的一般式. 要点诠释: 1.A、B 不全为零才能表示一条直线,若 A、B 全为零则不能表示一条直线. 当 B≠0 时,方程可变形为 y ? ?

A C A C? ? x ? ,它表示过点 ? 0, ? ? ,斜率为 ? 的直线. B B B B? ? C ,它表示一条与 x 轴垂直的直线. A

当 B=0,A≠0 时,方程可变形为 Ax+C=0,即 x ? ?

由上可知,关于 x、y 的二元一次方程,它都表示一条直线. 2.在平面直角坐标系中,一个关于 x、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线,反过来,一条直线可 以对应着无数个关于 x、 y 的一次方程 (如斜率为 2, 在 y 轴上的截距为 1 的直线, 其方程可以是 2x―y+1=0, 也可以是 x ?

1 1 y ? ? 0 ,还可以是 4x―2y+2=0 等. ) 2 2

要点二:直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表: 名称 点斜式 斜截式 两点式 方程的形式 y―y1=k(x―x1) y=kx+b 常数的几何意义 (x1,y1)是直线上一定点,k 是斜率 k 是斜率,b 是直线在 y 轴上的截距 (x1,y1) , (x2,y2)是直线上两定点 适用范围 不垂直于 x 轴 不垂直于 x 轴 不垂直于 x 轴和 y 轴

y ? y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1
x y ? ?1 a b
Ax+By+C=0(A2+B2≠0)

截距式 一般式

a 是直线在 x 轴上的非零截距,b 是直 线在 y 轴上的非零截距 A、B、C 为系数

不垂直于 x 轴和 y 轴, 且不过原点 任何位置的直线

要点诠释: 在直线方程的各种形式中,点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式,要注意在这两种形式中都要 求 直 线 存 在 斜 率 , 两 点 式 是 点 斜 式 的 特 例 , 其 限 制 条 件 更 多 ( x1≠x2 , y1≠y2 ) ,应用时若采用 (y2―y1)(x―x1)―(x2―x1)(y―y1)=0 的形式,即可消除局限性.截距式是两点式的特例,在使用截距式时, 首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件.直线方程的一般式包含了平面上 的所有直线形式.一般式常化为斜截式与截距式.若一般式化为点斜式,两点式,由于取点不同,得到的 方程也不同. 要点三:直线方程的综合应用 1.已知所求曲线是直线时,用待定系数法求. 2.根据题目所给条件,选择适当的直线方程的形式,求出直线方程. 对于两直线的平行与垂直,直线方程的形式不同,考虑的方向也不同.

(1)从斜截式考虑 已知直线 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2: y ? k2 x ? b2 ,

l1 // l2 ? ?1 ? ?2 ? k1 ? k2 (b1 ? b2 ) ;
l1 ? l2 ? ?1 ? ? 2 ?

?
2

? tan ?1 ? ? cot ? 2 ? k1 ? ?

1 ? k1k2 ? ?1 k2
1 x ? b2 . k

于是与直线 y ? kx ? b 平行的直线可以设为 y ? kx ? b1 ;垂直的直线可以设为 y ? ? (2)从一般式考虑:

l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2? 0
且 AC l1 / / l2 ? A1 B2? A2 B ? 1 0 1 2 ?A 2C1 ? 0 或 B 1C2 ? B2C1 ? 0 ,记忆式(

A1 B1 C1 ) ? ? A2 B2 C2

l1 与 l 2 重合, A1B2 ? A2 B1 ? 0 , AC 1 2 ?A 2C1 ? 0 , B 1C2 ? B2C1 ? 0
于 是 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 平 行 的 直 线 可 以 设 为 Ax ? By ? D ? 0 ; 垂 直 的 直 线 可 以 设 为

Bx ? Ay ? D ? 0 .
【典型例题】 类型一:直线的一般式方程 例 1.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方程. (1)斜率是 ?

1 ,经过点 A(8,―2) ; 2
3 ,―3; 2

(2)经过点 B(4,2) ,平行于 x 轴; (3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是

(4)经过两点 P1(3,―2) ,P2(5,―4) . 【答案】 (1)x+2y―4=0(2)y―2=0(3)2x―y―3=0(4) x ? y ? 1 ? 0 【解析】 (1)由点斜式方程得 y ? (?2) ? ?

1 ( x ? 8) ,化成一般式得 x+2y―4=0. 2

(2)由斜截式得 y=2,化为一般式得 y―2=0. (3)由截距式得

x y ? ? 1 ,化成一般式得 2x―y―3=0. 3 ?3 2
y?2 x ?3 ? ,化成一般式方程为 x ? y ? 1 ? 0 . ?4 ? (?2) 5 ? 3

(4)由两点式得

【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式,以及各种形式向一般式的转化,对于直线 方程的一般式,一般作如下约定:x 的系数为正,x,y 的系数及常数项一般不出现分数,一般按含 x 项、y 项、常数项顺序排列.求直线方程的题目,无特别要求时,结果写成直线方程的一般式. 举一反三:

【变式 1】已知直线 l 经过点 B (3, ?1) ,且倾斜角是 30 ? ,求直线的点斜式方程和一般式方程. 【答案】 y ? 1 ?

3 ( x ? 3) 3

3x ? 3 y ? 3 3 ? 3 ? 0
3 ,所以直线的点斜式方程 3

【解析】因为直线倾斜角是 30 ? ,所以直线的斜率 k ? tan ? ? tan 30? ? 为: y ? 1 ?

3 ( x ? 3) ,化成一般式方程为: 3x ? 3 y ? 3 3 ? 3 ? 0 . 3

例 2.?ABC 的一个顶点为 A(?1, ? 4) ,? B 、?C 的平分线在直线 y ? 1 ? 0 和 x ? y ? 1 ? 0 上,求直线 BC 的方程. 【答案】 x ? 2 y ? 3 ? 0 【解析】由角平分线的性质知,角平分线上的任意一点到角两边的距离相等 ,所以可得 A 点关于 ? B 的平分线的对称点 A 在 BC 上,B 点关于 ?C 的平分线
'

的对称点 B 也在 BC 上.写出直线 A B 的方程,即为直线 BC 的方程. 例 3.求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程. 【答案】3x+4y―11=0 【解析】 解法一:设直线 l 的斜率为 k,∵ l 与直线 3x+4y+1=0 平行,∴ k ? ? 又∵ l 经过点(1,2) ,可得所求直线方程为 y ? 2 ? ?

'

'

'

3 . 4

3 ( x ? 1) ,即 3x+4y―11=0. 4

解法二:设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线 l 的方程为 3x+4y+m=0, ∵ l 经过点(1,2) ,∴3× 1+4× 2+m=0,解得 m=―11. ∴所求直线方程为 3x+4y―11=0. 【总结升华】 (1)一般地,直线 Ax+By+C=0 中系数 A、B 确定直线的斜率,因此,与直线 Ax+By+C=0 平行的直线可设为 Ax+By+m=0,这是常采用的解题技巧.我们称 Ax+By+m=0 是与直线 Ax+By+C=0 平行 的直线系方程.参数 m 可以取 m≠C 的任意实数,这样就得到无数条与直线 Ax+By+C=0 平行的直线.当 m=C 时,Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合. (2)一般地,经过点 A(x0,y0) ,且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x―x0)+B(y―y0)=0. (3)类似地有:与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为 Bx―Ay+m=0(A,B 不同时为零) . 举一反三: 【变式 1】已知直线 l1 :3mx+8y+3m-10=0 和 l2 :x+6my-4=0 .问 m 为何值时: (1) l1 与 l2 平行(2) l1 与 l2 垂直. 【答案】 (1) m ? ?

2 (2) m ? 0 3

【解析】当 m ? 0 时, l1 :8y-10=0; l2 :x-4=0, l1 ? l2

3m 10 ? 3m 1 4 x? x? ; l2 : y ? ? 8 8 6m 6m 2 10 ? 3m 4 2 8 3m 1 ? ?? 由? ,得 m ? ? ,由 得m ? 或 3 8 6m 3 3 8 6m 3m 1 ) ? (? ) ? ?1 无解 而 (? 8 6m 2 综上所述(1) m ? ? , l1 与 l2 平行. (2) m ? 0 , l1 与 l2 垂直. 3
当 m ? 0 时, l1 : y ? ? 【变式 2】 求经过点 A(2,1) ,且与直线 2x+y―10=0 垂直的直线 l 的方程. 【答案】x-2y=0 【解析】因为直线 l 与直线 2x+y―10=0 垂直,可设直线 l 的方程为 x ? 2 y ? m ? 0 ,把点 A(2,1)代 入直线 l 的方程得: m ? 0 ,所以直线 l 的方程为:x-2y=0. 类型二:直线与坐标轴形成三角形问题 例 4.已知直线 l 的倾斜角的正弦值为

3 ,且它与坐标轴围成的三角形的面积为 6,求直线 l 的方程. 5

【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率,进而引进参数——直线在 y 轴上的截距 b,再根据直 线与坐标轴围成的三角形的面积为 6,便可求出 b.也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为 6,设 截距式直线方程,从而得出

1 | ab |? 6 ,再根据它的斜率已知,从而得到关于 a,b 的方程组,解之即可. 2 3 3 【答案】 y ? x ? 3 或 y ? ? x ? 3 4 4
【解析】

3 3 ,得 tan ? ? ? . 5 4 3 4 设 l 的方程为 y ? ? x ? b ,令 y=0,得 x ? ? b . 4 3
解法一:设 l 的倾斜角为 ? ,由 sin ? ? ∴直线 l 与 x 轴、y 轴的交点分别为 ? ?

? 4 ? (0,b) . b, 0 ? , ? 3 ?

∴ S? ?

1 4 2 3. ? b ? | b |? b2 ? 6 ,即 b2=9,∴b=± 2 3 3

3 3 x ? 3 或 y ? ? x ? 3. 4 4 x y 3 3 解法二:设直线 l 的方程为 ? ? 1 ,倾斜角为 ? ,由 sin ? ? ,得 tan ? ? ? . a b 5 4
故所求的直线方程分别为 y ?

?1 | a | ? | b |? 6 ? ?a ? ?4 ?2 ∴? ,解得 ? . b 3 b ? ? 3 ? ?? ? ? ? 4 ? a
故所求的直线方程为

x y x y ? ? 1或 ? ? 1. ?4 3 ?4 3

【总结升华】(1)本例中,由于已知直线的倾斜角(与斜率有关)及直线与坐标轴围成的三角形的面 积(与截距有关) ,因而可选择斜截式直线方程,也可选用截距式直线方程,故有“题目决定解法”之说. (2)在求直线方程时,要恰当地选择方程的形式,每种形式都具有特定的结论,所以根据已知条件恰 当地选择方程的类型往往有助于问题的解决.例如:已知一点的坐标,求过这点的直线方程,通常选用点 斜式,再由其他条件确定该直线在 y 轴上的截距;已知截距或两点,选择截距式或两点式.在求直线方程 的过程中,确定的类型后,一般采用待定系数法求解,但要注意对特殊情况的讨论,以免遗漏. 举一反三: 【变式 1】 (2015 春 启东市期中)已知直线 m:2x―y―3=0,n:x+y―3=0. (1)求过两直线 m,n 交点且与直线 l:x+2y―1=0 平行的直线方程; (2)求过两直线 m,n 交点且与两坐标轴围成面积为 4 的直线方程. 【思路点拨】 (1)求过两直线 m,n 交点坐标,结合直线平行的斜率关系即可求与直线 l:x+2y―1=0 平行的直线方程; (2)设出直线方程,求出直线和坐标轴的交点坐标,结合三角形的面积公式进行求解即可. 【答案】 (1)x+2y―4=0; (2) 【解析】 (1)由 ?

?2 x ? y ? 3 ? 0 ?x ? 2 ,解得 ? , ?x ? y ? 3 ? 0 ?y ?1

即两直线 m,n 交点坐标为(2,1) , 设与直线 l:x+2y―1=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0, 则 2+2× 1+c=0,解得 c=―4, 则对应的直线方程为 x+2y―4=0; (2)设过(2,1)的直线斜率为 k, (k≠0) , 则对应的直线方程为 y―1=k(x―2), 令 x=0,y=1―2k,即与 y 轴的交点坐标为 A(0,1―2k)

1 2k ? 1 2k ? 1 ? , 0) , ,即与 x 轴的交点坐标为 B ( k k k 1 2k ? 1 ||1 ? 2k |? 4 , 则△AOB 的面积 S ? ? | 2 k
令 y=0,则 x ? 2 ? 即 (2k ?1) ? 8 k ,
2

即 4k ? 4k ? 8 k ? 1 ? 0 ,
2

若 k>0,则方程等价为 4k ? 12k ? 1 ? 0 ,
2

解得 k ?

3? 2 2 3? 2 2 或k ? , 2 2
2

若 k<0,则方程等价为 4k ? 4k ? 1 ? 0 , 解得 k ? ?

1 . 2
1 3? 2 2 3?2 2 ( x ? 2) ,或 y ? 1 ? ( x ? 2) ,或 y ? 1 ? ( x ? 2) 2 2 2

综上直线的方程为 y ? 1 ? ?

即y??

1 3? 2 2 3? 2 2 x ? 2 ,或 y ? x ? 2 ? 2 2 ,或 y ? x?2?2 2 2 2 2

类型三:直线方程的实际应用 例 6. (2015 春 湖北期末)光线从点 A(2,3)射出,若镜面的位置在直线 l:x+y+1=0 上,反射光线 经过 B(1,1) ,求入射光线和反射光线所在直线的方程,并求光线从 A 到 B 所走过的路线长. 【思路点拨】求出点 A 关于 l 的对称点,就可以求出反射光线的方程,进一步求得入射点的坐标,从 而可求入射光线方程,可求光线从 A 到 B 所走过的路线长. 【答案】 41 【解析】设点 A 关于 l 的对称点 A' (x0,y0) ,

? x0 ? 2 y0 ? 3 ? ?1 ? 0 ? ? x0 ? ?4 2 ? 2 ∵AA'被 l 垂直平分,∴ ? ,解得 ? ? y0 ? ?3 ? y0 ? 3 ? 1 ? ? x0 ? 2
∵点 A' (―4,―3) ,B(1,1)在反射光线所在直线上, ∴反射光线的方程为

y?3 x?4 ? ,即 4x―5y+1=0, 1? 3 1? 4

解方程组 ?

?4 x ? 5 y ? 1 ? 0 2 1 得入射点的坐标为 (? , ? ) . 3 3 ?x ? y ?1 ? 0
y?

1 2 x? 3? 3 ,即 5x―4y+2=0, 由入射点及点 A 的坐标得入射光线方程为 1 2 3? 2? 3 3
光线从 A 到 B 所走过的路线长为 | A ' B |?

(?4 ? 1) 2 ? (?3 ? 1) 2 ? 41 .

【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题,考查入射光线和反射光线,解题的关键是利用对 称点的连结被对称轴垂直平分. 举一反三: 【变式 1】 (2016 春 福建厦门期中)一条光线从点 A(-4,-2)射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直 线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这时反射光线恰好过点 D(-1,6) .求 BC 所在直线的方程. 【答案】10x-3y+8=0 【解析】如图,A(-4,-2) ,D(-1,6) ,

由对称性求得 A(-4,-2)关于直线 y=x 的对称点 A' (-2,-4) , D 关于 y 轴的对称点 D' (1,6) , 则由入射光线和反射光线的性质可得:过 A'D'的直线方程即为 BC 所在直线的方程. 由直线方程的两点式得:

y?4 x?2 ? . 6 ? 4 1? 2

整理得:10x-3y+8=0. 例 7.如图,某房地产公司要在荒地 ABCDE 上划出一块长方形土地(不改变方向)建造一幢 8 层的公 寓,如何设计才能使公寓占地面积最大?并求出最大面积. (精确到 1 m2) 【答案】6017 【解析】 建立坐标系,则 B(30,0) ,A(0,20) . ∴由直线的截距方程得到线段 AB 的方程为

x y ? ? 1 (0≤x≤30) . 30 20
设点 P 的坐标为(x,y) ,则有 y ? 20 ? ∴公寓的占地面积为

2 x. 3

2 2 20 x) ? ? x 2 ? x ? 6000 (0≤x≤30) . 3 3 3 50 2 2 20 ? 5 ? 6000 ? 6017 (m 2 ) . ∴当 x=5, y ? 时,S 取最大值,最大值为 S ? ? ? 5 ? 3 3 3 50 即当点 P 的坐标为 (5, ) 时,公寓占地面积最大,最大面积为 6017 m2. 3 S ? (100 ? x) ? (80 ? y ) ? (100 ? x) ? (80 ? 20 ?
【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题,点 P 的位置由两个条件确定,一是 A、P、B 三点共线, 二是矩形的面积最大.借三点共线寻求 x 与 y 的关系,利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用 的方法.


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