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山东省山东省实验中学2013级第四次诊断性考试文科试题四诊文科一(带答案)


山东省实验中学 2011 级第二次模拟考试 数 学 试 题(文科) (2014.4)

第Ⅰ卷(选择题
1. 在复平面内,复数 (A)第一象限

50 分)
( )

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

?1? i 对应的点位于 i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

2.定义集合 A ? B ? ?x | x ? A且x ? B?,若 A ? ? 1,3,5,7?, B ? ?2,3,5? ,则 A ? B 的子集个数为 ( ) A.1 答案:D

B.2

C.3

D.4

3.等比数列 {an } 中, “ a1 ? a3 ”是“ a4 ? a6 ”的( A.充分而不必要条件 答案:D

) D.既不充分又不必要条件

B.必要而不充分条件 C.充要条件

4.已知函数 y ? f ( x) 是奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) = lg x ,则 f ( f (

1 )) 的值等于( 100



A.

1 lg 2

B. ?

1 lg 2

C. lg 2

D. ? lg 2

【答案】D 5.给出下列图象 y

y

y

y

O ①

x ②
4

O

x

O ③ ①

x

O ④

x

其 中 可 能 为 函 数 f ( x) ? x ? ax ? cx ? d (a, b, c, d ? R)
3

的图象的是( ) A. ①③ B.①② C.③④ D. ②④ 答案:(A) 6.如图是一个组合几何体的三视图,则该几何体的体积是 ( ) A、

27 3 ? 64? 2

B、

27 3 ? 128 ? 2

C、 12 ? 64?

D、 36 ? 128?

答案:D 7.图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为 e1﹑e2﹑e3﹑e4 ,其大小关系为( ) A、 e1 ? e2 ? e3 ? e4 B、 e2 ? e1 ? e3 ? e4 C、 e1 ? e2 ? e4 ? e3 D、 e2 ? e1 ? e4 ? e3 答案:C 8 .已知函数 f ( x) 的部分图象如图所示,则 f ( x) 的解析式可能为 ( ) A B C D
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x ? f ( x) ? 2 sin( ? ) 2 6
f ( x ) ? 2 cos( 4 x ?

?
4

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)

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f ( x) ? 2 cos(

x ? ? ) 2 3

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f ( x) ? 2 sin( 4 x ?

?

6

)

答案:C

?y ? x ? 9.已知 z ? 2 x ? y, x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 m 的值是 ( ?x ? m ?
A.



1 7

B.

1 6

C.

1 5

D.

1 4

【答案】D 10 .若函数 f ( x ) 在给定区间 M 上,存在正数 t ,使得对于任意 x ? M ,有 x ? t ? M ,且

f ( x ? t ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 t 级类增函数,则以下命题正确的是 (
A.函数 f ( x) ?



4 ? x是(1, ??) 上的 1 级类增函数 x

B.函数 f ( x) ?| log2 ( x ?1) | 是(1, ??) 上的 1 级类增函数 C.若函数 f ( x) ? x ? 3x为?1, ??? 上的 t 级类增函数,则实数 t 的取值范围为 ?1, ?? ?
2

D. 若函数 f ( x) ? sin x ? ax 为 ? 函数,则实数 a 的最小值为 2 【答案】D 【解析】若

? ?? ? ,?? ? 上的 级类增 3 ?2 ?

f ( x) ? x2 ? 3x为?1, ???

上的 t 级类增函数,则

f ( x ? t ) ? f ( x) 恒 成 立 , 3x2 ? 3tx ? t 2 ? 3 ? 0 恒 成 立 ,

? ??36 ?3t 2 ? 0 ? ? t ?1 2 ? ? 9t 2 ? 12t 2 ? 36 ? 0 或 ? 2 且 t ? 3t ? 0 ,解得 t ? 1, 所以 D 正确。

第Ⅱ卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11、阅读右侧程序框图,则输出的数据 S 为_____.
开始

S ? 4, i ? 0
i ? 2014
是 否

S ? ?S

输出 S

i ? i ?1

结束

12、200 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速超过 60 km / h 的汽车 数量为__ ___. (A)65 辆 (B)76 辆(C)88 辆 (D)辆 95 【答案】B
2 2 2 13.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线与圆 x ? y ? 6 x ? 7 ? 0 相切,则 p 的值为



14、设 0 ? m ? 【答案】8

1 1 2 ? k 恒成立,则 k 的最大值为 ,若 ? m 1 ? 2m 2



【 解 析 】 由 题 可 知

k

1 2 ? 的 最 大 值 即 为 m 1 ? 2m 的 最 小 值 。 又

1 2 2 2 1 ? 2m 2m ? ?( ? )[2m ? (1 ? 2m)] ? 2 ? 2( ? )?2 ? 8 ,取等号的条件当 m 1 ? 2m 2m 1 ? 2m 2m 1 ? 2m m? 1 4 。故 kmax ? 8 。

且仅当 2m ? 1 ? 2m ,即

15 、 在 四 边 形 ABCD 中 , AB ? DC ? (1, 1),

1 1 3 ,则四边形 ? BA? ? BC ? ? BD | BA | | BC | | BD |

C

D

ABCD 的面积为
【答案】



B

A

3
2 且 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形 , 再 由

解 析 : 由 AB ? DC ? (1,1) 可 得 A B ? D C?

1 1 3 ? BA ? ? BC ? ? BD 可知 D 在 ?ABC 的角平分线上,且以 BA 及 BC 上单位边 | BA | | BC | | BD |
长 为 边 的 平 行 四 边 形 的 一 条 对 角 线 长 ( 如 图 ) 是 PB ?

3 , 因 此 ?ABC ?

?
3

,所以

AB=BC,S

ABCD

? AB ? BC ? 2 2 sin

?
3

? 3。 该题由 AB ? DC ? (1,1) 考查向量相等的概念

和求摸以及几何意义,由

1 1 3 ? BA ? ? BC ? ? BD 考查向量的加法的几何意义,该 | BA | | BC | | BD |

题还考查正弦定理面积公式以及转化能力,是难题。 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? cos( 2 x ? (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,且 a ? 1, b ? c ? 2, f ( A) ? ? 的面积. 【答案】解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? cos( 2 x ?

?
3

) ? 1 ? 2 cos 2 x ,

1 ,求 ?ABC 2

?

1 3 ) ? 1 ? 2 cos 2 x = cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x 3 2 2

=?

1 3 cos2 x ? sin 2 x 2 2 ---------------------------------1 分

= ? sin( 2 x ?

?
6

)????(3 分)

所以函数 f ? x ? 的单调递减区间是[ k ? ?

? ? , k ? ? ]( k ? Z )?????(5 分) 3 6

( Ⅱ ) 因为 f ( x) ? ?

1 ? ? 13? ? 1 ,所以 sin(2A ? )? 又 0 ? A ? ? ,所以 ? 2 A ? ? ,从而 6 2, 2 6 6 6

2A ?

? 5? ? ? , 故A ? ????(7 分) 6 6 3

在 ?ABC 中,∵ a ? 1 , b ? c ? 2 , A ? 分) 从而 S△ABC=

?

3

∴1=b +c -2bccosA,即 1=4-3bc.故 bc=1???(10

2

2

1 3 bc sin A ? . ????(12 分) 2 4

17. 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个,若从袋子中随机抽取一个小球,取到标号为 2 的小球的概率是

1 2

(1)求 n 的值; (2)从袋子中不放回的随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a ,第二次取出的小球标

“a ? b ? 2” 为事件 A ,求事件 A 的概率,②在区间 [0,2] 内任取两个实数 x, y , 号为 b 。①记
求事件 “x ? y ? (a ? b) 恒成立”的概率
2 2 2

解: (1)依题意

n 1 ? ,得 n ? 2 。------------------------2 分 n?2 2

(2)①记标号为 0 的小球为 s,标号为 1 的小球为 t,标号为 2 的小球为 k,h,则取出 2 个小球 的 可 能 情 况 有 : ( s,t ) ,(s,k),(s,h),(t,s),(t,h),((t,h),(k,s),(k,t),(k,h),(k,h),(h,s),(h,t),(h,k), 共 12 种情况,-------------------------4 分 其中 A 包括 4 中情况-----------------------5 分 所以所求概率为 P ( A) ?
2 2

4 1 ? 。-----------------6 分 12 3
2 2 2

②记 “x ? y ? (a ? b) 恒成立”为事件 B,则事件 B 等价于 “x ? y ? 4 恒成 立” ,---------------------------------8 分

( x, y ) 可 以 看 成 平 面 中 的 点 的 坐 标 , 则 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 为
2 2 ? ? {( x, y) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2} , 而事件 B 构成的区域 B ? {( x, y) | x ? y ? 4, ( x, y) ? ?} } ,

----------------------------11 分(不画图像扣 1 分) 所以所求的概率为 P ( B ) ? 1 ?

?
4

。----------------12 分

18. 已知矩形 ABCD 所在的平面和梯形 ABEF 所在的平面互相垂直, AB // FE , G 、 H 分别为

AB 、 CF 的中点, AB ? 2 , AD ? EF ? 1 , ?AFB ?

?
2



(1)求证: GH // 平面 DAF (2) AF ? 平面 BFC (3)求平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成两个锥体 F ? ABCD 与 F ? BCE 的体积之比。

证明: (1)取 DF 中点 M,因为 H 是 CF 的中点,所以 MH//CD,MH= 又矩形 ABCD ,G 是中点,MG//CD,MG=

1 CD -----1 分 2

1 CD ,所以 MH//AG,MH=AG 2

所以四边形 AMHG 是平行四边形,-------3 分 所以 AM//GH,GH 不在平面 ADF 内,AM ? 平面 ADF。所 以 GH // 平面 DAF ----------------4 分 法二:也可用面面平行,来证线面平行。可类似给分。 (2)已知矩形 ABCD 所在的平面和梯形 ABEF 所在的平 面互相垂直,AB=平面 ABCD ? 平面 ABEF,BC ? AB, ----------------------------------------------6 分 所以 BC ? 平面 ABEF,AF ? 平面 ABEF,所以 BC ? AF, 又因为 AF ? BF , FB ? BC ? B ,所以 AF ? 平面 BFC 。-----------------8 分 (3)VF-ABCD=2 VF ? ABD =2 VD ? AFB ,----------------------------------9 分 VF-CBE= VC ? EFB ,易知 S ?AFB ? 2S EFB ,所以 VD ? AFB =2 VC ? EFB ,--------11 分 所以:VF-ABCD:VF-CBE=4:1-----------------------------------12 分

19、已知数列 ?an ? (n ? N * ) 的前 n 项和为 Sn ,数列 ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ? Sn ? ? 是首项为 0 ,公差为 的等差数列. 2 ?n?

4 a ? ? ?2 ? n (n ? N * ) ,对任意的正整数 k ,将集合 ?b2k ?1, b2k , b2k ?1? 中的三个元素排 15

成一个递增的等差数列,其公差为 dk ,求:数列 ?dk ? 的通项公式 (3)求(2)中 ?dk ? 的前 n 项和. 解:(1)由条件得

Sn 1 n ? 0 ? (n ? 1) ,即 Sn ? (n ? 1) , -------------2 分 n 2 2
------------------3 分

所以, an ? n ?1(n ? N * ) (2) 由(1)可知 bn ?

4 ? (?2) n ?1 (n ? N * ) 15 4 4 4 4 (?2) 2 k ? 2 ? ? 22 k ? 2 , b2 k ? (?2) 2 k ?1 ? ? ? 22 k ?1 , 所以, b2 k ?1 ? 15 15 15 15 4 4 b2 k ?1 ? (?2) 2 k ? ? 22 k , --------------------------8 分 15 15
由 2b2k ?1 ? b2k ? b2k ?1 及 b2k ? b2k ?1 ? b2k ?1 得 --------------------9 分

b2k , b2k ?1 , b2k ?1 依次成递增的等差数列,
所以 d k ? b2 k ?1 ? b2 k ?1 ?

4 2 k 4 2 k ? 2 4k ?2 ? ?2 ? ,--------------11 分 15 15 5

(3) 由(2)的数列 ?dk ? 为等比数列,

? Tn ?

4 n ( 4 ? 1) ------------------------------12 分 15 1 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,短轴的一个端点与两焦点构成的三角形 2 2 a b

20、设椭圆 C:

的面积为 3 , O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A, B 两点,证明:点 O 到直线 AB 的 距离为定值,并求弦 AB 长度的最小值。

c 1 ? ? ? a 2 解: (1) ? ,-------------------------1 分 1 ? ? 2c ? b ? 3 ?2
解得 a ? 2, b ? 3 -------------------------2 分

所以椭圆 C 的方程为: 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

x2 y2 ? ? 1 -----------------3 分 4 3

当直线 AB 的斜率不存在时, AB 的方程 x ? ? ------------4 分

2 21 2 21 ,则 O 到直线 AB 的距离为 。 7 7

当直线 AB 斜率存在时,可设直线 AB 的方程 y ? kx ? m

? x2 y2 ? ? ? 1 ? 4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx? (4m 2 ? 12) ? 0 则? 4 3 ? ? y ? kx ? m

?

?

x1 ? x 2 ?

? 8km 4m 2 ? 12 x x ? , 。------------------------------5 分 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

因为 OA ? OB,? x1 x2 ? y 2 y1 ? 0 ,

? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0
所以 (k ? 1)
2

-------------------------------------6 分

4m 2 ? 12 8k 2 m 2 ? ? m 2 ? 0 ,整理得 7m 2 ? 12(k 2 ? 1) ---------------8 分 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k
|m| 1? k 2 |m| 1? k
2

所以 O 到直线 AB 的距离 d ?

?

2 21 ,为定值 7 2 21 ,为定值----------------------------11 分 7

综上 O 到直线 AB 的距离 d ? 因为 OA ? OB,

?

d ? AB ? OA ? OB ?

OA2 ? OB 2 AB 2 4 21 ? ,所以 AB ? 2 d ? ,故当 OA ? OB ,弦 AB 长的 2 2 7

最小值为

4 21 。------------------------------------------------------13 分 7

(? ? 法二:因为 OA ? OB, 可设 A(r1 cos? , r1 sin ? ) , B(r2 cos


?

2

) , r2 sin (? ?

?

2

)) ,------2 分

即 B(-r2 sin ? , r2 cos? ) , 因 为 ?AOB 为 直 角 三 角 形 , 设 O 到 直 线 AB 的 距 离 为 d , 则

d ? AB ? OA ? OB , AB2 ? OA ? OB ,--------------------------------4 分


1 1 1 ? ? ,--------------------------------------------6 分 2 2 d OA OB 2
2 2

r1 cos2 ? r2 sin 2 ? 把 A,B 坐标代入椭圆方程得 ? ?1 4 3

cos2 ? sin 2 ? 1 sin 2 ? cos2 ? 1 得 ? ? 2 ,同理 ? ? 2 ,------------------8 分 4 3 4 3 r1 r2
两式相加得

1 r1
2

?

1 r2
2

?

1 1 7 ? ? -------------------------------------------9 分 3 4 12

所以

1 1 1 1 1 1 1 7 2 21 ? ? = 2 ? 2 ? ? ? ,所以 d ? ,为定值。-------11 分 2 2 2 d OA OB 7 3 4 12 r1 r2

d ? AB ? OA ? OB ?
最小值为

OA2 ? OB 2 AB 2 4 21 ? ,所以 AB ? 2 d ? ,故当 OA ? OB ,弦 AB 长的 2 2 7

4 21 。------------------------------------------------------13 分 7
2

21、已知 f ( x) ? x ln x, g ( x) ? ? x ? ax ? 3 . (I)求函数 f ( x) 的最小值; (II)对一切 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (III)证明:对一切 x ? (0,??) ,都有 ln x ?

1 2 ? 成立. x ex e

21. 解: (1) f ( x) 定义域为 (0,??) , f ' ( x) ? ln x ? 1 ,

1 1 x ? (0, ), f ' ( x) ? 0, f ( x) x ? ( ,?? ) e e 当 单调递减,当 ,

f ' ( x) ? 0, f ( x) 单调递增. ?????????????????????????2 分

1 ? 1 当 x ? 时, f ( x) ? x ln x( x ? (0,??)) 取最小值是 e 。-------------------3 分 e
(2) x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,等价于 2 x ln x ? ? x ? ax - 3 ,即--------4 分
2

3 对 x ? (0,??) 恒成立。-----------------------------5 分 x 3 ( x ? 3)( x ? 1) 设 h( x) ? 2 ln x ? x ? ( x ? 0) ,则 h' ( x) ? , x x2 a ? 2 ln x ? x ?
x ? (0,1), h' ( x) ? 0, h( x) 单调递减, x ? (1,??), h' ( x) ? 0, h( x) 单调递增,????? 8 分

h( x) 在 (0,??) 上,有唯一极小值 h(1) ,即为最小值.
所以 h( x) min ? h(1) ? 4 ,因为对一切 x ? (0,??),2 f ( x) ? g ( x) 恒成成立, 所以 a ? h( x) min ? 4 ; (3)问题等价于证明 x ln x ? ???????????10 分

x 2 ? ( x ? (0,?? )) , ex e 1 1 ,当且仅当 x ? 时取到, e e

由(1)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0,??)) 的最小值是 ?

x 2 1? x ? ( x ? (0,?? )) ,则 m' ( x) ? x , x e e e 1 易得 m( x) max ? m(1) ? ? ,当且仅当 x ? 1 时取到, e 1 2 从而对一切 x ? (0,??) ,都有 ln x ? x ? 成立. e ex
设 m( x ) ?

????????????13 分 ????????14 分


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