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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第31课 复数课件 文


考纲要求
1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示形式及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义.

知识梳理
1.复数的概念 ⑴形如 a ? bi(a, b ? R) 形式的数叫复数. 其中 i 叫做复数的 虚数 单位,且 i 2 ? –1 .

a 叫做复数的 实部 , b 叫做复数的 虚部 .
复数常用集合 C 表示. ⑵复数的分类 对于复数 a ? bi(a, b ? R) 当 b=0 时,是实数; 当 b≠0 时,是虚数; 时,是纯虚数.

当 a=0,b≠0

⑶复数相等

a ? bi ? c ? di(a, b, c, d ? R) ? a=b,c=d .
⑷共轭复数 复数 z ? a ? bi 的共轭复数为 z ? a ? bi . ⑸复数的模

| z |? | a ? bi |?
⑹复平面

a2+b2 .

建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面, 其中 x 轴叫做实轴,实轴上的点都表示实数,

y 轴叫做虚轴,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

2.复数的几何意义

??? ? Z ? a ? bi ? 点 Z (a, b) ? 向量 OZ .
3.复数的四则运算: 若复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di ,则 ⑴ z1 ? z2 ? (a+c)+(b+d)i ; ⑵ z1 ? z2 ? (a-c)+(b-d)i ; ⑶ z1 ? z2 ? (ac-bd)+(ad+bc)i ;

z1 a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? ? 2 ? 2 i. ⑷ 2 2 z 2 c ? di (c ? di )(c ? di ) c ? d c ?d

基础自测
3 ? 4i 1. (2012 广东高考)设 i 为虚数单位,则复数 ?( i
A. ?4 ? 3i C. 4 ? 3i
【答案】D 【解析】



B. ?4 ? 3i D. 4 ? 3i

3 ? 4i (3 ? 4i) ? (?i) ? ? 4 ? 3i . i i ? (?i)

2.2012 湖南高考) ( 复数 z ? i(1 ? i) i 为虚数单位) ( 的共轭复数是 ( A. ?1 ? i C. 1 ? i B. ?1 ? i D. 1 ? i



【答案】D 【解析】∵ z ? i(1 ? i)= ? 1 ? i ,∴ z ? ?1 ? i .

3. (2012 北京高考) 在复平面内, 复数 A. (1,3) C. (? 1 , 3 )

10i 对应的点的坐标为 ( 3?i



B. ( 3 , 1 ) D. ( 3 ? 1 ) ,

【答案】A 【解析】

10i 10i(3 ? i) 10 ? 30i ? ? ? 1 ? 3i , 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 10

∴对应复平面上的点为 (1,3) .

2 4. (2012 新课标高考)下面是关于复数 z ? 的四个命题: ?1 ? i
其中的真命题为( )

p1 : z ? 2 ;

p2 : z 2 ? 2i ; p3 : z 的共轭复数为 1 ? i ;

p4 : z 的虚部为 ?1 .
A. p2 , p3 B. p1 , p2 C. p? , p? D. p? , p?

【答案】C

2(?1 ? i) 【解析】 z ? ∵ ∴ ? ?1 ? i , z ? 2 ,z 2 ? (?1 ? i)2 ? 2i , (?1 ? i)(?1 ? i)
共轭复数为 z ? ?1 ? i , z 的虚部为 ? 1,∴ p2 , p4 为真命题,故选 C.

典例剖析
考点1 复数的概念

m 2 ? 2m 【例 1】已知 m ? R ,复数 z ? ? (m2 ? 2m ? 3)i ,当 m 取何值时: m ?1
(1) z ? R ; (2) z 为虚数; (3) z 为纯虚数.

? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 【解析】 (1)∵ z ? R ,∴ ? ,解得 m ? 3 . ?m ? 1 ? 0
?m ? 1 ? 0 (2) z 为虚数,∴ ? 2 , ? m ? 2m ? 3 ? 0
解得 m ? ?1 且 m ? 3 .

? m 2 ? 2m ?0 ? (3) z 为纯虚数,∴ ? m ? 1 , ? m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ?
解得 m ? ?2 或 m ? 0 .

【变式】 (2012 东莞一模)设 i 为虚数单位,复数

a?i 是纯虚数,则实数 1? i

a ?(
A. ?1

) B. 1 C. 2 D. ? 2

【答案】A 【解析】

a ? i (a ? i)(1 ? i) a ? 1 1 ? a ? ? ? i, 1? i 2 2 2 a?i ∵复数 是纯虚数,∴ a ? ?1 . 1? i

考点2 复数的代数运算

【例 2】 (2012 山东高考)若复数 z 满足 z(2 ? i) ? 11 ? 7i (i 为虚数单位), 则 z 为( A. 3 ? 5 i C. ?3 ? 5 i
【答案】A

) B. 3 ? 5 i D. ?3 ? 5i

(11 ? 7i)(2 ? i) 15 ? 25i 【解析】 z ? ? ? 3 ? 5i . (2 ? i)(2 ? i) 5

【变式】 (2012 汕头二模) i 为虚数单位,复数

?1 ? 3i 的模为( 1 ? 2i
2 D. 2



A. 1

B. 2

C. 2

【答案】C

?1 ? 3i ?1 ? 3i 10 ? ? ? 2. 【解析】 1 ? 2i 1 ? 2i 5

【变式】 (2012 门头沟一模)向量 a ? 4 ,向量 b ? ( 0, 2) , 若 (a ? b) ? b ,则向量 a 与 b 的夹角的大小是( A. )

5? 6

B.

2? 3

C.

? 3

D.

? 6

【答案】B 【解析】 a ? 4 , b ? ( 0, 2) , (a ? b) ? b , ∴ a ? b ? b =0 ,∴ 4 + a ? b=0 ,∴ a ? b= ? 4 ,
2

∴ cos ? a, b ??

a ?b 1 ?? , a?b 2

2? ∵ ? a, b ??[0, ?] ,∴ ? a, b ?? . 3

考点3 复数的几何意义
【例 3】 (2012 广州调研)设复数 z1 ? 1 ? 3i , z2 ? 3 ? 2i ,则 点位于( ) B.第二象限 D.第四象限

z1 在复平面内对应的 z2

A.第一象限 C.第三象限

【答案】D 【解析】∵

z1 1 ? 3i (1 ? 3i)(3 ? 2i) 9 7 ? ? ? ? i ,∴选 D. z2 3 ? 2i 13 13 13

【变式】 (2012 茂名二模)已知复数 z ? x ? yi ( x, y ? R ) ,且 z ? 2 ? 1 , 则 x 、 y 满足的轨迹方程是__________.

【答案】 ( x ? 2) ? y ? 1
2 2

【解析】 z ? 2 ? ( x ? 2) ? yi , z ? 2 ? 1 ,
2 2 2 2 ∴ ( x ? 2) ? y ? 1 , ( x ? 2) ? y ? 1 .

归纳反思
1.对于复数相等的处理: 一定要把复数的实部和虚部分离出来. 2.对于模的处理

z1 ? z2 ? z3 ? z1 ? z2 ? z3 .
3.要记住一些常见结论

1? i 1? i 1 2 ⑴ ? ?i , (1 ? i) ? ?2i , ?i, ? ?i . 1? i 1? i i
⑵i
4n

? 1, i 4 n?1 ? i, i 4 n? 2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i (n ? N *) .


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