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黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2014-2015学年高二数学下学期第一次月考试题 文


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哈师大附中高二下学期月考数学试卷(文)
一、选择题(每题 4 分,共计 40 分) 1. 若 f ( x) ? x 3 , f ?( x0 ) ? 3 ,则 x0 的值为 ( A. 1 2. 若直线的参数方程为 ? A. B . ?1 ) C . ?1 D. ? 3 ) D. ?



? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
C. ) C . (??,??) ) B .焦点在 y 轴上的椭圆 D .圆心在原点的圆 ) C.1 D.0

2 2 B. ? 3 3 3 3. 函数 y = x + x的递增区间是(
A . (0,??) 4. 参数方程 ?

3 2

3 2

B . (??,1)

D . (1,??)

? x ? 4sin ? 表示的曲线是 ( ? y ? 5cos ?

A .焦点在 x 轴上的椭圆 C .过原点的直线
3 2

5. 方程 x ? 6 x ? 9 x ? 10 ? 0 的实根个数是 ( A.3 B.2

6. 以平面直角坐标系的原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴 , 建立极坐标系 , 两种坐标系中取相同的 长度单位 . 已知直线 l 的参数方程是错误!未找到引用源。 , 圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos ? , 则 直线 l 被圆 C 截得的弦长为 ( A. ) C.

14

B. 2 14

2

D. 2 2

7. f ( x) 与 g ( x) 是定义在 R 上的两个可导函数, 若 f ( x) , g ( x) 满足 f ?( x0 ) ? g ?( x) , 则 f ( x) 与 g ( x) 满足( ) A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g ( x) 为常数函数

C. f ( x) ? g ( x) ? 0

D.

f ( x) ? g ( x) 为常数函数


8. 对于 R 上可导的任意函数 f ( x) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,则必有( A. C.

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

B. D.

f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

f (0) ? f (2) ? 2 f (1) f (0) ? f (2) ? 2 f (1)

9. 设 在 函 数 y ? x sin x ? cos x 的 图 象 上 的 点 ( x0 , y0 ) 处 的 切 线 斜 率 为 k , 若 k ? g ( x0 ) , 则 函 数

k ? g ( x0 ), x0 ???? , ? ? 的图象大致为 (

)

1

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10.

f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 , 有 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 , 且 f (?4) ? 0 , 则 不 等 式
x f( x)? 0 的解集为(
) A. (0,4) B. (- ∞ ,-4) C . (- ∞ ,-4) ∪ (0,4) D.(-4,4)

二、选择题(每题 5 分,共计 20 分) 11. 在 极坐标 系中 , 曲线 C1 和 C2 的 方程 分别为

? sin 2 ? ? cos? 和 ? sin ? ? 1 . 以极点 为平面 直角 坐

标 系 的 原 点 , 极 轴 为 x 轴 的 正 半 轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 , 则 曲 线 C1 和 C2 交 点 的 直 角 坐 标 为 . 12. 在极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ,过极点的一条直线 l 与圆相交于 O, A 两点, 且 ?AOx ? 45 ,则 OA = ________. 13 . 若点 P(2, ?1) ( 直角坐标系下的坐标 ) 为曲线 ? 2 ? 2? cos? ? 24 ? 0 ( 极坐标系下的方程 ) 的弦的 中点,则该弦所在直线的直角坐标方程为 ________ .
?

? e x ? x ? 1, x ? 0 ? 14. 已知函数 f ( x) = ? 1 3 错误!未找到引用源。给出如下四个命题 : ? x ? 2 x , x ? 0 ? ? 3
① f ( x) 在 [

2 ,+ ∞ ) 上 是 减 函 数 ; ② f ( x) 的 最 大 值 是 2;

③ 函 数 y ? f ( x) 有 两 个 零 点 ; .( 把正确

④ f ( x) ≤错误!未找到引用源。 的命题序号都填上 )

4 2 在 R 上恒成立 . 其中正确的命题有 3

三、解答题(每题 10 分,共计 40 分) 15. 已知函数 f ( x) ? x ln x . ( 1 )求函数 f ( x) 的单调区间; ( 2 )求函数 f ( x) 在点 (1,0) 处的切线方程 .

2

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? 6 ? 16. 已知直线 AB 过定点 (1,0) ,倾斜角为 ? ,曲线 C : ? x ? 3 cos? (?为参数) ? ? y ? sin ?
( 1 ) 求直线 AB 的参数方程; ( 2 ) 若直线 AB 与曲线 C 有公共点,求 ? 的范围 .

17. 三次函数 f ( x ) ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d , f ?( x) ? 9 x ? 0 的解集为 (1,2) . 3

( 1 ) 若 f ?( x) ? 7a ? 0 有两个相等的实数根,求 f ?( x) 的解析式; ( 2 ) 若 f ( x) 在 (??,??) 上单调递增,求 a 的取值范围 .

18. 如图,倾斜角为 ? 的直线经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 F ,且与抛物线交于 A 、 B 两点 . ( 1 )求抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 的方程; ( 2 )若 ? 为锐角,作线段 AB 的垂直平分线 m 交 x 轴于点 P , 证明: | FP |-| FP |cos2 ? 为定值,并求此定值 .

A

3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答题答案(文) CDCBCDBCAC ( 1, 1) , 2 , x - y - 3 = 0 ,①③④

15. f ?( x) ? ln x ? 1 ( 1 )由 f ?( x) ? ln x ? 1 ? 0 解得 x ? 由 f ?( x) ? 0 解得 0 ? x ?

1 e

1 e

1 1 f ( x) 的增区间为 ( ,?? ) ,减区间 (0, ) e e
( 2 ) f ?(1) ? 1 所以切线方程为 y ? x ? 1

16. ( 1 ) ?

? x ? 1 ? t cos? (t为参数) ? y ? t sin ?

( 2 )曲线 C : 3x 2 ? 2 y 2 ? 2 代入得 3(1 ? t co s ? ) 2 ? 2(t sin? ) 2 ? 2 即 (cos2 ? ? 2)t 2 ? 6t cos? ? 1 ? 0 由 ? ? 36cos2 ? ? 4(cos2 ? ? 2) ? 0 解得 cos ? ?
2

1 1 1 即cos? ? 或cos? ? ? 4 2 2

又 ? ? ?0, ? ??? ? ?0, 17. 设 f ( x ) ?

? ? ? ? 2? ? ? ,? ? ? 3? ? ? ? 3 ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d 则 f ?( x) ? ax2 ? 2bx ? c 3

? f ?( x) ? 9 x ? 0 的解集为 (1,2) , ? ax2 ? (2b ? 9) x ? c ? 0 的两根为 1 , 2 且 a ? 0

? 9 ? 2b ?3 ? 故? a 得到 2b ? 9 ? 3a, c ? 2a c ? ?2 ? a
2 ( 1 )由条件 ? ? (2b) ? 4a(c ? 7a) ? 0 ,代入得 a ? 1 (a ? ?3舍去)

? f ?( x) ? x 2 ? 6 x ? 2
2 ( 2 ) ? f ( x) 在 (??,??) 上单调递增且 a ? 0 , ? f ?( x) ? ax ? (9 ? 3a) x ? 2a ? 0 的解集为 R ,

2 ? ? ? ?9 ? 3a? ? 8a 2 ? 0 即 ? a 2 ? 54a ? 81 ? 0 ,解得 27 ? 18 2 ? a ? 27 ? 18 2

取值范围是 [ 27 ? 18 2 ,27 ? 18 2 ].
4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (Ⅰ)解:设抛物线的标准方程为 y 2 ? 2 px ,则 2 p ? 8 ,从而 p ? 4.
p 因此焦点 F ( ,0) 的坐标为( 2 , 0 ) . 2

又准线方程的一般式为 x ? ?

p 2

从而所求准线 l 的方程为 x ? ?2 (Ⅱ)解法一:如图作 AC ⊥ l ,BD ⊥ l ,垂足为 C 、D ,则由抛物线的 定义知 | FA |=| FC |,| FB |=| BD |. 记 A 、 B 的横坐标分别为 x x x z ,则 | FA | = | AC | = x x ?
p p p 4 , ?| FA | cos a ? ? ?| FA | cos a ? 4 解得 | FA |? 2 2 2 1 ? cos a 4 1 ? cos a

类似地有 | FB |? 4? | FB | cos a ,解得 | FB |?

记直线 m 与 AB 的交点为 E ,则 | FA | ? | FB | 1 1? 4 4 ? 4 cos a | FE |?| FA | ? | AE |?| FA | ? ? (| FA | ? | FB |) ? ? ? ?? 2 2 2 ? 1 ? cos a 1 ? cos a ? sin 2 a | FE | 4 | FP |? ? cos a sin2 a 故 | FP | ? | FP | cos 2a ?
4 sin 2 a (1 ? cos 2a) ? 4·2 sin 2 a sin 2 a ?8





解法二:设 A( x A , y A ) , B( x B , y B ) ,直线 AB 的斜率为 k ? t ana ,则直线方程为 y ? k ( x ? 2) 将此式代入 y 2 ? 8 x , 得 k 2 x 2 ? 4(k 2 ? 2) x ? 4k 2 ? 0 ,故 x A ? x B ? 记直线 m 与 AB 的交点为 E ( x E , y E ) ,则
xE ?
k (k 2 ? 2) k2

4 x A ? x B 2(k 2 ? 2) 4 1? 2k 2 ? 4 ? ?x ? ?. ? y ? k ( x ? 2 ) ? y ? ? ? , ,故直线 m 的方程为 E E 2 k k? k2 k k2 ? ? ?

2k 2 ? 4 4(k 2 ? 1) 4 | FP | ? x ? 2 ? ? ? 4 令 y =0, 得 P 的横坐标 x P ? 故 P 2 2 k sin 2 a k
从而 | FP | ? | FP | co s2a ?
4 s i n2 a (1 ? co s2a) ? 4·2 s i n2 a s i n2 a ? 8 为定值 .

5


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