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山东省莱芜一中2015届高三上学期期末考试数学(理)试卷(a卷)


2014-2015 学年山东省莱芜一中高三 (上) 期末数学试卷 (理科) (A 卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是正确的. 1.复数 =( ) D.1
2

A.﹣i B.﹣1 C.i

2.已知全集 U=R,集合 A={x|x ﹣2x<0},B={x|x﹣1≥0},那么 A∩? UB=( A.{x|0<x<1} B.{x|x<0} C.{x|x>2} D.{x|1<x<2} 3.下列函数中,在(0,+∞)内单调递减,并且是偶函数的是( A.y=x B.y=x+1
2





C.y=﹣lg|x|

D.y=2

x

4.数列{an}中,已知 S1=1,S2=2,且 Sn+1+2Sn﹣1=3Sn, (n≥2 且 n∈N ) ,则此数列为( A.等差数列 B.等比数列 C.从第二项起为等差数列 D.从第二项起为等比数列 5.对于任意 x∈R,同时满足条件 f(x)=f(﹣x)和 f(x﹣π)=f(x)的函数是( A.f(x)=sinx B.f(x)=sinxcosx C.f(x)=cosx D.f(x)=cos x﹣sin x 6.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )
2 2

*





A.

B.

C.3

D.

7.在空间给出下面四个命题(其中 m、n 为不同的两条直线,α、β为不同的两个平面) ①m⊥α,n∥α? m⊥n ②m∥n,n∥α? m∥α ③m∥n,n⊥β,m∥α? α⊥β ④m∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β? α∥β 其中正确的命题个数有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 8.如图,设区域 D={(x,y)|0≤x≤2,﹣1≤y≤3},向区域 D 内任投一点,记此点落在 阴影区域 M={(x,y)|0≤x≤2,﹣1≤y≤x ﹣1}的概率为 p,则 a=p 是函数 y=ax +2x+1 有 两个零点的( )
2 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件

9.若 x,y 满足

且 z=y﹣x 的最小值为﹣4,则 k 的值为(



A.2

B.﹣2 C.

D.﹣

10. 抛物线 y =2px (p>0) 的焦点为 F, A、 B 为抛物线上的两个动点, 且满足∠AFB=60°. 过 弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 A. B. C.1 D.2 的最大值为( )

2

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共计 25 分. 11.在(x ﹣ ) 的展开式中,x 的系数为
2 5



12.直线 y=x+1 被圆 x ﹣2x+y ﹣3=0 所截得的弦长为

2

2

. ,则

13.设 O 是△ABC 的重心,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,已知 b=2,c= = .

14.已知四面体 S﹣ABC 中,SA=SB=2,且 SA⊥SB,BC= 的表面积为 .

,AC=

,则该四面体的外接球

15. 已知偶函数 f (x) 满足 f (x﹣1) =f (x+1) 且当 x∈[0, 1], f (x) =x , 若f ( x) =|loga|x|| 在[﹣2,3]上有 5 个根,求 a 的取值范围 .

2

三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16.已知向量 =(2cosx,﹣cos(x+ ) ) , =(cosx,2sin(x+ ) ) ,记 f(x)= ? .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 的值. 17.已知在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面 ABC 为正三角形,A1 在底面 ABC 上的射影是棱 BC 的 中点 O,OE⊥AA1 于 E 点. (1)证明:OE⊥平面 BB1C1C; (2)若 AA1= AB,求 AC 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值. ,a=2,b= ,求 sinC

18.从某批次的灯泡中随机地抽取 200 个样品,对其使用寿命进行实验检测,将结果列成频 率分布表如下.根据寿命将灯泡分成一等品、合格品和次品三个等级,其中寿命大于或等于 500 天的灯泡是一等品,寿命小于 300 天的灯泡是次品,其余的灯泡是合格品. 寿命(天) [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600) 合计 200 频数 20 30 b 30 50 1
*

频率 a 0.15 0.35 0.15 0.25

(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出 a,b 的值; (Ⅱ)从灯泡样品中随机地取 n(n∈N )个,如果这 n 个灯泡的等级分布情况恰好与从这 200 个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同,求 n 的最小值; (Ⅲ)从这个批次的灯泡中随机地取 3 个进行使用,若将上述频率作为概率,用ξ表示 3 个灯泡中次品的个数,求ξ的分布列和数学期望.

19.已知函数 y=3x+

的图象上有一点列 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,…,Pn(xn,yn) ,其中 .

数列{xn}为等差数列,满足 x2=﹣ ,x5=﹣

(Ⅰ)求点 Pn 的坐标; (Ⅱ)若抛物线列 C1,C2,…,Cn 分别以点 P1,P2,…,Pn 为顶点,且任意一条的对称轴均 2 平行于 y 轴,Cn 与 y 轴的交点为 An(0,n +1) ,记与抛物线 Cn 相切于点 An 的直线的斜率为 kn,求数列 前 n 项的和 Sn.

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)经过点

,且离心率为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过椭圆 C 左焦点的直线交椭圆于 M、N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P (0,m) ,求 m 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=ax ﹣4ln(x﹣1) . (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对一切 x∈[2,e+1],f(x)≤4 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

2014-2015 学年山东省莱芜一中高三 (上) 期末数学试卷 (理科) (A 卷)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是正确的. 1.复数 A.﹣i 考点: 专题: 分析: 选项. =( )

B.﹣1 C.i D.1 复数代数形式的乘除运算. 计算题. 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为 a+bi(a,b∈R)的形式即可得到

解答: 解:复数

=

=

=i.

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查复数代数形式的乘除运算,注意共轭复数的应用,考查计算能 力. 2.已知全集 U=R,集合 A={x|x ﹣2x<0},B={x|x﹣1≥0},那么 A∩? UB=( ) A.{x|0<x<1} B.{x|x<0} C.{x|x>2} D.{x|1<x<2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 分别求出 A 与 B 中不等式的解集,确定出 A 与 B,找出 A 与 B 补集的交集即可. 解答: 解:由 A 中的不等式变形得:x(x﹣2)<0, 解得:0<x<2,即 A={x|0<x<2}, 由 B 中的不等式解得:x≥1,即 B={x|x≥1}, ∵全集 U=R, ∴? UB={x|x<1}, 则 A∩(? UB)={x|0<x<1}. 故选:A. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3.下列函数中,在(0,+∞)内单调递减,并且是偶函数的是( A.y=x 考点: 专题: 分析:
2 2



B.y=x+1 C.y=﹣lg|x| D.y=2 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 函数的性质及应用. 分别根据函数单调性和奇偶性的性质进行判断即可.
2

x

解答: 解:A.y=x 在(0,+∞)内单调递增,是偶函数,不满足条件,故 A 不选; B.y=x+1 在(0,+∞)内单调递增,不是偶函数,不满足条件,故 B 不选; C.y=﹣lg|x|在(0,+∞)内单调递减,是偶函数,满足条件,故 C 选;

D.y=2 在(0,+∞)内单调递增,不是偶函数,不满足条件,故 D 不选, 故选:C. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调 性的性质,比较基础. 4.数列{an}中,已知 S1=1,S2=2,且 Sn+1+2Sn﹣1=3Sn, (n≥2 且 n∈N ) ,则此数列为( A.等差数列 B.等比数列 C.从第二项起为等差数列 D.从第二项起为等比数列 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.
* *

x



分析: 由已知得 a1=1, a2=1, (Sn+1﹣Sn) ﹣2 (Sn﹣Sn﹣1) =0 (n∈N , 且 n≥2) , 从而 an+1=2an * (n∈N ,且 n≥2) ,由此能推导出数列{an}从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列. 解答: 解:由 S1=1 得 a1=1,又由 S2=2,得 1+a2=2,解得 a2=1. * ∵Sn+1﹣3Sn+2Sn﹣1=0(n∈N ,且 n≥2) , * ∵Sn+1+2Sn﹣1=3Sn, (n≥2 且 n∈N ) , * ∴(Sn+1﹣Sn)﹣2(Sn﹣Sn﹣1)=0(n∈N ,且 n≥2) , * ∴an+1=2an(n∈N ,且 n≥2) , n=1 时,上式不成立. 故数列{an}从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列. 故选:D. 点评: 本题考查等差数列和等比数列的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数 列和等比数列的性质的合理运用. 5.对于任意 x∈R,同时满足条件 f(x)=f(﹣x)和 f(x﹣π)=f(x)的函数是( A.f(x)=sinx B.f(x)=sinxcosx
2 2



C.f(x)=cosx D.f(x)=cos x﹣sin x 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: 直接利用已知条件,判断函数的奇偶性,以及函数的周期性,然后判断选项即可. 解答: 解:对于任意 x∈R,满足条件 f(x)=f(﹣x) ,说明函数是偶函数,满足 f(x﹣ π)=f(x)的函数是周期为π的函数. 对于 A,不是偶函数,不正确; 对于 B,也不是偶函数,不正确; 对于 C,是偶函数,但是周期不是π,不正确; 对于 D,f(x)=cos x﹣sin x=cos2x,是偶函数,周期为:π,正确. 故选:D. 点评: 本题考查抽象函数的奇偶性函数的周期性的应用,基本知识的考查. 6.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )
2 2

A.

B.

C.3

D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 根据所给数值执行循环语句,然后判定是否满足判断框中的条件,一旦满足条件就 退出循环,输出结果. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 i=0,A=3 i=1,A= 不满足条件 i>2015,i=2,A= 不满足条件 i>2015,i=3,A=3 不满足条件 i>2015,i=4,A= … 不满足条件 i>2015,i=2015=3×671+2,A= 不满足条件 i>2015,i=2016=3×672,A=3 满足条件 i>2015,退出循环,输出 A 的值为 3. 故选:C. 点评: 本题主要考查了循环结构,是直到型循环,先执行循环,直到满足条件退出循环, 属于基础题. 7.在空间给出下面四个命题(其中 m、n 为不同的两条直线,α、β为不同的两个平面) ①m⊥α,n∥α? m⊥n ②m∥n,n∥α? m∥α ③m∥n,n⊥β,m∥α? α⊥β ④m∩n=A,m∥α,m∥β,n∥α,n∥β? α∥β 其中正确的命题个数有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 考点: 命题的真假判断与应用;平面与平面之间的位置关系. 专题: 综合题. 分析: 根据线面垂直、线面平行的性质,可判断①;由 m∥n,n∥α? m∥α或 m? α可判 断②; ③根据两平行线中的一个垂直于平面, 则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判断 ③ ④由已知可得平面α,β都与直线 m,n 确定的平面平行,则可得α∥β,可判断④ 解答: 解:①由线面垂直及线面平行的性质,可知 m⊥α,n⊥α得 m∥n,故①正确; ②m∥n,n∥α? m∥α或 m? α,故②错误 ③根据线面垂直的性质;两平行线中的一个垂直于平面,则另一个也垂直于平面可知:若 m ∥n,n⊥β,则 m⊥β,又 m∥α? α⊥β,故③正确 ④由 m∩n=A,m∥α,n∥α,m∥β,n∥β可得平面α,β都与直线 m,n 确定的平面平行, 则可得α∥β,故④正确 综上知,正确的有①③④ 故选 C 点评: 本题的考点是间中直线一直线之间的位置关系, 考查了线线平行与线线垂直的条件, 解题的关键是理解题意,有着较强的空间想像能力,推理判断的能力,是高考中常见题型, 其特点是涉及到的知识点多,知识容量大. 8.如图,设区域 D={(x,y)|0≤x≤2,﹣1≤y≤3},向区域 D 内任投一点,记此点落在 阴影区域 M={(x,y)|0≤x≤2,﹣1≤y≤x ﹣1}的概率为 p,则 a=p 是函数 y=ax +2x+1 有 两个零点的( )
2 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;几何概型. 专题: 概率与统计;简易逻辑. 分析: 先根据几何概型的意义,关键是要找出阴影部分的面积,及矩形的面积,再将它们 代入几何概型计算公式计算出概率,再根据函数零点的定义求出 a 的范围,继而得到答案 解答:解: 阴影部分面积 S 阴影=S 矩形﹣S= (3+1) ×2﹣ ﹣ = , dy=8﹣ | =8

矩形部分面积 S 矩形=(3+1)×2=8, ∴所投的点落在阴影部分的概率 P= =

∵函数 y=ax +2x+1 有两个零点, ∴△=4+4a>0,解得 a>﹣1, ∴a=p 是函数 y=ax +2x+1 有两个零点的充分不必要条件 故选:A 点评: 本题考查了几何概型的概率估算公式中的“几何度量” ,可以为线段长度、面积、体 积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关以及充分条件的判断, 属于中档题
2

2

9.若 x,y 满足

且 z=y﹣x 的最小值为﹣4,则 k 的值为(



A.2

B.﹣2 C.

D.﹣

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合;不等式的解法及应用. 分析: 对不等式组中的 kx﹣y+2≥0 讨论,当 k≥0 时,可行域内没有使目标函数 z=y﹣x 取得最小值的最优解,k<0 时,若直线 kx﹣y+2=0 与 x 轴的交点在 x+y﹣2=0 与 x 轴的交点 的左边,z=y﹣x 的最小值为﹣2,不合题意,由此结合约束条件作出可行域,化目标函数为 直线方程的斜截式, 由图得到最优解, 联立方程组求出最优解的坐标, 代入目标函数得答案. 解答: 解:对不等式组中的 kx﹣y+2≥0 讨论,可知直线 kx﹣y+2=0 与 x 轴的交点在 x+y﹣ 2=0 与 x 轴的交点的右边,

故由约束条件

作出可行域如图,

由 kx﹣y+2=0,得 x= ∴B(﹣ ) .



由 z=y﹣x 得 y=x+z. 由图可知,当直线 y=x+z 过 B(﹣ 此时 ,解得:k=﹣ . )时直线在 y 轴上的截距最小,即 z 最小.

故选:D. 点评: 本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题. 10. 抛物线 y =2px (p>0) 的焦点为 F, A、 B 为抛物线上的两个动点, 且满足∠AFB=60°. 过 弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 A. B. C.1 D.2 的最大值为( )
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 不等式的解法及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设|AF|=a, |BF|=b, 连接 AF、 BF. 由抛物线定义得 2|MN|=a+b, 由余弦定理可得|AB| = 2 (a+b) ﹣3ab,进而根据基本不等式,求得|AB|的取值范围,从而得到本题答案. 解答: 解:设|AF|=a,|BF|=b, 由抛物线定义,得 AF|=|AQ|,|BF|=|BP| 在梯形 ABPQ 中,∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b. 由余弦定理得, |AB| =a +b ﹣2abcos60°=a +b ﹣ab 2 2 配方得,|AB| =(a+b) ﹣3ab, 又∵ab≤(
2 2 2 2 2 2 2

) ,
2 2 2

2

∴(a+b) ﹣3ab≥(a+b) ﹣ (a+b) = (a+b) 得到|AB|≥ (a+b) . ∴ ≤1,即 的最大值为 1.

故选 C.

点评: 本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用 等知识,属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共计 25 分. 11.在(x ﹣ ) 的展开式中,x 的系数为 ﹣10 .
2 5

考点: 二项式定理的应用. 专题: 二项式定理. 分析:根据题意,可得(x ﹣ ) 的通项为 Tr+1,令 x 的幂指数等于 1,可得 r=3,将 r=3 代入通项可得 x 的系数. 解答: 解:根据二项式定理(x ﹣ ) 的通项为 Tr+1=C5 ?(x) =(﹣1) C5 ?(x) , 令 10﹣3r=1,可得 r=3, 将 r=3 代入通项公式,可得含 x 项的系数为: (﹣1) C5 =﹣10, 故答案为:﹣10. 点评: 本题考查二项式定理的运用,注意二项式系数与某一项的系数的区别. 12.直线 y=x+1 被圆 x ﹣2x+y ﹣3=0 所截得的弦长为 2
2 2 3 3 r r 10﹣3r 2 5 r 10﹣2r 2 5

?(﹣



r



考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程求出圆心和半径,求出圆心到直线 y=x+1 的距离 d 的值,再根据弦长公 式求得弦长. 解答: 解:圆 x ﹣2x+y ﹣3=0 即 (x﹣1) +y =4,表示以 C(1,0)为圆心,半径等于 2 的圆. 由于圆心到直线 y=x+1 的距离为 d= 故弦长为 2 =2 =2 , = ,
2 2 2 2

故答案为 2 . 点评: 本题主要考查直线和圆相交的性质,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于 中档题.

13.设 O 是△ABC 的重心,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,已知 b=2,c= ﹣1 . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用重心的性质和向量的运算法则可得可得 性质即可得出. 解答: 解:设 D 为边 BC 的中点,如图所示,则 根据重心的性质可得 = = × ( + ) = ( ) , = ( +

,则

=

) ,再利用数量积的运算

= ( 则 =

+

) . =( ) ?
2



+

)= (





[2 ﹣(

2

) ]=﹣1.

故答案为:﹣1.

点评: 熟练掌握重心的性质和向量的运算法则、数量积的运算性质是解题的关键. 14. (5 分) (2014 秋? 莱城区校级期末) 已知四面体 S﹣ABC 中, SA=SB=2, 且 SA⊥SB, BC= AC= ,则该四面体的外接球的表面积为 8π . ,

考点: 球的体积和表面积;棱锥的结构特征. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;球. 分析: 由勾股定理可得 AB,再由勾股定理的逆定理,可得 AC⊥BC,取 AB 的中点 O,连接 OS,OC,则有直角三角形的斜边的中线即为斜边的一半,可得球的半径,再由球的表面积公 式即可计算得到. 解答: 解:由于 SA=SB=2,且 SA⊥SB,BC= ,AC= , 则 AB= SA=2 , 由 AB =AC +BC , 则 AC⊥BC, 取 AB 的中点 O,连接 OS,OC, 则 OA=OB=OC=OS= , 则该四面体的外接球的球心为 O,则球的表面积为 S=4πr =4π×( 故答案为:8π.
2 2 2 2

) =8π.

2

点评: 本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的斜边的中线即为斜边的一半,考查球的 表面积的计算,求得球的半径是解题的关键. 15. 已知偶函数 f (x) 满足 f (x﹣1) =f (x+1) 且当 x∈[0, 1], f (x) =x , 若f ( x) =|loga|x|| 在[﹣2,3]上有 5 个根,求 a 的取值范围 a≥3 .
2

考点: 函数奇偶性的性质;根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 易得函数 f(x)是一个周期函数,且 T=2,作出函数的图象,数形结合可得. 解答: 解:∵偶函数 f(x)满足 f(x﹣1)=f(x+1) , ∴函数 f(x)是一个周期函数,且 T=2. 又∵当 x∈[0,1],f(x)=x , 作出函数 f(x)和 y=|loga|x||在[﹣2,3]上的图象, 数形结合可得|loga3|≤1 即可,解得 a≥3 故答案为:a≥3
2

点评: 本题考查函数的奇偶性和周期性,数形结合是解决问题的关键,属中档题. 三、解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16.已知向量 =(2cosx,﹣cos(x+ ) ) , =(cosx,2sin(x+ ) ) ,记 f(x)= ? .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间; (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 的值. 考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为 f(x)=1﹣sin(2x+ 求 T,由﹣ ≤2x+ ≤ ,k∈Z,可解得单调递减区间. )=1,可解得 A,cosA,由正弦定理可得 sinB,cosB,从 ) ,可 ,a=2,b= ,求 sinC

(Ⅱ)由 f( )=1﹣sin(A+ 而可求 sinC=sin(A+B)的值. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)= ? ∴T= =π,

=2cos x﹣2sin(x+

2

)cos(x+

)=1﹣sin(2x+

) ,

∴由﹣

≤2x+

≤ ,k

,k∈Z,可解得:x∈ [k ],k∈Z. =kπ,k∈Z,

,k

],k∈Z,

∴单调递减区间为:[k (Ⅱ)∵f( )=1﹣sin(A+ ∴由 A 为三角形内角,可得 A=

)=1,可解得:A+ ,cosA=﹣ .

∴由正弦定理可得:sinB=

=

=

,cosB=

=

, = .

∴sinC=sin[π﹣ (A+B) ]=sin (A+B) =sinAcosB+cosAsinB=

点评: 本题主要考查了平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的 图象和性质,属于基础题. 17.已知在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,底面 ABC 为正三角形,A1 在底面 ABC 上的射影是棱 BC 的 中点 O,OE⊥AA1 于 E 点. (1)证明:OE⊥平面 BB1C1C; (2)若 AA1= AB,求 AC 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)连结 OA,由正三角形的性质得 OA⊥BC,由射影性质得 A1O⊥底面 ABC,从而 BC ⊥平面 AOA1,进而 BC⊥EO,由 OE⊥AA1 于 E 点,是 OE⊥BB1,由此能证明 OE⊥平面 BB1C1C. (2)以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系,设 AB=1,求 出平面 AA1B1BAC 的法向量,由此能求出 AC 与平面 AA1B1B 所成角的正弦值. 解答: (1)证明:连结 OA,∵底面 ABC 为正三角形,∴OA⊥BC, ∵A1 在底面 ABC 上的射影是棱 BC 的中点 O, ∴A1O⊥底面 ABC,又 BC? 面 ABC, ∴A1O⊥BC,∴BC⊥平面 AOA1, ∵OE? 平面 AOA1,∴BC⊥EO, ∵OE⊥AA1 于 E 点,∴OE⊥BB1, 又 BC∩BB1=B,∴OE⊥平面 BB1C1C. (2)以 O 为原点,OA 为 x 轴,OB 为 y 轴,OA1 为 z 轴, 建立空间直角坐标系,设 AB=1,

则 A( B(0, =(﹣

,0,0) ,C(0,﹣ ,0) ,A1(0,0, ) , ) ,B1(0, , ) , ,﹣ ,0) , =(﹣ , ,0) , =(﹣ ,0, ) ,

设平面 AA1B1BAC 的法向量为 =(x,y,z) ,



,取 x=2

,得 =(

,3,1) ,

设 AC 与平面 AA1B1B 所成角为θ, sinθ=|cos< , >|=| |= = .

点评: 本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、二面角的求解 等基础知识和空间向量的立体几何中的应用, 意在考查方程思想、 等价转化思想等数学思想 方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力. 18.从某批次的灯泡中随机地抽取 200 个样品,对其使用寿命进行实验检测,将结果列成频 率分布表如下.根据寿命将灯泡分成一等品、合格品和次品三个等级,其中寿命大于或等于 500 天的灯泡是一等品,寿命小于 300 天的灯泡是次品,其余的灯泡是合格品. 寿命(天) [100,200) [200,300) [300,400) [400,500) [500,600) 合计 200 频数 20 30 b 30 50 1 频率 a 0.15 0.35 0.15 0.25

(Ⅰ)根据频率分布表中的数据,写出 a,b 的值;

(Ⅱ)从灯泡样品中随机地取 n(n∈N )个,如果这 n 个灯泡的等级分布情况恰好与从这 200 个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同,求 n 的最小值; (Ⅲ)从这个批次的灯泡中随机地取 3 个进行使用,若将上述频率作为概率,用ξ表示 3 个灯泡中次品的个数,求ξ的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布表;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由频率分布表,得频率之和为 1,频数之和为 200,由此能求出 a 和 b. (Ⅱ)由表可知:灯泡样品中优等品有 50 个,正品有 100 个,次品有 50 个,优等品、正品 和次品的比例为 50:100:50=1:2:1.由此按分层抽样法,能求出 n 的最小值. (Ⅲ)由已知得ξ的所有取值为 0,1,2,3,且ξ~B(3, ) ,由此能求出ξ的分布列和 数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)由频率分布表,得: a=1﹣0.15﹣0.35﹣0.15﹣0.25=0.1. b=200﹣20﹣30﹣30﹣50=70. (Ⅱ)由表可知:灯泡样品中优等品有 50 个,正品有 100 个,次品有 50 个, ∴优等品、正品和次品的比例为 50:100:50=1:2:1.…(4 分) ∴按分层抽样法,购买灯泡数 n=k+2k+k=4k(k∈N ) , ∴n 的最小值为 4.…(6 分) (Ⅲ)ξ的所有取值为 0,1,2,3.…(7 分) 由题意,购买一个灯泡,且这个灯泡是次品的概率为 0.1+0.15=0.25,…(8 分) 从本批次灯泡中购买 3 个,ξ表示 3 个灯泡中次品的个数,则ξ~B(3, ) , ∴P(ξ=0)= P(ξ=1)= P(ξ=2)= P(ξ=3)= = ×(1﹣ ) =
3 *

*

, = = , ,

,…(11 分)

∴随机变量ξ的分布列为: ξ 0 1 2 3 P …(12 分) ∴ξ的数学期望 E(ξ)=0× +1× +2× +3× = .…(13 分)

点评: 本题考查频率分布列的应用,考查分层抽样的应用,考查离散型随机变量的分布列 和数学期望的求法,解题时要认真审题,注意二项分布的性质的合理运用.

19.已知函数 y=3x+

的图象上有一点列 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,…,Pn(xn,yn) ,其中 .

数列{xn}为等差数列,满足 x2=﹣ ,x5=﹣

(Ⅰ)求点 Pn 的坐标; (Ⅱ)若抛物线列 C1,C2,…,Cn 分别以点 P1,P2,…,Pn 为顶点,且任意一条的对称轴均 2 平行于 y 轴,Cn 与 y 轴的交点为 An(0,n +1) ,记与抛物线 Cn 相切于点 An 的直线的斜率为 kn,求数列 前 n 项的和 Sn.

考点: 数列的求和;数列与函数的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)设等差数列{xn}的公差为 d,可得 d= xn,进而得到 yn. (II)由题意可设以 Pn 为顶点的抛物线 Cn 的方程为:y=a
2

,利用等差数列的通项公式可得



,由于 Cn

与 y 轴的交点为 An(0,n +1) ,代入解得 a=1,可得以 Pn 为顶点的抛物线方程为: y= ﹣ ,利用导数的几何意义可得切线的斜率,再利用“裂项求和”即

可得出 Sn. 解答: 解: (I)设等差数列{xn}的公差为 d, ∵x2=﹣ ,x5=﹣ ,

∴d=

=

=﹣1. ﹣(n﹣2)= . . ﹣ , .

∴xn=x2+(n﹣2)d= ∴yn= ∴Pn =

(II)由题意可设以 Pn 为顶点的抛物线方程为:y=a ∵Cn 与 y 轴的交点为 An(0,n +1) , ∴n +1=a 解得 a=1, ∴以 Pn 为顶点的抛物线方程为:y= , ﹣ ,
2 2





∴y′(x=0)=2n+3=kn, ∴kn+1=2n+5. ∴ ∴数列 = = . = 前 n 项的和 Sn= = , +…+

点评: 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、抛物线的标准方程及其性质、导数的几 何意义、抛物线的切线方程、 “裂项求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)经过点

,且离心率为



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过椭圆 C 左焦点的直线交椭圆于 M、N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P (0,m) ,求 m 的取值范围. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)由椭圆 C: =1(a>b>0)经过点 ,且离心率为 ,可得



,又 a =b +c ,联立解得即可.

2

2

2

(II)当直线 MN⊥x 轴时,线段 MN 的垂直平分线为 x 轴,可得 m=0.当直线 MN 的斜率存在 时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x+2) (k≠0) ,与椭圆方程联立化为 (1+2k )x +8k x+8k ﹣8=0,设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 的中点为 Q(x0,y0) ,利 用根与系数的关系及其中点坐标公式可得(x0,y0) ,可得线段 MN 的垂直平行线的方程,对 k 分类讨论即可得出. 解答: 解: (I)∵椭圆 C: =1(a>b>0)经过点 ,且离心率为 ,
2 2 2 2




2

,又 a =b +c ,

2

2

2

联立解得 b=c=2,a =8. ∴椭圆 C 的方程为 .

(II)当直线 MN⊥x 轴时,线段 MN 的垂直平分线为 x 轴,∴m=0.

当直线 MN 的斜率存在时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x+2) (k≠0) ,联立 化为(1+2k )x +8k x+8k ﹣8=0, 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,线段 MN 的中点为 Q(x0,y0) , 则 x1+x2= ,
2 2 2 2



∴x0=

=﹣

,y0=k(x0+2)=



∴线段 MN 的垂直平行线的方程为

=﹣



令 x=0,可得 m=y=

=



当 k>0 时,m≥﹣ 取等号.

,当且仅当 k=

时取等号;当 k<0 时,m≤

,当且仅当 k=﹣



综上可得:m 的取值范围是



点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根 与系数的关系、中点坐标公式、线段的垂直平分线方程、基本不等式的性质,考查了推理能 力与计算能力,属于难题. 21.已知函数 f(x)=ax ﹣4ln(x﹣1) . (Ⅰ)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对一切 x∈[2,e+1],f(x)≤4 恒成立,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)当 a=1 时,f(x)=x ﹣4ln(x﹣1) (x>1) ,f′(x)= 分别解出 f′(x)>0,f′(x)<0,即可得出单调区间; (II) 对一切 x∈[2, e+1], f (x) ≤4 恒成立?a≤ , x∈[2, e+1]. 令
2 2



u(x)=

,x∈[2,e+1],利用导数研究其单调性极值与最值,即可得出.
2

解答: 解: (I)当 a=1 时,f(x)=x ﹣4ln(x﹣1) (x>1) ,f′(x)=2x﹣ = ,

当 x>2 时,f′(x)>0,此时函数 f(x)单调递增;当 1<x<2 时,f′(x)<0,此时 函数 f(x)单调递减. ∴函数 f(x)单调递增区间是(2,+∞) ;函数 f(x)单调递减区间是(1,2) . (II)对一切 x∈[2,e+1],f(x)≤4 恒成立?a≤ ,x∈[2,e+1].

令 u(x)=

,x∈[2,e+1],

u′(x)=

=



令 v(x)=4x﹣8﹣8ln(x﹣1) ,x∈[2,e+1], v′(x)=4﹣ = ,

当 x∈[2,3)时,v′(x)<0,此时函数 v(x)单调递减;当 x∈(3,e+1]时,v′(x) >0,此时函数 v(x)单调递增. 而 v(2)=0,v(e+1)=4(e+1)﹣8﹣8=4(e﹣3)<0, ∴u′(x)≤0(只有 x=2 时取等号) , ∴函数 u(x)单调递减, ∴当 x=e+1 时,函数 u(x)取得极小值即最小值,u(e+1)= .

∴a

,即为 a 的取值范围.

点评: 本题考查了利用导数研究闭在区间上函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价 转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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