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北京市海淀区2015届高三期末练习(二模)数学文试题及答案(扫描版)


海淀区高三年级第二学期期末练习

数学(文)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)D (2)D (6)C (3)A (7)B

2015.5

(4)C (8)C

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9) y 2 ? ?4 x (10)1 (11)

? ?1 2

? ? ?? , ? ? 2 (12) ? ?? ? ? ? . ? ? 4

(13) ?3 , y ? ?27e

?3

(14)假,由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是 212+374=586,这与④矛盾

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分)

π π π 1 1 3 ? cos ? 4 ? ? ? . 6 6 3 2 2 2 (Ⅱ )因为 f ( x) ? 4sin x ? cos 2 x
解:(Ⅰ ) f ( ) ? 4sin

??????4 分

??????6 分 ? 4sin x ? (1 ? 2sin 2 x) 2 ? 2sin x ? 4sin x ? 1 ??????8 分 ? 2(sin x ? 1)2 ? 3 . 因为 ?1 ? sin x ? 1 , ? 所以 当 sin x ? ?1 ,即 x ? 2k ? ? , k ? Z 时, f ( x ) 取得最小值 ?3 . 2 ??????13 分

(16)(共 13 分) 解.(Ⅰ) 20 名女生掷实心球得分如下:5,6,7,7,7,7,7,7,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9, 10,10.所以中位数为 8,众数为 9. ??????4 分

(Ⅱ) 由题意可知,掷距离低于 7.0 米的男生的得分如下:4,4,4,6,6,6.这 6 名男生分别记为

A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 .从这 6 名男生中随机抽取 2 名男生,所有可能的结果有 15 种,它们是: ( A1, A2 ),( A1, A3 ),( A1, B1 ),( A1, B2 ),( A1, B3 ),( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , B3 ) ,

( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , B3 ),( B1, B2 ),( B1, B3 ),( B2 , B3 ) .

??????6 分

用 C 表示“抽取的 2 名男生得分均为 4 分”这一事件,则 C 中的结果有 3 个,它们是:

( A1 , A2 ),( A1, A3 ),( A2 , A3 ) .
所以,所求得概率 P (C ) ? (Ⅲ)略.

??????8 分

3 1 ? . 15 5

??????9 分 ??????13 分

评分建议:从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行 合理的说明即可;也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比;或根据目前情况对学生今后在 该项目的训练提出合理建议.

(17)(共 14 分) (Ⅰ)解:四棱准 P ? ABCD 的正视图如图所示.

??????3 分 (Ⅱ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? AD . ??????5 分 因为 AD ? DC , PD CD ? D , PD ? 平面 PCD , CD ? 平面 PCD , 所以 AD ? 平面 PCD . 因为 AD ? 平面 PAD , 所以 平面 PAD ? 平面 PCD . ??????7 分 ??????8 分

(Ⅲ)分别延长 CD, BA 交于点 O ,连接 PO ,在棱 PB 上取一点 E ,使得 面 PCD .

PE 1 ? .下证 AE / / 平 EB 2
??????10 分

因为 AD / / BC , BC ? 3 AD ,

OA AD 1 OA 1 ? ? ,即 ? . AB 2 OB BC 3 OA PE ? 所以 . AB EB 所以 AE //OP . ??????12 分 因为 OP ? 平面 PCD , AE ? 平面 PCD ,
所以 所以 AE / / 平面 PCD . ??????14 分

P

E

O D C A B

(18)(共 13 分) 解:(Ⅰ)因为数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列, 所以 an ? 2 ? 2
n?1

? 2n .
n

??????2 分 ??????3 分 ??????6 分

所以 bn ? 2log2 an ? 2log2 2 ? 2n . 所以 S n ? 2 ? 4 ? (Ⅱ)令 cn ?

+2n ?

n(2 ? 2n) ? n2 ? n . 2

Sn n2 ? n n(n ? 1) . ? ? an 2n 2n
Sn?1 Sn (n ? 1)(n ? 2) n(n ? 1) (n ? 1)(2 ? n) . ??????9 分 ? ? ? ? an?1 an 2n?1 2n 2n ?1

则 cn ?1 ? cn ?

所以 当 n ? 1 时, c1 ? c2 ; 当 n ? 2 时, c3 ? c2 ; 当 n ? 3 时, cn?1 ? cn ? 0 ,即 c3 ? c4 ? c5 ? 所以 数列 {cn } 中最大项为 c 2 和 c3 . 所以 存在 k ? 2 或 3 ,使得对任意的正整数 n ,都有 (19)(共 13 分) 解:(Ⅰ) f '( x) ? .

Sk Sn ? . ak an

??????13 分

a a?x ?1 ? , x ? 0. x x

??????2 分

当 a ? 0 时,对 ?x ? (0, ??) , f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ??) ; ??????4 分

当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? a . 因为 x ? (0, a) 时, f '( x) ? 0 ; x ? (a, ??) 时, f '( x) ? 0 . 所以 f ( x) 的单调递增区间为 (0, a ) ,单调递减区间为 ( a, ??) . ??????6 分

(Ⅱ)用 f ( x)max , f ( x)min 分别表示函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最大值,最小值. 当 a ? 1 ,且 a ? 0 时,由(Ⅰ)知:在 [1, e] 上, f ( x) 是减函数. 所以 f ( x)max ? f (1) ? 1. 因为 对任意的 x1 ? [1, e] , x2 ? [1, e] , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (1) ? 2 ? 4 , 所以对任意的 x1 ? [1, e] ,不存在 x2 ? [1, e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 . ??????8 分

当 1 ? a ? e 时,由(Ⅰ)知:在 [1, a ] 上, f ( x) 是增函数,在 [a, e] 上, f ( x) 是减函数. 所以 f ( x)max ? f (a) ? a ln a ? a ? 2 . 因为 对 x1 ? 1 , ?x2 ?[1,e] ,

f (1) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (a) ? 1 ? a ln a ? a ? 2 ? a(ln a ?1) ? 3 ? 3 ,
所以 对 x1 ? 1?[1,e] ,不存在 x2 ? [1, e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 . 当 a ? e 时,令 g ( x) ? 4 ? f ( x)( x ?[1,e]) . 由(Ⅰ)知:在 [1, e] 上, f ( x) 是增函数,进而知 g ( x) 是减函数. 所以 f ( x)min ? f (1) ? 1 , f ( x)max ? f (e) ? a ? e ? 2 , ??????10 分

g ( x)max ? g (1) ? 4 ? f (1) , g ( x)min ? g (e) ? 4 ? f (e) .
因为 对任意的 x1 ? [1, e] ,总存在 x2 ? [1, e] ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ,即 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , 所以 ?

? f (1) ? g (e), ? f (1) ? f (e) ? 4, 即? ? f (e) ? g (1), ? f (e) ? f (1) ? 4.
??????13 分

所以 f (1) ? f (e) ? a ? e ? 3 ? 4 ,解得 a ? e ? 1 . 综上所述,实数 a 的值为 e ? 1 . (20)(共 14 分)

(1, 0) (Ⅰ)解:点 M 是椭圆 C 的“ 1 分点”,理由如下:
当直线 l 的方程为 x ? 1 时,由

??????1 分

3 3 1 ? y 2 ? 1 可得 A(1, ), B(1, ? ) .(不妨假设点 A 在 x 轴的上方) 4 2 2

所以 S?AOB =

1 3 1 3 3 , S?AOD = ? 2 ? . ?1? 3= = 2 2 2 2 2
??????4 分

(1, 0) 所以 S?AOB ? S?AOD ,即点 M 是椭圆 C 的“1 分点”.

(Ⅱ)证明:假设点 M 为椭圆 C 的“ 2 分点”,则存在过点 M 的直线 l 与椭圆 C 交于 A, B 两点, 使得 S?AOB ? 2S?AOD . 显然直线 l 不与 y 轴垂直,设 l : x ? my ? 1, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 ? ? y 2 ? 1, 2 2 由? 4 得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 . ? x ? my ? 1 ?
所以 y1 ? y2 ?

?2 m , ① m2 ? 4

y1 y2 ?

?3 . ② m ?4
2

??????6 分

因为 S?AOB ? 2S?AOD , 所以

1 1 (| y1 | ? | y2 |) ? 2 ? ? 2 | y1 | ,即 | y2 |? 3| y1 | . 2 2

??????8 分

由②可知 y1 y2 ? 0 ,所以 y2 ? ?3y1 . ③

m , ④ m ?4 1 2 将③代入②中得 y1 ? 2 , ⑤ m ?4
将③代入①中得 y1 ?
2

将④代入⑤中得

m2 ? 1 ,无解. m2 ? 4
??????10 分 ??????14 分

(1, 0) 所以 点 M 不是椭圆 C 的“ 2 分点”.
(Ⅲ) x0 的取值范围为 (?2, ?1)

(1, 2) .


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