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【数学】2.1.2 演绎推理 课件(苏教版选修2-2)


第2章 推理与证明 2.1.2 演绎推理

复习回顾:
1、类比推理的定义:
类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方 面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相 同,像这样的推理通常称为类比推理.(简称:类比)

2、类比推理的特点:
(1).类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究 的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. (2).类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 即类比推理是由特殊到特殊的推理.

(3).类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.

3、类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征, 从而得出一个猜想;

⑶ 检验猜想。 即

观察、比较

联想、类推

猜想新结论

4、类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a’,b’,c’, (a,b,c与a’,b’,c’相似或相同) 所以B类事物可能具有性质d .


情景创设:观察下列推理有什么特点?
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除. 3.三角函数都是周期函数, 因为tan ? 三角函数, 所以是tan ? 周期函数 4.全等的三角形面积相等 如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.

大前提 小前提 结论

大前提 小前提 结论

一、演绎推理的定义:
从一般性的原理出发,推出某个特殊 情况下的结论,这种推理称为演绎推理.

二、演绎推理的模式:
“三段论”是演绎推理的一般模式;

M……P(M是P) S……M (S是M) S……P (S是P)

大前提---已知的一般原理; 小前提---所研究的特殊对象;

结论---据一般原理,对特殊
对象做出的判断.

用集合的观点来理解:三段论推理的依据
若集合M的所有元素 都具有性质P,S是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有 性质P。

P S
M

所有的金属(M)都能够导电(P) M……P 铜(S)是金属(M) S……M 铜(S)能够导电(P) S……P

小明是一名高二年级的学生,17岁,迷恋上网络,沉迷 于虚拟的世界当中。由于每月的零花钱不够用,便向亲戚要

钱,但这仍然满足不了需求,于是就产生了歹念,强行向路
人抢取钱财。但小明却说我是未成年人而且就抢了50元,这 应该不会很严重吧??

大前提:刑法规定抢劫罪是以非法占有为目的,使 用暴力、胁迫或其他方法,强行劫取公私财物的行 为。其刑事责任年龄起点为14周岁,对财物的数额

没有要求。
小前提:小明超过14周岁,强行向路人抢取钱财50元。

结论:小明犯了抢劫罪。

三、演绎推理的特点:
1.演绎推理的前提是一般性原理,演绎所得的 的结论是蕴含于前提之中的个别、特殊事实,结 论完全蕴含于前提之中,因此演绎推理是由一般 到特殊的推理;

2、在演绎推理中,前提于结论之间存在着必然的联系, 只要前提和推理形式是正确的,结论必定正确。因此 演绎推理是数学中严格的证明工具。 3、在演绎推理是一种收敛性的思维方法,它较少创造 性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助 于科学论证和系统化。

四、合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理

区 别

推理 由部分到整体、个 由特殊到特殊 由一般到特殊的 推理。 形式 别到一般的推理。 的推理。
推理 结论 结论不一定正确,有待进一 步证明。
在大前提、小前提 和推理形式都正确 的前提下,得到的 结论一定正确。

联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演绎 推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的。

推 理
合情推理
(或然性推理)

演绎推理 (必然性推理)

类比 三段论 (特殊到一般) (特殊到特殊)(一般到特殊) 归纳

注 演绎推理有时可用列表的形式表示,如:

大前提
所有金属都能导电

小前提
铜是金属

结论
铜能导电

太阳系大行星以椭圆 冥王星是太阳 轨道绕太阳运行 系的大行星

冥王星以椭圆形 轨道绕太阳运行

奇数都不能被2整除

2007是奇数

2007不能被2整除

例1.在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是垂足,用演绎推理 “三段论”格式证AB的中点M到D,E的距离相等.

证明:(1)因为有一个内角是只直角的 大前提

C

三角形是直角三角形, 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900 小前提 所以△ABD是直角三角形 结论 同理△ABE是直角三角形 A M B (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提 小前提 M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 1 所以 DM= AB 结论 2
1 同理 EM= AB 2

E

D

所以 DM = EM

练习1: 分析下列推理是否正确,说明为什么?
大前提错误 (1)自然数是整数, 3是自然数, 3是整数. (2)整数是自然数, -3是整数, -3是自然数. (4)自然数是整数, -3是整数, -3是自然数. 推理形式错误

(3)自然数是整数, -3是自然数, -3是整数. 小前提错误

b b?m . 例2:已知a,b,m均为正实数,b<a, 求证: ? a a?m
b<a,m>0,

证明: (1)不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)

(小前提)

(结论) (2)不等式两边加上同一个数,不等式仍成立, (大前提) mb<ma. ab=ab, (小前提) 所以ab+mb<ab+ma. (结论) 即b(a+m)<a(b+m) (大前提) (3)不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立, b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0, (小前提)

所以mb<ma.

b(a ? m) a(b ? m) 所以, ? , a(a ? m) a(a ? m)

b b?m 即, ? . a a?m

(结论)

练习2:用三段论的形式写出下列演绎推理。
(1)三角形内角和180°,等边三角形内 角和是180°。

(2) 0.33 2 是有理数。
解: (1)分析:省略了小前提:“等边三角形是三角形”。 三角形内角和180°, 等边三角形是三角形。 所以等边三角形内角和是180°。 (2)分析:省略了大前提:“所有的循环小数都是有理数。” 小前提:0.33 2 是循环小数。
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