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江苏省阜宁县第一高级中学高一数学 2012-2013学年度第一学期阶段考试


江苏省阜宁县第一高级中学高一数学 2012-2013 学年度 第一学期阶段考试

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. )
1. 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 4} , B ? {x | 2 ? x ? 6} ,则 A ? B = ▲ .

2. 已知 a 是实数,若集合{x| ax=1}是任何集合的子集,则 a 的值是 ▲ . 3.方程 3
x ?1

?

3 的解为 x ? 3

▲ .

4. 函数 y ?

1 x ? 1 ? 的定义域为 ▲ . x
.

? 2 ?x +1,x≤1, 5. 设函数 f(x)=? 2 则 f [ f (?1)] 的值为 ▲ ? ?x +x-2,x>1,
2

6. 已知集合 A=B=R+,若 f : x ? x 是从集合 A 到 B 的一个映射,则与 B 中元素 4 对应的 A 中 的元素为 ▲ . 7. 若学校要求在这次考试中,数学及格率要达到 85%,语文及格率要达到 90%,则这两门学科都 及格的学生的百分率的范围应为 ▲ . 8.已知函数 y ? a
x ?2

? 1(a ? 0, a ? 1) ,不论常数 a 为何值,函数图像恒过定点 ▲
的值域为 ▲ .

.

9. 函数 f ( x) ? ( )

1 2

x

10. 函数 f ( x) ? 1 ?

2 的单调递增区间是 ▲ . x ?1

11.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 为减函数,若 a ? b ? 0 ,给出下列不等式: ① f (a) ? f (?a) ? 0 ; ③ f (b) ? f (?b) ? 0 ; ② f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ; ④ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .

其中正确的是 ▲ .(把你认为正确的不等式的序号全写上) . 12.设函数 f (x) ? x ? x ?
2

1 * 的定义域为 [n, n ? 1], n ? N ,则 f (x) 的值域中所含整数的个数为 3



.

13. (强化班)如图所示的韦恩图中, A, B 是非空集合,定义集合 A # B 为 阴影部分表示的集合,即 A # B = {x | x ? A, 或x ? B,且x ? A ? B} .若

A=1,2,3,4,5} , B ? {4,5,6,7} ,则 A # B ? ▲ . {

13. (竞赛班)如图所示的韦恩图中, A, B 是非空集合,定义集合 A # B 为 阴影部分表示的集合,即 A # B = {x | x ? A, 或x ? B,且x ? A ? B} .若

A= x | y ? x ? 3 ? x } , B ? { y | y ? 2 x , x ? 1} ,则 A # B ? ▲ . {

14. (强化班) 下列说法中: ① 若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f (x) 在 R 上不是单调减函数; ② 定义在 R 上的函数 f (x) 在区间 (??,1] 上是单调减函数,在区间 (1,??) 上也是单调减函数, 则函数 f (x) 在 R 上是单调减函数; ③ 对于定义在 R 上的函数 f (x) ,若 f (?2) ? f (2) ,则 f (x) 不可能是奇函数; ④ f ( x) ?

2013 ? x 2 ? x 2 ? 2013 既是奇函数又是偶函数.
.

其中正确说法的序号是 ▲

14. (竞赛班)下列说法中: ① 若 f ( x) ? ax ? (2a ? b) x ? 2 (其中 x ?[2a ? 1, a ? 4] )是偶函数,则实数 b ? 2 ;
2

② f ( x) ?

2013 ? x 2 ? x 2 ? 2013 既是奇函数又是偶函数;

③ 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,则当 x ? R 时,

f ( x) ? x(1 ? x ) ;
④ 已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意的 x, y ? R 都满足

f ( x ? y) ? x ? f ( y) ? y ? f ( x) ,则 f ( x) 是奇函数。
其中正确说法的序号是 ▲ .

二、解答题: 本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 (
步骤. )
15. (本题满分 14 分)设 A ? {2, -1, a2-a +1},B ? {b, 7, a + 1} ,M ? {-1, 7},A∩B ? M. (1)设全集 U ? A ,求 CU M ; (2)求 a 和 b 的值. 16. (本题满分 14 分) (1)已知 f (x) 是一次函数,且 f ( f ( x)) ? 4 x ? 1,求 f (x) 的表达式.
2 ? 1 3 2 1 ?2 (2)化简求值: 6 ? 8 ? 0.027 3 ? (? ) 4 3

17. (本题满分 15 分)已知二次函数 f ( x) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 在区间 [3a, a ? 1] 上不单调,求实数 a 的取值范围; ... (3)在区间 [?1,1] 上, y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? 2m ? 1 的图象上方,试确定实数 m 的取值 范围. 18. (本题满分 15 分) 心理学研究表明,学生在课堂上各时段的接受能力不同。上课开始时,学生的兴趣高昂,接 受能力渐强,随后有一段不太长的时间,学生的接受能力保持较理想的状态;渐渐地学生的注意 力开始分散,接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始 x 分钟时,学生的接受能力为 f (x)( f (x) 值 越大,表示接受能力越强) f (x) 与 x 的函数关系为: ,

?? 0.1x 2 ? 2.6 x ? 44,0 ? x ? 10 ? ,10 ? x ? 15 ?60 f ( x) ? ? ,15 ? x ? 25 ?? 3x ? 105 ?30 ,25 ? x ? 40 ?
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)试比较开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟,学生的接受能力的大小; (3)若一个数学难题,需要 56 的接受能力(即 f ( x) ? 56 )以及 12 分钟时间,老师能否及时在学 生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题?

19. (强化班) (本题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? x ? (1) 判断函数的奇偶性;

?
x

,其中常数 ? ? 0 .

(2) 若 ? ? 1 ,判断 f (x) 在区间 [1,??) 上的单调性,并用定义加以证明; (3) 若 f (x) 在区间 [1,??) 上单调递增,求常数 ? 的取值范围.

19. (竞赛班) (本题满分 16 分)设函数 f ( x) ? x ? (1) 判断函数的奇偶性;

?
x

,其中常数 ? ? 0 .

(2) 若 ? ? 1 ,判断 f (x) 在区间 [1,??) 上的单调性,并用定义加以证明; (3) 是否存在正的常数 ? ,使 f (x) 在区间 (0,??) 上单调递增?若存在,求 ? 的取值范围;若不 存在,请说明理由。

20.(强化班)(本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x x ? 4 , (Ⅰ)作出函数的简图,写出函数 y ? f (x) 的单调递增区间; (Ⅱ)求 f (x) 在闭区间 [0, a] 上最大值; (Ⅲ) 若函数 f (x) 在开区间 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别写出 m、n 的取值范围.

20.(竞赛班)(本题满分 16 分)

已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x x ? a ,

(Ⅰ)当 a =4 时,写出函数 y ? f (x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 a ? 4 时,求 f (x) 在区间 (1, ) 上最值; (Ⅲ) 设 a ? 0 ,函数 f (x) 在 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值范围(用 . a 表示)

9 2

江苏省阜宁县第一高级中学高一数学 2012-2013 学年度 第一学期阶段考试

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. )
1、______________; 5、__________ ___; 9、_______________; 2、_____________; 6、_____________; 3、________________ ; 4、_______________; 7、______________ ; 8、_____________; 12、_______________ ;

10、______________ ; 11、_____________;

13、_____________ ; 14、_____ ________.

二、解答题: (本大题共 6 小题,90 分.写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
15. (本题满分 14 分)

16. (本题满分 14 分)

17. (本题满分 15 分)

18.(本题满分 15 分)

19. (本题满分 16 分)

20. (本题满分 16 分)

江苏省阜宁县第一高级中学高一数学 2012-2013 学年度 第一学期阶段考试

一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. )
1. 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 4} , B ? {x | 2 ? x ? 6} ,则 A ? B = ▲ .(2,4)

2. 已知 a 是实数,若集合{x| ax=1}是任何集合的子集,则 a 的值是 ▲ .0 3.方程 3
x ?1

?

3 的解为 x ? 3

▲ .?

3 2

4. 函数 y ?

1 x ? 1 ? 的定义域为 ▲ . {x | x ? ?1且x ? 0} x
f [ f (?1)] 的值为 ▲
.4

? 2 ?x +1,x≤1, 5. 设函数 f(x)=? 2 则 ? ?x +x-2,x>1,
2

6. 已知集合 A=B=R+,若 f : x ? x 是从集合 A 到 B 的一个映射,则与 B 中元素 4 对应的 A 中 的元素为 ▲ .2 7. 若学校要求在这次考试中,数学及格率要达到 85%,语文及格率要达到 90%,则这两门学科都 及格的学生的百分率的范围应为 ▲ 8.已知函数 y ? a
x ?2

. [75 0 0 ,85 0 0 ] . (2,2)

? 1(a ? 0, a ? 1) ,不论常数 a 为何值,函数图像恒过定点 ▲
的值域为 ▲ . (0,1]

9. 函数 f ( x) ? ( ) 10. 函数 f ( x) ? 1 ?

1 2

x

2 的单调递增区间是 ▲ . ?? ?,?1?, ?? 1,?? ? x ?1

11.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 为减函数,若 a ? b ? 0 ,给出下列不等式: ① f (a) ? f (?a) ? 0 ; ③ f (b) ? f (?b) ? 0 ; ② f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ; ④ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) .

其中正确的是 ▲ .(把你认为正确的不等式的序号全写上) .①④

12.设函数 f (x) ? x ? x ?
2

1 * 的定义域为 [n, n ? 1], n ? N ,则 f (x) 的值域中所含整数的个数为 3



.

2n

13. (强化班)如图所示的韦恩图中, A, B 是非空集合,定义集合 A # B 为 阴影部分表示的集合,即 A # B = {x | x ? A, 或x ? B,且x ? A ? B} .若

A=1,2,3,4,5} , B ? {4,5,6,7} ,则 A # B ? ▲ . {1,2,3,6,7} {
13. (竞赛班)如图所示的韦恩图中, A, B 是非空集合,定义集合 A # B 为 阴影部分表示的集合,即 A # B = {x | x ? A, 或x ? B,且x ? A ? B} .若

A= x | y ? x ? 3 ? x } , B ? { y | y ? 2 x , x ? 1} ,则 A # B ? ▲ . [0,2) ? (3,??) {
14. (强化班) 下列说法中: ① 若定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f (x) 在 R 上不是单调减函数; ② 定义在 R 上的函数 f (x) 在区间 (??,1] 上是单调减函数,在区间 (1,??) 上也是单调减函数, 则函数 f (x) 在 R 上是单调减函数; ③ 对于定义在 R 上的函数 f (x) ,若 f (?2) ? f (2) ,则 f (x) 不可能是奇函数; ④ f ( x) ?

2013 ? x 2 ? x 2 ? 2013 既是奇函数又是偶函数。
.①④

其中正确说法的序号是 ▲ 14. (竞赛班)下列说法中:

① 若 f ( x) ? ax ? (2a ? b) x ? 2 (其中 x ?[2a ? 1, a ? 4] )是偶函数,则实数 b ? 2 ;
2

② f ( x) ?

2013 ? x 2 ? x 2 ? 2013 既是奇函数又是偶函数;

③ 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,若当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? x) ,则当 x ? R 时,

f ( x) ? x(1 ? x ) ;
④ 已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意的 x, y ? R 都满足

f ( x ? y) ? x ? f ( y) ? y ? f ( x) ,则 f ( x) 是奇函数。
其中正确说法的序号是 ▲ .①②③④

二、解答题: (本大题共 6 小题,90 分.写出文字说明,证明过程或演算步骤. )
15. (本题满分 14 分)设 A ? {2, -1, a2-a +1},B ? {b, 7, a + 1} ,M ? {-1, 7},A∩B ? M.

(1)设全集 U ? A ,求 CU M ; (2)求 a 和 b 的值. 15.解:(1) CU M ? {2} ……………………6 分

(2) a ? 3, b ? ?1 或 a ? ?2, b ? ?1,2,7 ……………………14 分 16. (本题满分 14 分) (1)已知 f (x) 是一次函数,且 f ( f ( x)) ? 4 x ? 1,求 f (x) 的表达式.
2 ? 1 3 2 1 ?2 (2)化简求值: 6 ? 8 ? 0.027 3 ? (? ) 4 3

16 (1) f (x) ? 2 x ?

1 或 f ( x) ? ?2 x ? 1 3

………….8 分

(2)原式=

2 ? ?3 25 3 6 5 1 ? 2 ? (0.3) 3 ? 32 ? ? 4 ? 0.3?2 ? 32 ? 106 ………….14 分 4 2 2

17. (本题满分 15 分)已知二次函数 f ( x) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 在区间 [3a, a ? 1] 上不单调,求实数 a 的取值范围; ... (3)在区间 [?1,1] 上, y ? f ( x) 的图象恒在 y ? 2 x ? 2m ? 1 的图象上方,试确定实数 m 的取值 范围. 17、 (本题共 15 分) 解(1)由已知,设 f ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ,由 f (0) ? 3 ,得 a ? 2 ,
2

故 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 3 .
2

…………5 分

(2)要使函数不单调,则 3a ? 1 ? a ? 1, 则0 ? a ?
2

1 , 3
2

…………10 分

(3)由已知,即 2 x ? 4 x ? 3 ? 2 x ? 2m ? 1 ,化简得 x ? 3x ? 1 ? m ? 0 . (?1 ? x ? 1) 设 g ( x) ? x ? 3x ? 1 ? m ,则只要 g ( x) min ? 0 ,
2

而 g ( x) min ? g (1) ? ?1 ? m ,得 m ? ?1 .…………15 分. 18. (本题满分 15 分)

心理学研究表明,学生在课堂上各时段的接受能力不同。上课开始时,学生的兴趣高昂,接 受能力渐强,随后有一段不太长的时间,学生的接受能力保持较理想的状态;渐渐地学生的注意 力开始分散,接受能力渐弱并趋于稳定.设上课开始 x 分钟时,学生的接受能力为 f (x)( f (x) 值 越大,表示接受能力越强) f (x) 与 x 的函数关系为: ,

?? 0.1x 2 ? 2.6 x ? 44,0 ? x ? 10 ? ,10 ? x ? 15 ?60 f ( x) ? ? ,15 ? x ? 25 ?? 3x ? 105 ?30 ,25 ? x ? 40 ?
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)试比较开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟,学生的接受能力的大小; (3)若一个数学难题,需要 56 的接受能力(即 f ( x) ? 56 )以及 12 分钟时间,老师能否及时在学 生一直达到所需接受能力的状态下讲述完这个难题? 18. (本题满分 15 分) 解:(Ⅰ)由题意可知:

f ( x) ? ?0.1?x ? 13? ? 60.9 所以当 X=10 时, f (x) 的最大值是 60, 又 10 ? x ? 15 , f (x) =60 0 ? x ? 10
2

所以开讲后 10 分钟,学生的接受能力最强,并能维持 5 分钟. ……………………5 分 (Ⅱ)由题意可知: f (5) ? 54.5, f (20) ? 45, f (35) ? 30 所以开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟的学生的接受能力从大小依次是 开讲后 5 分钟、20 分钟、35 分钟的接受能力;………………………………………8 分 (Ⅲ)由题意可知: 当 0 ? x ? 10 时, f (x) 为增函数, f (6) ? 56 ,从而 6 ? x ? 10 时 f ( x) ? 56 ; 当 10 ? x ? 15

f (x) =60>56,满足要求;

当 15 ? x ? 25 , ? 3x ? 105 ? 56 解得: 15 ? x ? 16 因此接受能力 56 及以上的时间是 10

1 3

1 分钟,小于 12 分钟. 3

所以老师不能在所需的接受能力和时间状态下讲述完这个难题 . ………………15 分 19. (强化班) (本题满分 16 分)设函数 f ( x) ? x ? (1) 判断函数的奇偶性; (2) 若 ? ? 1 ,判断 f (x) 在区间 [1,??) 上的单调性,并用定义加以证明; (3) 若 f (x) 在区间 [1,??) 上单调递增,求常数 ? 的取值范围. 19. (本题满分 16 分) 解: (1)奇函数; ………3 分

?

x

,其中常数 ? ? 0 .

(2) 任取 1 ? x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

1 1 x ?x x x ?1 ) - ( x2 ? ) ? x1 ? x2) 2 1 ? ( x1 ? x2 ) 1 2 ( ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

∵1 ? x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ∴ f (x) 在区间 [1,??) 上单调递增. ………………………………10 分
(3)任取 1 ? x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

?
x1

) - ( x2 ?

?
x2

) ? x1 ? x2) ( ?

? ( x2 ? x1 )
x1 x2

? ( x1 ? x2 )

x1 x2 ? ? x1 x2

∵ f (x) 在区间 [1,??) 上的单调递增.∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? x1x2 ? ? ? 0 对 1 ? x1 ? x2 , 恒成立 即 ? ? x1 x2

?? ? 1 ? ? ? 0

?0 ? ? ? 1

………………16 分

19. (竞赛班) (本题满分 16 分)设函数 f ( x) ? x ? (1) 判断函数的奇偶性;

?
x

,其中常数 ? ? 0 .

(2) 若 ? ? 1 ,判断 f (x) 在区间 [1,??) 上的单调性,并用定义加以证明; (3) 是否存在正的常数 ? ,使 f (x) 在区间 (0,??) 上单调递增?若存在,求 ? 的取值范围;若不 存在,请说明理由。 19. (本题满分 16 分) 解: (1)奇函数; (2)任取 1 ? x1 ? x2 ,

………3 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

1 1 x ?x x x ?1 ) - ( x2 ? ) ? x1 ? x2) 2 1 ? ( x1 ? x2 ) 1 2 ( ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

∵1 ? x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0, x1 x2 ? 1 ? 0

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ∴ f (x) 在区间 [1,??) 上单调递增. ………………………………10 分
(3)不存在。理由如下:任取 0< x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

?

x1

) - ( x2 ?

?

x2

) ? x1 ? x2) ( ?

? ( x2 ? x1 )
x1 x2

? ( x1 ? x2 )

x1 x2 ? ? x1 x2

∵ f (x) 在区间 (0,??) 上的单调递增.∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? x1x2 ? ? ? 0 对 0< x1 ? x2 , 恒成立 即 ? ? x1 x2 , ∴ ? ? 0 ∴不存在正的常数 ? ,使 f (x) 在区间 (0,??) 上单调递增………16 分 已知函数 f ( x) ? x x ? 4 ,

20.(强化班)(本题满分 16 分)

(Ⅰ)作出函数的简图,写出函数 y ? f (x) 的单调递增区间;

(Ⅱ)求 f (x) 在闭区间 [0, a] 上最大值; (Ⅲ) 若函数 f (x) 在开区间 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值范围. 20.(Ⅰ)解: f ( x) ? x | x ? 4 |? ?

? x( x ? 4), x ? 4 ? x(4 ? x), x ? 4

由图象可知,单调递增区间为(- ? ,2],[4,+ ? ) (开区间不扣分)………………6 分

(Ⅱ) f ( x) max

?4a ? a 2 ,0 ? a ? 2 ? ? ? ?4, 2 ? a ? 2 ? 2 2 ………………12 分 ? 2 ?a ? 4 a , a ? 2 ? 2 2 ?

(Ⅲ) 0 ? m ? 2,4 ? n ? 2 ? 2 2 ………………16 分 20. (竞赛班) 本题满分 16 分) ( 已知 a ? R , 函数 f ( x) ? x x ? a ,

(Ⅰ)当 a =4 时,写出函数 y ? f (x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 a ? 4 时,求 f (x) 在区间 (1, ) 上最值; (Ⅲ) 设 a ? 0 ,函数 f (x) 在 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值范围(用 . a 表示) 20.(Ⅰ)解:当 a ? 4 时, f ( x) ? x | x ? 4 |? ?

9 2

? x( x ? 4), x ? 4 ? x(4 ? x), x ? 4

由图象可知,单调递增区间为(- ? ,2],[4,+ ? ) (开区间不扣分)………………4 分 (Ⅱ) f ( x) max ? f (2) ? 4; f ( x) min ? f (4) ? 0 ………………8 分 (Ⅲ) f ( x) ? ?

? x( x ? a), ? x(a ? x),

x?a x?a

①当 a ? 0 时,图象如右图所示

? a2 ?y ? ( 2 ? 1)a 4 由? 得x ? 2 ? y ? x( x ? a) ?
∴0 ? m ?

a ,a ? n ? 2

2 ?1 a ………………12 分 2

②当 a ? 0 时,图象如右图所示

? a2 (1 ? 2) 1? 2 ?y ? ? a∴ a ? m ? a, 由? 得x ? 4 2 2 ? y ? x(a ? x) ?

a ? n ? 0 ………………16 分 2


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