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2014年高一数学必修4考试题(11)


2014 年高一数学必修 4 考试题(11)
考试时间:120 分钟 满分:150 分
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每题的四个选项中,有且只有一 项是符合题目要求的,请把每题答案的代号填入答题卡内) 1.下列各角中,与 60°角终边相同的角是( ) A.-60° B.600° C.1380° D. -300° 2.下列三角函数值的符号判断错误的是( ) .. A. sin 165 ? ? 0 B. cos 280 ? ? 0 C. tan170 ? 0 D. tan 310 ? 0
o o

3.已知 a ? (2,3) 与 b ? (?4, y) 共线,则 y = ( A. -5 B.-6 C.-7

) D.-8 )

4.设四边形 ABCD 中,有 AB ? DC, 且 AD = AB ,则这个四边形是( A. 正方形
? ?

B. 矩形
? ?

C. 等腰梯形 ) C. ?

D.菱形

5. sin107 cos 43 ? sin17 sin 43 ? ( A. ?

3 3 D. 2 2 ??? ? ???? ? ? 6.平行四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 M,设 AB ? a , AD ? b ,则下列表示正确的
B. 是( ) B. BD ? a ? b D. BM ?

1 2

1 2

??? ? ? ? A. CA ? a ? b
C. MC ?

??? ?

? ?
1? 1? b? a 2 2

???? ?

1? 1? a? b 2 2

???? ?

7.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 在一个周期内的图象如下, 此函数的解 析式为( )

A. y ? 2 sin( 2 x ? C. y ? 2 sin(

x ? ? ) 2 3

2? ) 3

B. y ? 2 sin( 2 x ? D. y ? 2 sin( 2 x ?

?

?

3

)

3

)

8.已知下列命题: ①若向量 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c ; ②若 a > b ,则 a > b ; ③若 a ? b =0, 则 a = 0 或 b = 0 ;④在△ABC 中,若 AB ? CA ? 0 ,则△ABC 是钝角三角形; ⑤ a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 其中正确命题的个数是( ( A. 0 B. 1 C. 2 ) D. 3 )

9. 若 cos(? ? ? ) ?

1 3 , cos(? ? ? ) ? ,则 tan ? ? tan ? ? ( 5 5
1

A. ?

3 2

B.

3 2
?

C. ?

10.已知 a =(-3,2) b =(2,1)则 a ? tb (t ? R) 的最小值是( ,

?

1 2

D.

1 2


A.

3 2

B.

1 2

C.

7 5 5

D.

5 5 7

二、填空题: (本题 4 小题,每小题5分,共 20 分.把答案填在答题卡相应的位置上) 11. cos( ?

7 ?) ? 6

12.已知 a =3, b =5,且 a ? b ? 12 ,则 a 在 b 方向上的投影为

1 sin ? ? cos ? ,则 = 2 2 sin ? ? 3 cos ? π 14. 函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ? ) 的图象为 C , 3 11 ? 对称; ①图象 C 关于直线 x ? 12 π 5π ) 内是增函数; ②函数 f (x) 在区间 (? , 12 12 π ③由 y ? 3 sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C ; 3
13.若 tan ? ? ④图象 C 关于点(

? ,0)对称; 3

其中,真命题的编号是___________(写出所有真命题的编号)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. 已知 sin ? ?

3 ? ? , ? ? ( , ? ) ,求 tan ? , cos(? ? ) 的值. 5 2 4

16.已知 | a |? 1 , | b |? 4 ,且向量 a 与 b 不共线, (1)若 a 与 b 的夹角为 60 ,求 (2a ? b) ? (a ? b) ;
o

?

?

? ?

? ?

(2)若向量 ka ? b 与 ka ? b 互相垂直,求 k 的值.
2

? ?

? ?

17.设 f (? ) ? (1)若 ? ? ?

2 sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) , 1 ? sin 2 ? ? sin(? ? ? ) ? cos2 (? ? ? )
17 3 3 ? ,求 f (? ) 的值; (2)若 ? 是锐角,且 sin(? ? ? ) ? , 6 2 5

求 f (? ) 的值.

18.设两个非零向量 a 与 b 不共线. (1)若 AB ? a + b , BC ? 2a ? 8b , CD ? 3(a ? b) ,求证:A、B、D 三点共线. (2)试确定实数 k,使 k a ? b 和 a ? k b 共线.

??? ?

?

19 已知 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3sin x cos x ? cos2 x (1)求 f ? x ? 的最大值及取最大值时 x 的集合. (2)求 f ? x ? 的增区间.

20. 已知向量 a ? ( 3 sin ?x, cos?x),b ? (cos?x,? cos?x),(? ? 0) , 函数 f ( x) ? a ? b ? (1)求 ? 值;

1 2

的图象的两相邻对称轴间的距离为

? , 4

3 7 5 ? , ? ) 时, f ( x) ? ? ,求 cos 4 x 的值; 24 12 5 1 (3)若 cos x ? , x ? (0, ? ) ,且 f ( x) ? m 有且仅有一个实根,求实数 m 的值. 2
(2)若 x ? (

3

参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 D 5 B 6 D 7 A 8 A 9 D 10 C

二、填空题: 11. ?

3 2

12.

12 5

13. ?

3 4

14.

①②

三、解答题: 15.(12 分)解:∵ sin ? ?
2

3 ? , ? ? ( , ? ) , ……………………………………1 分 5 2

∴ cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? ∴ tan ? ? ∴ cos(? ?

4 ,……………………………………3 分 5
………………………………6 分

sin ? 3 ?? cos ? 4

?

4

) ? cos ? cos
=?

?
4

? sin ? sin

?
4

………………………………10 分

7 4 2 3 2 2 ……………………………12 分 =? ? ? ? 10 5 2 5 2

16. (12 分)解: (1)∵ (2a ? b) ? (a ? b) = 2a ? a ? a ? b ? b ? b = 2 a ? a ? b cos? ? b
2 2

? ?

? ?

……………………………2 分 ……………………………4 分
2

= 2 ? 1 ? 1 ? 4 ? cos60? ? 4 = ? 12

……………………………6 分 ………………………8 分

? ? ? ? (2)由题意可得: ( ka ? b ) ? ( ka ? b )=0
即k2a ?b ? 0
2 2

………………………10 分 ……………………………11 分 ……………………………12 分

?k 2 ? 16 ? 0
∴ k ? ?4 17. (14 分)解:因为

f (? ) ?

2 sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? ) 1 ? sin 2 ? ? sin(? ? ? ) ? cos2 (? ? ? )

4

?

(?2 sin ? )(? cos? ) ? (? cos? ) ………………2 分 1 ? sin 2 ? ? sin ? ? cos2 ?

?

2 sin ? cos? ? cos? 2 sin 2 ? ? sin ? ………………………3 分

?

(2 sin ? ? 1) cos? 1 ? (2 sin ? ? 1) sin ? tan? ……………………………4 分
17 17 ? ? f (? ? ) ? 6 6

(1)若 ? ? ?

1 …………………5 分 17 tan(? ? ) 6

=

1 tan(?3? ? ) 6

?

……………………………7 分

?

1 tan

?
6

?

1 3 3

? 3 ……………………………9 分

(2)若 ? 是锐角,且 sin(? ?

3 3 ?) ? 2 5

∴ cos ? ?

3 5
2

…………………………11 分

∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? ∴ tan ? ?

sin ? 4 ? …………………………13 分 cos ? 3 3 ∴ f (? ) ? …………………………14 分 4

4 …………………………12 分 5

18. (14 分)解:(1)∵ BD ? BC ? CD = 2a ? 8b + 3(a ? b)
= 5a ? 5b = 5 AB

……………………………2 分 ……………………………3 分 ……………………………6 分 ……………………………7 分

∴A、B、D 三点共线. (2) 解:∵ k a ? b 和 a ? k b 共线,

则存在实数 ? ,使得 k a ? b = ? ( a ? k b )
5

………………8 分

即: (k ? ? )a ? (1 ? ?k )b ? 0

……………………………10 分 ……………………………11 分 ……………………………13 分 ……………………………14 分

∵非零向量 a 与 b 不共线, ∴ k ? ? ? 0 且 1 ? ?k ? 0 ∴ k ? ?1

19. (14 分)由已知: f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? (1)当 2 x ?

?
6

) ??? 4 分

?
6

? 2 k? ?

?
2

k ? Z ……………………5 分

即: sin(2 x ?

?
6

) ? 1 时: f ( x) 取最大值 2 .…………………7 分

此时 x 的集合为: {x x ? k? ? (2)由 2k? ? 得增区间为:

?
3

k ? Z } ??? 9 分

?
2

? 2x ? [ k? ?

?

?

6

? 2 k? ?

?
2

k ? Z ………………11 分
14 分

, k? ? ] k ? Z ??? 6 3

?

20. (14 分) 解:由题意, f ( x) ?

3 sin ?x ? cos ?x ? cos 2 ?x ?

1 2

=

3 1 ? cos2?x 1 sin 2?x ? ? 2 2 2 3 1 sin 2?x ? cos 2?x 2 2

=

? sin(2?x ?

?

) 6 ……………………………2 分

(1)∵两相邻对称轴间的距离为 ∴

2? ? ? ,? ? ? 2 ……………………………4 分 2? 2 ? 3 (2)由(1)得, f ( x) ? sin( 4 x ? ) ? ? 6 5 7 5 ? 3 , ) ∴ 4 x ? ? (? , ? ) ………………………5 分 ∵x?( 24? 12 6 2 ? 4 ∴ cos( 4 x ? ) ? ? ……………………………6 分 6 5 T ?
6

? 4

∴ cos 4 x ? cos( 4 x ? = cos( 4 x ? = (? ) ?

?
6

?

?
6

)
? sin( 4 x ?

?

6

) cos

?
6

?
6

) sin

?
6

4 5

3 3 1 ? (? ) ? 2 5 2

=? (3)? cos x ?

2 3 3 ? ……………………………9 分 5 10

1 , 又因为余弦函数在 (0, ? ) 上是减函数,……………10 分 2

? ?? ? x ? ? 0, ? ……………………………12 分 ? 3?

? 1 = sin( 4 x ? ) , g ( x) ? m ,在同一直角坐标系中 2 6 1 作出两个函数的图象,可知:m ? 1或m ? ? .……………………14 分 2
令 f ( x) ? a ? b ?

7


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