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高一数学《直线、平面垂直的判定及其性质》练习题解析卷[编辑6页]


高一数学《直线、平面垂直的判定及其性质》练习题解析卷
第 1 题. 已知直线 a , b 和平面 ? ,且 a ? b , a ? ? ,则 b 与 ? 的位置关系是 答案: b//? 或 b ? ? . 第 2 题. 已知两个平面垂直,下列命题 .

① 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线. ② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个

平面的无数条直线. ③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是( A.3 答案:B. 第 3 题. 已知平面 ? , ? , ? 且 ? ? ? , ? //? ,求证 ? ? ? . 答案:证明:设 ? ? ? ? l ,在平面 ? 内作直线 a ? l . 因为 ? ? ? ,所以 a ? ? . 过 a 作一个平面 ? 与平面 ? 相交于直线 b , 由 ? //? ,得 a//b . 又 b ? ? ,所以 ? ? ? .因为 a ? ? ,所以 b ? ? . 第 4 题. 已知平面 ? , ? , ? 满足 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ? l ,求证: l ? ? . 答案:在平面 ? 内做两条相交直线分别垂直于平面 ? , ? 与平面 ? 的交线,再利用面面垂直的性质定理证 直线 l ? 平面? . 第 5 题. 如图,已知平面 ? , ? ,直线 a 满足 ? ? ? , a ? ? , a ? ? ,试判断直线 a 与平面 ? 的位置 关系. B.2 ) C.1 D.0

?
b

a

?

答案:解:在 ? 内作垂直于 ? 与 ? 交线的直线 b ,因为 ? ? ? ,所以 b ? ? . 因为 a ? ? ,所以 a//b .又因为 a ? ? ,所以 a//? . 即直线 a 与平面 ? 平行.
1/6

第 6 题. 如图所示,ABCD 为正方形,SA ? 平面 ABCD , A 且垂直于 SC 的平面分别交 SB ,SC ,SD 过 于 E , F ,G . S 求证: AE ? SB,AG ? SD .

F

G

D
A

E
B

C

答案:证明:∵ SA ? 平面 ABCD ,∴ SA ? BC . 又 AB ? BC ,∴ BC ? 平面SAB . ∵ AE ? 平面SAB ,∴ BC ? AE , ∵SC ? 平面AEFG ,∴ SC ? AE,AE ? 平面SBC ,∴ AE ? SB . 同理 AG ? SD .

第 7 题. 已知直线 l ? 平面? ,有以下几个判断:① 若 m ? l ,则 m//? ;② 若 m ? ? ,则 m//l ;③ 若

m//? ,则 m ? l ; ④ 若 m//l ,则 m ? ? .上述判断中正确的是(
A. ①②③ 答案:B. B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④



第 8 题. ?,? 是两个不同的平面, ,n 是平面 ? 及 ? 之外的两条不同的直线, 给出四个论断: m ? n ; ① m

②? ? ? ; ③n ? ? ; ④m ? ? .以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正
确的一个命题 .

答案: ②③④ ? ①或①③④ ? ② .

第 9 题. 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PA ? 底面 ABCD , AE ? PD , EF //CD , AM ? EF . P 求证: MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线. 答案:证明:∵ PA ? 底面,∴ PA ? AB . E 已知 AB ? AD ,∴ AB ? 面 PAD .∴ BA ? AE . 又 AM //CD//EF ,且 AM ? EF . ∴ AEFM 是矩形,∴ AM ? MF . 又∵ AE ? PD , AE ? CD ,∴ AE ? 平面 PCD . 又 MF //AE ,∴MF ? 平面 PCD . ∴MF ? PC . ∴ MF 是异面直线 AB 与 PC 的公垂线.

A M B

F

D

C
2/6

第 10 题. 设 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, P 为平面 AC 外一点且有 PA ? PC , PB ? PD ,则 . PO 与平面 ABCD 的关系是 答案:垂直 第 11 题. 如图,直角 △ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC ,点 D 为斜边 AC 的中点. (1) 求证: SD ? 平面 ABC ; S (2) 若 AB ? BC ,求证: BD ? 面 SAC . 答案:证明: (1)∵ SA ? SC , D 为 AC 的中点,∴SD ? AC . 连结 BD . 在 Rt△ABC 中,则 AD ? DC ? BD . ∴△ADS ≌△BDS ,∴SD ? BD . 又 AC ? BD ? D ,∴ SD ? 面 ABC .

A

D

C

(2)∵ BA ? BC , D 为 AC 的中点, ∴ BD ? AC . 又由(1)知 SD ? 面 ABC , ∴SD ? BD . 于是 BD 垂直于平面 SAC 内的两条相交直线. ∴ BD ? 面 SAC . 第 12 题. 在三棱锥 P ? ABC 中,侧面 PAC 与面 ABC 垂直, PA ? PB ? PC ? 3 . (1) 求证: AB ? BC ; (2) 设 AB ? BC ? 2 3 ,求 AC 与平面 PBC 所成角的大小. 答案:证明:如图(1)所示,取 AC 中点 D ,连结 BD , PD . ∵ PA ? PC ,∴ PD ? AC . 又平面 PAC ? 平面 ABC ,∴ PD ? 面 ABC . ∵PA ? PB ? PC ,∴ DA ? DB ? DC . 可知 AC 为 △ABC 的外接圆直径. ∴ AB ? BC . (2)解:如图(2) ,作 CF ? PB 于 F ,连结 AF , DF . ∵△PBC ≌△PBA ,∴ AF ? PB , AF ? CF . ∴ PB ? 平面 AFC . ∴面 AFC ? 面 PBC ,交线为 CF . ∴直线 AC 在平面 PBC 内的射影为直线 CF . ∴ ?ACF 为 AC 与平面 PBC 所成的角. 在 Rt△ABC 中, AB ? BC ? 2 3 ,∴ BD ? 在 Rt△PDC 中, DC ? 6 , PD ? 3 .

B

P

A

D B
图(1)

C

P F A D B
图(2)

6.

C

PD?DB 3? 6 ? ? 2. 在 Rt△PDB 中, DF ? PB 3
在 Rt△FDC 中, tan ?DCF ?

DF 2 3 ? ? . DC 3 6

∴?ACF ? 30 . ? 即 AC 与平面 PBC 所成角为 30 . ?
3/6

第 13 题. 在正方形 ABCD 中, E , F 分别是 AB 及 BC 的中点, M 是 EF 的中点,沿 DE , DF 及 EF 把 △DAE ,△DFC ,△EBF 折起使 A ,B ,C 三点重合, 重合后的点记作 P , 那么在四面体 P ? DEF 中必有( ) A. DP ? 面 PEF B. DM ? 面 PEF C. PM ? 面 DEF D. PF ? 面 DEF 答案:A. 第 14 题. 直线 a 不垂直于平面 ? ,则 ? 内与 a 垂直的直线有( A. 0 条 B. 1条 C.无数条 D. ? 内所有直线 答案:C. 第 15 题. 已知三条直线 m , n , l ,三个平面 ? , ? , ? .下面四个命题中,正确的是( )



A.

? ?? ? ? ? ? //? ? ???
m//? ? ? ? m//n n//? ?

B.

m//? ? ??l ? ? l?m?

C.

D.

m??? ? ? m//n n?? ?

答案:D. 第 16 题. 在空间四边形 ABCD 中,若 AB ? BC , AD ? CD , E 为对角线 AC 的中点,下列判断正确的 是( ) A.平面 ABD ? 平面 BDC B.平面 ABC ? 平面 ABD C.平面 ABC ? 平面 ADC D.平面 ABC ? 平面 BED 答案:D.

第 17 题.

? , ? , ? , ? 是四个不同平面,若 ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? , ? ? ? ,则(



A. ? //? 且 ? //? B. ? //? 或 ? //? C.这四个平面中可能任意两个都不平行 D.这四个平面中至多有一对平面平行 答案:B. 第 18 题. 设 a , b 是异面直线,下列命题正确的是( ) A.过不在 a , b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a , b 都相交 B.过不在 a , b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a , b 垂直 C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行 答案:D.
4/6

第 19 题. 已知 a , b 是异面直线, a ? ? , b ? ? ,? ? ? ? c , AB 是 a , b 的公垂线,求证: AB//c . 答案:证明:过 A 作 b' ? ? ,则 b'//b .

∵ AB ? b ,∴ AB ? b' .
又∵ AB ? a , a ? b' ? A ,设 a , b' 确定平面 ? ,∴ AB ? ? . 又 a ? ? , c ? ? ,∴ a ? c .同理 b' ? c .
A

a
c

b'

∴ c ? ? .∴ AB//c .
第 20 题. 下面四个命题: ① 若直线 a// 平面 ? ,则 ? 内任何直线都与 a 平行; ② 若直线 a ? 平面 ? ,则 ? 内任何直线都与 a 垂直; ③ 若平面 ? // 平面 ? ,则 ? 内任何直线都与 ? 平行; ④ 若平面 ? ? 平面 ? ,则 ? 内任何直线都与 ? 垂直. 其中正确的两个命题是( ) A.①与② B.②与③ 答案:B.

?
B b

?

C.③与④

D.②与④

第 21 题. 设平面 ? ? 平面 ? ,且 ? ? ? ? l ,直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a 不与 l 垂直, b 不与 l 垂直, 那么 a 与 b ( ) A.可能垂直,不可能平行 C.可能垂直,也可能平行 答案:B. 第 22 题. 已知: 如图所示, 平面 ? ? 平面 ? , ? ? ? l , l 上取线段 AB ? 4 , 在 ?

B.可能平行,不可能垂直 D.不可能垂直,也不能垂直

?
C
B

AC ,
且 BD 分别在平面 ? 和平面 ? 内, AC ? AB ,DB ? AB ,AC ? 3 ,BD ? 12 , 求 CD 长. 答案:解:连结 BC .

A

l

?

D

∵ AC ? AB ,∴ AC ? ? , AC ? BD .

?
C

∵BD ? AB ,∴BD ? ? , BD ? BC .∴△CBD 是直角三角形.
在 Rt△BAC 中, BC ?

B A
l

AC ? AB ? 3 ? 4 ? 5 ,
2 2 2 2 2 2

在 Rt△CBD 中, CD ? 5 ? 12 ? 13 .

?

D

∴CD 长为 13 .
5/6

第 23 题. 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,若 AB1 ? BC1 .求证: AB1 ? A1C . 答案: 证明: AB 中点 D ,A1 B1 中点 D1 , 取 连结 A1 D ,BD1 ,CD ,C1 D1 , 由正三棱柱性质知,CD ? AB ,

C1 D1 ? A1 B1 .
又正三棱柱侧面与底面垂直,∴CD ? 面 ABB1 A1 , C1 D1 ? 面 ABB1 A1 ,

C1
A1

∴ A1D , BD1 分别为 A1C 与 BC1 在面 ABB1 A 上的射影. ∵ AB1 ? BC1 ,∴ AB1 ? BD1 .
又 A1 D1 ∥ BD ,∴ A1 D//BD1 .∴ A1 D ? AB1 .

D1

B1

∴ AB1 ? A1C .

A
D

C

B

第 24 题. 设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在底面 ABC 内射影 O (在 △ABC 内部,即过 P 作 PO ? 底面 ,且到三个侧面的距离相等,则 O 是 △ABC 的( ) ABC ,交于 O ) A.外心 B.垂心 C.内心 D.重心 答案:C. 第 25 题. 如图所示, AB 是圆 O 的直径, C 是异于 A , B 两点的圆周上的任意一点, PA 垂直于圆 O 所 在的平面,则 △PAB , △PAC , △ABC , △PBC 中,直角三角形的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 P 答案:D. 第 26 题. 已知直线 a , b 和平面 ? ,有以下四个命题: ① 若 a//? , a//b ,则 b//? ; ② 若 a ? ? , b ? ? ? A ,则 a 与 b 异面; ③ 若 a//b , b ? ? ,则 a ? ? ; ④ 若 a ? b , a ? ? ,则 b//? . 其中真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 答案:B.

A
D. 3

O
C

B

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