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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷一) 理科数学
样本数据 x 1 , x 2 , ? x n 的标准差
1 n

锥体体积公式
1 3

s ?

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ? ( x

n ? x ) ]
2 2 2

V ?

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式
S ? 4? R
2
[来源:Z。xx。k.Com]

V ?

4 3

?R

3

其中 S 为底面面积, h 为高 第I卷

其中 R 为球的半径

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 A ? ? x x ? 2 , x ? R ? , B ? x (A) ? 0 , 2 ? (2)已知复数 z ? (B) ? 0 , 2 ?
3?i

?

x ? 4 , x ? Z ,则 A ? B ?

?

(C) ? 0 , 2 ?

(D) ? 0 ,1, 2 ?

?

1?

3i
1 2

?

2

, z 是 z 的共轭复数,则 z ? z

(A)

1 4 x x?2

(B)

(C)1

(D)2

(3)曲线 y ?

在点 ? ? 1, ? 1 ? 处的切线方程为 (B) y ? 2 x ? 1 (C) y ? ? 2 x ? 3 (D) y ? ? 2 x ? 2

(A) y ? 2 x ? 1

(4)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0 ? 2 , ? 2 ? ,角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

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(5)已知命题
p 1 :函数 y ? 2 ? 2
x ?x

在 R 为增函数, 在 R 为减函数,

p 2 :函数 y ? 2 ? 2
x

?x

则在命题 q 1 : p 1 ? p 2 , q 2 : p 1 ? p 2 , q 3 : ? ? p 1 ? ? p 2 和 q 4 : p 1 ? ? ? p 2 ? 中,真命题是 (A) q 1 , q 3 (B) q 2 , q 3 (C) q 1 , q 4 (D) q 2 , q 4

(6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒 ,对于没有发芽的种子,每粒需再补种 2 粒, 补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 (A)100 (B)200 (C)300 (D)400

(7)如果执行右面的框图,输入 N ? 5 ,则输出的数等于 (A) (B) (C) (D)
5 4 4 5 6 5 5 6

(8)设偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? x ? 8 ? x ? 0 ? ,则 ? x f ? x ? 2 ? > 0 ? ?
3

(A) ? x x < - 2 或 x> 4 ? (C) ? x x < 0 或 x> 6 ?

(B) ? x x < 0 或 x> 4 ? (D) ? x x < - 2 或 x> 2 ?
1 ? ta n

? ?
2 ?

(9 )若 c o s ? ? ?

4 5

, ? 是第三象限的角,则
1 ? ta n
1 2

2

(A) ?

1 2

(B)

(C)2

(D) ? 2

(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为 a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为 (A) ? a
2

(B) ? a
3

7

2

(C)

11 3

?a

2

(D) 5 ? a

2

? lg x , 0 < x ? 1 0 , ? (11)已知函数 f ? x ? ? ? 1 若 a,b,c 互不相等,且 f ? ? x ? 6 , x> 1 0 ? 2

?a? ?

f ?b ? ? f

? c ? ,则 abc 的取

值范围是

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(A) ? 1,1 0 ?

(B) ? 5, 6 ?

(C) ? 1 0 ,1 2 ?

(D) ? 2 0, 2 4 ?

(12)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中 点为 N(-12,-15),则 E 的方程为 (A)
x
2

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

(C)

x

2

?

y

2

?1

(D)

x

2

?

y

2

?1

3

6

4

5

6

3

5

4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答。第(22 ) 题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) 设 y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有 0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分

?

1 0

f ( x )d x ,先产生两组(每组 N 个)区间[0,1]上的均匀随机数 x1 , x 2 …, x N 和 y 1 , y 2 …, y N ,由此得到 N

个点( x1 , y 1 ) (i=1,2,…,N),在数出其中满足 y 1 ≤ f ( x1 ) ( (i=1,2,…,N) )的点数 N 1 ,那么由随机 模拟方法可得积分 ? f ( x )d x 的近似值为
0 1

. .(写出三种) B(2,1).则圆 C 的方程为 的面积为 3 ? .
3 , ?BAC = 则

(14)正视图为一个三角形的几何体可以是 (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 (16)在 ? A B C 中, 为边 BC 上一点, D BD=
1 2

DC, ? A B C =120°, AD=2, ? AC 若 D

三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 (17)(本小题满分 l2 分) 设数列 ? a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? a n ? 3 ?2 (Ⅰ)求数列 ? a n ? 的通项公式: (Ⅱ)令 b n ? n a n ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 S n .
2 n ?1

(18)(本小题满分 12 分) 如圈,己知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD, A C ⊥BD 垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 中 点. (Ⅰ) 证明:PE⊥BC (Ⅱ)若 ? A P B = ? A D B =60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成 角的正弦值.

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(19)(本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结 果如下:

(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者提供帮助的老 年人的比例?说明理由.

(20)(本小题满分 12 分) 设 F1 , F 2 分别是椭圆 E:
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1(a>b>0) 的左、 右焦点, F1 斜率为 1 的直线 l 与 E 相较于 A,B 两点, 过

且 A F 2 , A B , B F 2 成等差数列. (Ⅰ)求 E 的离心率; (Ⅱ)设点 P(0,-1)满足 P A ? P B ,求 E 的方程.

(21)(本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= e ? 1 ? x ? a x .
x 2

(Ⅰ)若 a=0,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若当 x≥0 时 f(x)≥0,求 a 的取值范围.
[来源:Z*xx*k.Com]

[来源:Zxxk.Com]

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请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔 、 、 在答题卡上把所选题目的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分) 选修 4—1;几何证明选讲
? A 如图,已知圆上的弧 ? C = B D ,过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明:

(Ⅰ) ? A C E = ? B C D ; (Ⅱ) B C ? B E ? C D ;
2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知直线 C 1 : ? (Ⅰ)当 ? =
?
3
? x ? 1 ? t cos ? . ? y ? t s in ? ,

(t 为参数) ,圆 C 2 : ?

? x ? cos ? , ? y ? s in ? ,

( ? 为参数),

时,求 C 1 与 C 2 的交点坐标;

(Ⅱ)过坐标原 点 O 作 C 1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点,当 ? 变化时,求 P 点轨迹的参数方程, 并指出它是 什么曲线 ;

[来源:Z§xx§k.Com]

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 设函数 f(x)= 2 x ? 4 ? 1 (Ⅰ)画 出函数 y=f(x)的图像; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤ax 的解集非空,求 a 的取值范围.

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