当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学


ZHONGXUESHUXUEZAZHI

中学数学杂志 2013 年第 11 期
埋下了伏笔, 还为课末的学习总结提供了自然的“爱国主 , “一举三得” . 义教育素材” 可谓是 总结 事实上, 在实际上课过程中, 笔者先用“刘翔 夺冠”引入, 继而又采用了案例 2 的问题设疑引入, 由于衔 接连贯, 整个导入过程不足 5 分钟, 但却拉近了与学生的距 离, 成功地过渡到新课的合作探究阶段, 事半功倍. 理论与实践密不可分. 此次教学导入设计让笔者成为 “最近发展区”理论的受益者. 了 编者注: 本节课得到了与会专家的高度评价, 作者荣 获本届省教学能手.

新课学习过程中, 将以例题的形式对此处设疑进行解释: 研究发现, 降低伤痛感的某安全药物 ( 不含违规成分 ) 被 运动员服用后, 只要体内血液中的药物浓度( 即血药浓度 ) 大于 0 , 就能减缓运动员的痛感, 使其投入正常的比赛. 经 测算, 刘翔使用该药物后的血药浓度 y( 毫克 / 升 ) 近似是 服药后时间 t( 小时) 的二次函数: y = - 0 . 02 t2 + 0 . 12 t. 假设开始服药时 t = 0 , 请计算刘翔服药后几小时内能 进行正常的比赛. ) 这次导入设计从看似一个与数学毫无关联的人物入 手, 先激起了学生的极大的兴趣, 又为接下来的例题教学

“算法初步 ” 的教学探究 高中数学
— — —“ 数学与信息技术相结合” 教学方式
云 南 省 昆 明 民 族 中 学 曲靖师范学院数学与信息科学学院 云 南 师 范 大 学 数 学 学 院 1 引言 随着现代信息技术飞速发展, 算法在科学技术、 社会发展、 生活中发挥着越来越大的作用, 算法思想 “算法 已经成为现代人应具备的一种数学素养 . 开设 ” , 初步 利于培养学生分析问题和解决问题的能力, 利于提高学生思维的逻辑性、 条理性和精确性. 随着 新课程的全面深入, 关于算法的“教与学 ” 的问题已 经引起了师生的广泛关注. 由于算法的课程内容对 于很多数学老师来说是比较陌生的, 在具体实践中 , 又没有现成的经验可以“拿来我用 ” 因此给教师的 教学带来了全新的挑战. 二十世纪末, 计算机大师 D. E. Knoth 提出“计 , “控制计算机运行 算机科学就是研究算法的学问” , 的任何程序至少是一个‘半算法 ’ 而每种算法都可 [ 1] 以转化为一系列数学运算或逻辑判断 . ” 由此可 , “算法 ” 见 既是数学科学的重要基础, 也是计算机 科学的核心, 算法与计算机技术有着紧密的联系 . 因 此, 可采用 “数学与信息技术相结合” 的教学方式来 “算法初步” 进行高中 的教学. 2 “数学与信息技术相结合” 教学方式 “数学与信息技术相结合 ” 教学方式的指导思 想: 一、 在数学课堂上, 注重对算法理论知识的解读 和传授; 二、 在信息技术课堂上, 结合具体的案例让 学生体会算法思想在数学问题解决中的作用, 并且 通过及时的上机体验, 帮助学生更好地掌握算法语 句, 同时增强学生学习算法的兴趣.
16

650100 655011 650029

木世杰 孙雪梅 朱维宗

“数学与信息技术相结合” 教学方式的基本环节: — — — —讲 , — 分析算法— 探究交流, 情境导入 激疑引趣 — —类比迁移, 上机验证— 归纳概括. 练结合, “情境导入, 激疑引趣 ” 是前提, 这对引导学生 , 进行数学探究起着思维导向 激发学习动机的作用. 如让学生从 实 例 情 境“煮 米 线 ” 的 过 程 入 手, 指出 “做任何事情, 都是在一定的条件下按某种顺序执行 ” 的一系列操作 . 通过这样的引入方式, 介绍算法的 “step by step ” 含义以及 的算法思想就水到渠成. 另 外, 由于学生第一次接触算法, 对于某些专用术语, 教学中可采用通俗易懂、 形象有趣的语言进行教学, 可帮助学生理解抽象术语, 如用“峰回路转 ” 来描述 循环结构的流程图. “探究交流, 分析算法” 是核心. 教学中要注重师 生、 生生之间的交流讨论. 让学生畅所欲言, 发现奇思 妙想, 最后找出最佳算法. 在综合实践课的案例学习 中, 不再是由教师讲解, 而是让学生自己上台讲解. “讲练结合, 上机验证” 是手段. 了解算法的知识 点后, 学生未必能够牢固掌握, 只有通过适量地“练” 才能巩固. 因而在课堂上安排适当的练习, 要求学生 , 即时上机体验 通过在计算机上的实践验证, 理解和 掌握算法, 体现数学课程与信息技术课程的整合. “类比迁移, 归纳概括 ” 是关键. “算法初步 ” 有 , 效教学的一个重要指标 是学生的算法学习能否从 一个问题迁移到另一个问题, 从一个情境迁移到另 一个情境. 算法中的一个很重要的思想是类比思想 ,

中学数学杂志 2013 年第 11 期 即把算法问题进行归类, 从而揭示出问题中的共同 本质. 在教学中, 教师要注意引导学生善于认识不同 问题间的相互关系, 并依据已有的知识和经验去概 括、 反映事物的本质特征, 类比联想事物之间共同的 要素, 加强新旧知识之间的联系. 认识越深刻, 概括 , , 水平也就越高 迁移过程越顺利 迁移的效果也就越 从而利于 好. 解决一类算法问题后要及时归纳概括 , 学生掌握算法的逻辑结构、 加深对算法知识点的理 加速算法技能的形成. 解, 使用“数学与信息技术相结合 ” 教学方式进行 “算法初步” 的学习, 并非是要学生产生算法就是计算 而是要让学生结合计算机技术, 以更 机技术的错觉, 直观的形式学习算法, 通过及时的上机体验, 加深对 算法理论知识的理解、 对算法思想的感受以及对程序 框图设计的掌握. 使学生不仅有理性认识, 而且也有 相应的感性认识, 通过上机实践, 学生能更切实地感 受到算法的奇妙, 从而激发学生学习算法的兴趣. 3 应用 “数学与信息技术相结合 ” 的教学方式进行 教学的教学案例 案例 秦九韶算法 ( 选自人教版普通高中课程 《算法初步》 的 1. 3 节 标准实验教科书必修 3 第一章 《算法案例》 ) 教学过程片断( 实录) : …… ( 1 ) 问题导入, 激疑引趣 5 4 3 提出问题: 设计求多项式 f( x) = 2 x - 5 x - 4 x + 3 x2 - 6 x + 7 当 x = x0 的值的算法, 并写出程序, 统 计所做的计算的种类及计算次数 . ( 意图 使学生在自己操作的过程中进一步认识 问题本身及其算法. ) 学生提出一般的解决方案, 如: 当 x = 5 时, f = 2* x^5 - 4* x^3 + 3* x^2 - 6* x + 7 PRINT “f = ” ; f END 教师点评 上述算法一共做了 15 次乘法运算, 5 次加法运算; 优点是简单, 易懂, 缺点是不通用, 不 而且计算效率不高. 能解决任意多项式的求值问题, 问: 有没有更高效的算法? ( 意图 帮助学生建立改进算法、 提高计算效率 的意识. ) 师: 计算 x 的幂时, 可以利用前面的计算结果, 2 2 , 以减 少 计 算 量 即 先 计 算 x 再 依 次 算 x * x* ( x2 * x ) * x , ( ( x2 ) * x) * x 的值, 这样计算上述多 一共需要多少次乘法, 多少次加法? 项式的值, 5 次加法. 生: 9 次乘法运算, ( 2 ) 探究交流, 分析算法

ZHONGXUESHUXUEZAZHI

乘法的运算次数 师: 第二次做法与第一种相比, 减少了, 因而可以提高速度, 而且对于计算机来说, 做一次乘法所需的运算时间比做一次加法要长得 多, 因此第二种做法可以更快地得到结果 . 师: 能否探索更好的算法, 来解决任一多项式的 求值问题? ( 意图 进一步探索有一般意义的算法. ) 教师引导学生把多项式变形为: f( x ) = 2 x5 - 5 x4 - 4 x3 + 3 x2 - 6 x + 7 = ( ( ( ( 2x - 5) - 4) x + 3) x - 6) x + 7. 师: 从内到外, 把每一个括号都看成一个常数, ? x 的系数 那么变形后的式子 中有哪一些“一次式 ” 依次都是什么? Ax - 4 , Bx + 3 , Cx - 6 , Dx + 7 共 5 个 生: 2 x - 5 , x 的系数依次是 2 , 2x - 5, ( 2x - 5) x - 4, 一次式, ( ( 2x - 5) x - 4) x + 3, ( ( ( 2x - 5) x - 4) x + 3) x - 6. 师: 若将 x 的值代入变形后的式子中, 那么求值 的计算过程是怎么样的. ( 意图 引导学生发现规律, 归纳概括) 师: 计算的过程可以列表表示为( 如表 1 所示) : 表 1 多项式的计算过程
“系数” 2 原多项式 x 的 “系数” 2 变形后 x 的 -5 -4 3 -6 7 运算 + 10 25 105 540 2670 5 21 108 534 2677

最后的系数 2677 即为所求的值, 让学生描述上 述计算过程. 生: 将变形前 x 的第一个系数乘以 x 的值, 加上 变形前第二个系数, 得到一个新的系数; 将此系数再 x , 乘以 的值 再加上变形前的第三个系数, 又得到一 个新的系数; 继续对新系数做上面的变换直到与变 得到一个新的系数为止, 形前的最后一个系数相加, 这个系数即为所求的多项式的值 . . ( 同时介 师: 指出这种算法就是“秦九韶算法 ” 绍秦九韶) 师: 用秦九韶算法求多项式与其组成有直接联 系吗? 用秦九韶算法计算上述多项式的值 , 需要多少 次加法运算? ( 意图 引导学生分析秦九韶算法的特点 . ) 教师引导学生发现在求值的过程中, 计算只与 多项式的系数有关, 让学生统计所进行的乘法和加 法运算的次数. 5 次加法运算. 生: 共做了 5 次乘法运算, ( 3 ) 讲练结合, 上机验证 师: 秦九韶算法适用于一般的多项式 f( x) 的求 值问题吗? ( 意图 引出秦九韶算法的通用性的特点 . ) 师: 怎样用秦九韶算法求一般的多项式 f( x) 当
17

ZHONGXUESHUXUEZAZHI

中学数学杂志 2013 年第 11 期 生 2 : 解决同一类问题, 可以有不同的算法, 但 计算的效率是不同的, 应该选择高效的算法. 生 3 : 算法的种类虽多, 但三种逻辑结构可以有 效地表达各种算法. …… 评析 这是一个经典的算法案例之一, 旨在让 学生在学习了算法的初步知识, 理解了表示算法的 程序框图和三种不同的程序方式后 , 结合 算法步骤、 典型算法案例, 让学生经历算法解决的全过程, 体验 算法在解决问题中的重要作用, 进一步体会算法的 , 基本思想 发展有条理地思考与数学表达能力 . 算法 本身就是与具体问题结合在一起的, 如果只空讲理 既不能使学生真正理解算法, 也不能针对具体问 论, 题设计出正确的算法, 而从典型的、 学生熟悉的算法 模型中挖掘、 提炼出来的思想和方法, 更容易被学生 . 接受 由于案例中涉及的数据计算量较大 , 在计算机 上对该算法进行校验可以使学生更直观地感受算法 思想, 激发学生学习算法的兴趣. 加深了对算法概念 实质的理解, 增强了对算法思想的感受, 提高了对程 序框图的设计能力. 4 教学建议 算法是从问题到用计算机求解的中间环节, 这 个环节需要通过人的逻辑思维来完成. 下图说明了 用计算机求解算法问题中数学和信息科学的关系 .

x 为任意实数时的值? 生: 先将多项式变形为 f( x) 然后由内向外逐层 计算一次多项式的值. 教师引导学生思考: 把 n 次多项式的求值问题 转化成求 n 个一次多项式的值的问题, 即求 v1 = a n x + a n - 1 v2 = v1 x + a n - 2 v3 = v2 x + a n - 3 …… v n = v n -1 x + a0 的值的过程, 共做了多少次乘 法运算, 多少次加法运算? n 次加法运算. 生: n 次乘法运算, 师: 观察上述秦九韶算法中的 n 个一次式, 可见 v k 的计算要用到 v k -1 的值. 若令 v0 = a n , 可以得到下 面的公式: v0 = a n

{v

k

= v k -1 x + a n -k ( k = 1 , 2 …, n)

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤, 此可以 用循环结构来实现. 算法步骤如下: 第一步: 输入多项式次数 n、 最高次项的系数 a n 和 x 的值. 第二步: 将 v 的值初始化为 a n , 将 i 的值初始化 为 n - 1. 第三步: 输入 i 次项的系数 a i . i = i - 1. 第四步: v = v x + a i , 第五步: 判断 i 是否大于或等于 0 , 若是, 则返回 第三步; 否则, 输出多项式的值 v. 师: 怎样用程序框图表示秦九韶算法 ? ( 意图 引导学生认识秦九韶算法中的循环过 程, 并用算法的循环结构来表示这个过程 . ) 程序框图: ( 略) …… 例 设计利用秦九韶算法计算 5 次多项式 f ( x ) = a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 , 当 x = x0 时的值的程序框图. 程序框图: ( 略) 练习: 利用程序框图试编写 vb 程序并在计算机 上调试自己的程序. …… ( 4 ) 类比迁移, 归纳概括 师( 小结 ) : 通过对秦九韶算法的学习, 你对算 法本身有哪些进一步的认识. ( 意图 引导学生归纳概括, 促进知识的正迁移. ) 生 1 : 算法 具 有 通 用 性 的 特 点, 可以解决一类 问题.
18

用计算机求解算法问题中数学与信息科学的关系

正因为算法处在问题和计算机求解的中间, 所 以, 可从数学和信息科学两个角度来研究算法 . 但从 从数学 数学和信息科学研究算法的侧重是不同的, 方面研究算法侧重于算法设计. 4. 1 正确区分算法教学和程序语言教学的不同 . 设 计的算法正确与否要通过编程并且运行程序进行验 借助于程序语言可以使算法得以实现 ; 反之要设 证, 计程序就必须弄清算法原理. 算法教学是程序语言 教学的基础, 程序语言教学是算法教学必要的延续 , 两者相辅相成. 然而, 两者在教学重点上有所不同, — —程序化 算法的教学重点在于: 体现算法的思想— 思想, 培养学生的逻辑思维能力, 培养学生思维的条 理性; 而程序语言教学却是计算机语言教学 , 教学重 . , 在 点是让学生学会编程 两者各有特色 相互联系, 算法教学时可以充分结合程序语言教学, 鼓励学生 尽可能把自己的算法在计算机上实现, 但不可本末 不要把算法内容简单处理成程序语言的学习 倒置, 或程序设计. 4. 2 选取恰当的实例, 激发学生学习算法的兴趣. 在算法教学中, 要注意循序渐进, 理论性不要太强, 最好的方式就是结合实例进行教学. 选取例子时要

中学数学杂志 2013 年第 11 期 注意把握以下几点: 选取的例子应该来自学生的生活实践, 或是在数 学课上所学过的. 例如, 在介绍 while 循环语句时, 可以 选择数学 1 中的二分法, 便于承前启后, 导入新知识. 选取的例子最好有丰富的背景, 有趣味性. 在中 《 》 《 》 国的 九章算术 和 孙子算经 等古代数学著作中 有许多有 趣 的 问 题, 可 供 选 择. 如 著 名 的“鸡 兔 同 笼” 问题, 该例既有趣味性也有代表性, 利用此例引 入算法含义, 能够提高学生的学习兴趣. 在介绍输入 输出语句时, 可进一步利用此例, 问能否设计一个二 元一次方程组的通用算法来启发学生思考, 从而引 出输入输出语句的教学. 选取的例子的算理不要太难, 以贴近现实生活 为佳, 随着学生学习的深入, 可以适当提高例子的难 度. 开始学习算法时, 选取的例子太难容易使学生产

ZHONGXUESHUXUEZAZHI

生厌学心理. 所选例子既要有蕴涵丰富的算法思想 , 又要能够贴近生活, 让学生能从中轻松地学习算法 “三基” — — —基本思想, 的 基本结构以及基本语句. 如在刚开始上算法课时, 可以选择 “给出求 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 的一个算法” 的例子, 该例子理解起来较 , — —程序化解题 简单 却又蕴涵着算法的基本思想— 思想. 4. 3 利用计算机辅助学生学习算法, 让学生能将自 己写出的算法通过计算机得以实现, 使学生能够看 到自己的创作成果, 激发学生学习算法的兴趣. 数学 教师也要在计算机教师的帮助和配合下, 深入研究 算法相关内容, 引领学生把具体问题的程序框图转 化为程序语句, 在应用环节上进一步体会和呈现算 法思想和算法的教育价值.

《数学 2 · 必修 · A 版 》 对人教版教科书 的几点建议
北京丰台二中 100071 甘志国( 特级教师) 条异面直线的公垂线段) 是连结这两条异面直线上 各一点的线段中的最短者, 用直角三角形中的斜边 长大于直角边长可证此结论. 全日制普通高级中学 《数学·第二册( 下 B ) 》 ( 2006 年人民教育出 教科书 版社) 第 55 页叙述了这一结论. 6) 《必修 2 》第 144 页复习参考题 B 组的第 2 题 y) , 那就说明题中已建 中已给出了点 M 的坐标 ( x, 而题中并未建立坐标系, 所以建议把此 立了坐标系, 题题目改述为( 答案不变) : 2 . 已知点 M 与两个定点 M1 , M2 距离的比是已知 求点 M 的轨迹方程, 并说明轨迹是什么图 的正数 m, 形. ( 提示: 应考虑 m = 1 和 m ≠ 1 两种情形) . 2 建议对一些题目作修改 1 ) 建议把 《必修 2》第 35 页第 1 题的第( 2) 小题 “用铁丝作一个三角形, 改为 在三个顶点上, 分别固定 一根筷子, 把三根筷子的另一端也用铁丝连成一个三 角形, 从而获得一个几何体模型. 如果筷子的长度相 等且两个铁丝连成的三角形所在的平面平行, 那么这 .” ( 这样改动后, 答案与《教师用书 个几何体是 2》第 16 页给出的答案是 “三棱柱或三棱台”相同. ) 2) 《必修 2 》第 35 页第 5 题中的题设 “底面直径 ”是多余的, 与母线长相等, 建议删去. 3 ) 建议把第 79 页第 1 题改述为: 1. 如图, F分 在边长为 2 的正方形 ABCD 中, 点 E, 1 BC, BC 上, 将 △AED, 别在边 AB, 且 BE = BF = 4
19

笔者在使用普通高中课程标准实验教科书《数 2 · ( 人民教育出版社, 2007 年第 3 学 必修 · A 版 》 ) 进行教学时, 也仔细研读了 版) ( 下简称《必修 2 》 该书, 现对该书提出几点建议, 不当之处, 敬请读者 批评指正. 1 订正一些题的错误答案 1) 与 《必修 2 》配套使用的 《教师教学用书》 (下 《教师用书 2 》 ) 第 15 页给出的 《必修 2 》 简称 第 29 页 “它的表面积和体积分别为 1193 cm2 、 第 1 题的答案 “它的表面积和体积分别为 1067 cm3 ”不对, 应改为 2 3 1047 cm ” . 1194 cm 、 2) 《教师用书 2 》第 16 页给出的 《必修 2 》第 36 9 , ( 1 ) 64 ; 页第 题前四个小题的答案不完整 应改为“ 2 2 . ( 2) 8, 48 cm ; ( 3 ) 24 , 144 cm ; ( 4 ) 24 , 144 cm2 ” 《必修 2 》 3) 《教师用书 2 》 第 90 页给出的 第 115 “x + 3 y + 1 = 0 ” 页第 10 题的答案中的 不对, 应改为 “x + 3 y + 7 = 0 ” . 4) 《教师用书 2 》第 110 页给出的《必修 2 》第 123 页第 2 ( 2 ) 题的答案中的“半径长是 1 的圆 ”不 . 11 的圆” “半径长是 槡 对, 应改为 5) 《必修 2 》第 139 页习题 B 组的第 3 题末的问 “由以上问题, 话是 你得到了什么结论? 你能证明你 ? ” , 《 的结论吗 而 教师用书 2 》第 135 页并没有给出 此问的答案, 笔者认为答案可以是: 与两条异面直线 都垂直且都相交的直线 ( 叫做这两条异面直线的公 垂线) 被这两条异面直线所截得的线段 ( 叫做这两


相关文章:
高中数学 如何说课
一、说课内容 我觉得数学课的说课主要包含以下五个环节:说教材;说目标;说教法与 学法;说教学程序;说设计与反思 二、说课目的 数学说课是数学教师间的业务交流,...
新人教版A高中数学必修1-5知识点高考复习总结大全
新人教版A高中数学必修1-5知识点高考复习总结大全_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修 1 知识网络集合 ? ()元素与集合的关系:属于(?)和不属于(?) ?1 ? ...
高中数学必修一集合知识点总结大全
高中数学必修一集合知识点总结大全_高一数学_数学_高中教育_教育专区。老师讲的都有 高中数学必修 1 知识点 集合 ? ()元素与集合的关系:属于(?)和不属于(?) ...
高中数学符号
高中数学符号_高三数学_数学_高中教育_教育专区。论坛发贴常遇到数学公式表达困难的请进(提供两种方法) 论坛经常遇到发贴的数学公式的表达问题,这是需要统一的方式,...
高中数学(理)基础知识填空
龙泉四中 2013 级数学基础知识回顾 整理人:吴青、柏丽霞、杨丽 必修 1 数学知识点 第一章、集合与函数概念 1、集合三要素:___。 2、集合的表示方法:___. ...
高中数学函数专题复习
高中数学函数专题复习_数学_高中教育_教育专区。高中数学函数专题复习 2.1 映射与函数、函数的解析式一、选择题: 1.设集合 A ? {x | 1 ? x ? 2} , B...
【高中数学会考最应该背诵的39个数学公式(会考必备!!)】
高中数学会考最应该背诵的 39 个数学公式 1.球的表面积公式: S 球表面积=4πR 2 2.球的体积公式: v 球 ? 4 ?R . 3 3 D1 C1 A1 B1 F E 3.设...
高中数学题库
高中数学题库。高中数学题库 迄今为止最全,最适用的高一数学试题(必修 1、4) 迄今为止最全,最适用的高一数学试题( 、) 顺序的省份) (特别适合按 14523 顺序...
浅析学生高中数学学习中存在的问题及建议
浅析学生高中数学学习中存在的问题及建议临夏中学 数学组 孙宇荣 关键词:高中数学学习方法 数学家华罗庚曾经说过:宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之 变...
高中数学_三角函数公式大全
高中数学_三角函数公式大全_数学_高中教育_教育专区。三角公式汇总一、任意角的三角函数在角 ? 的终边上任取一点 P( x, y ) ,记: r ? .. 正弦: sin ?...
更多相关标签: