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2016新课标创新人教A版数学选修4-4 1.3 简单曲线的极坐标方程


第 1 课时 圆的极坐标方程

[核心必知] 1.曲线的极坐标方程 在极坐标系中,如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f(ρ,θ ) =0,并且坐标适合 f(ρ,θ )=0 的点都在曲线 C 上,那么方程 f(ρ,θ )=0 叫做曲线 C 的极 坐标方程. 2.圆的极坐标方程 圆心为 C(a,0)(a>0)半径为 a 的圆的极坐标方程为 ρ=2acos_θ .

[问题思考] 1.在直角坐标系中,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程.那么,在极坐标系中, 曲线上一点的所有极坐标是否一定都适合方程? 提示:在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,可是在极坐标系内, π 曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程.例如给定曲线 ρ=θ,设点 P 的一极坐标为( , 4 π π 9π ),那么点 P 适合方程 ρ=θ,从而是曲线上的一个点,但点 P 的另一个极坐标( , ) 4 4 4 就不适合方程 ρ=θ 了.所以在极坐标系内,确定某一个点 P 是否在某一曲线 C 上,只需判 断点 P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线 C 的方程即可. π 2.圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程是什么?圆心在点?a, ?处且过极点的圆 2? ? 的方程又是什么?

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π 提示:圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程为 ρ=r;圆心在点(a, )处且过极点 2 的圆的方程为 ρ=2asin_θ(0≤θ≤π).

设一个直角三角形的斜边长一定,求直角顶点轨迹的极坐标方程. [精讲详析] 本题考查极坐标方程的求法,解答此题需要根据题目特点建立恰当的极坐 标系,然后再求直角顶点的轨迹方程.

设直角三角形的斜边为 OD,它的长度是 2r,以 O 为极点,OD 所在射线为极轴,建立 极坐标系,如图所示: 设 P(ρ,θ)为轨迹上的一点, 则 OP=ρ,∠xOP=θ. 在直角三角形 ODP 中, OP=OD· cos θ, ∵OP=ρ,OD=2r,∴ρ=2rcos θ(ρ≠0,ρ≠2r). 这就是所求轨迹的方程. ————— —————————————

(1)求曲线的极坐标方程的步骤如下: ①建立适当的极坐标系. ②设 P(ρ,θ )是曲线上任一点. ③列出 ρ,θ 的关系式. ④化简整理. (2)极坐标中的坐标是由长度与角度表示的,因此,建立极坐标方程常常可以在一个三 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

角形中实现,找出这样的三角形便形成了解题的关键.

1.设 M 是定圆 O 内一定点,任作半径 OA,连接 MA,过 M 作 MP⊥MA 交 OA 于 P, 求 P 点的轨迹方程. 解:

以 O 为极点,射线 OM 为极轴,建立极坐标系,如图. 设定圆 O 的半径为 r,OM=a,P(ρ,θ)是轨迹上任意一点. ∵MP⊥MA,∴|MA|2+|MP|2= |PA|2.由余弦定理,可知|MA|2=a2+r2-2arcos θ,|MP|2=a2+ρ2-2aρcos θ.而|PA|=r -ρ,由此可得 a2+r2-2arcos θ+a2+ρ2-2aρcos θ=(r-ρ)2. a(a-rcos θ) 整理化简,得 ρ= . acos θ-r

求圆心在(ρ0,θ 0),半径为 r 的圆的方程. [精讲详析]

在圆周上任取一点 P(如图) 设其极坐标为(ρ,θ). 由余弦定理知: CP2=OP2+OC2-2OP·OCcos ∠COP,
2 ∴r2=ρ2 0+ρ -2ρρ0cos (θ-θ0). 2 故其极坐标方程为 r2=ρ2 0+ρ -2ρρ0cos (θ-θ0).

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(1)圆的极坐标方程是曲线的极坐标方程的一种特殊情况,其求解过程同曲线的极坐标

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方程的求法.
2 (2)特别地, 当圆心在极轴上即 θ0=0 时, 方程为 r2=ρ2 若再有 ρ0=r, 0+ρ -2ρρ0cos θ ;

则其方程为 ρ=2ρ0cos θ =2rcos θ ;若ρ 0=r,θ 0≠0,则方程为 ρ=2rcos(θ-θ0),这几 个方程经常用来判断图形的形状和位置.

π 2.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心为?3, ?,半径为 3,Q 点在圆周上运动. 3? ? (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)若 P 是 OQ 中点,求 P 的轨迹. 解:

(1)如图,设 Q(ρ,θ)为圆上任意一点,连接 DQ、OQ, 则|OD|=6, π ∠DOQ= -θ, 3 π π 或∠DOQ=θ- ,∠DQO= . 3 2 在 Rt△ODQ 中,|OQ|=|OD|cos (θ- π 即 ρ=6cos (θ- ). 3 (2)若 P 的极坐标为(ρ,θ),则 Q 点的极坐标为(2ρ,θ). π ∴2ρ=6cos (θ- ), 3 π ∴ρ=3cos (θ- ). 3 ∴P 的轨迹是圆. π ), 3

进行直角坐标方程与极坐标方程的互化 (1)y2=4x;(2)y2+x2-2x-1=0; 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

θ 1 (3)ρcos2 =1;(4)ρ2cos 2θ =4;(5)ρ= . 2 2-cos θ [精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化公式. (1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入 y2=4x, 得(ρsin θ)2=4ρcos θ. 化简,得 ρsin 2θ=4cos θ. (2)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入 y2+x2-2x-1=0, 得(ρsin θ)2+(ρcos θ)2-2ρcos θ-1=0, 化简,得 ρ2-2ρcos θ-1=0. θ (3)∵ρcos 2 =1, 2 1+cos θ ∴ρ· =1,即 ρ+ρcosθ=2. 2 ∴ x2+y2+x=2.化简,得 y2=-4(x-1). (4)∵ρ2cos 2θ=4, ∴ρ2cos 2θ-ρ2sin 2θ=4,即 x2-y2=4. 1 (5)∵ρ= , 2-cos θ ∴2ρ-ρcos θ=1. ∴2 x2+y2-x=1. 化简,得 3x2+4y2-2x-1=0. ————— —————————————

直角坐标方程化为极坐标方程比较容易, 只要运用公式 x=ρcos θ 及 y=ρsin θ 直接代 入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形, 构造形如 ρcos θ ,ρ sin θ ,ρ
2

的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除

以)ρ 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注 意对变形过程的检验.

π 3.把极坐标方程 ρcos?θ- ?=1 化为直角坐标方程. 6? ? π 3 1 解:由 ρcos (θ- )=1 得 ρcos θ+ ρsin θ=1, 6 2 2 将 ρcosθ=x,ρsin θ=y 代入上式,得 3 y x+ =1, 2 2

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即 3x+y-2=0.

利用圆的极坐标方程求圆心、半径,再利用圆心、半径解决问题,是高考命题的重点题 型之一. 湖南高考以填空题的形式考查了圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化, 是高考命 题的一个新亮点. [考题印证] (湖南高考)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 系.若曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sin θ ,则曲线 C 的直角坐标方程为________. [命题立意] 本题考查将圆的极坐标方程化为直角坐标方程的方法. [解析] ∵ρ=2sin θ, ∴ρ2=2ρsin θ, ∴x2+y2=2y, 即曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0. 答案:x2+y2-2y=0

一、选择题 1.(北京高考)在极坐标系中,圆 ρ=-2sin θ 的圆心的极坐标是( )

π A.?1, ? 2? ?

π B.?1,- ? 2? ?

C.(1,0) D.(1,π ) 解析:选 B 因为该圆的直角坐标方程为 x2+y2=-2y,即为 x2+(y+1)2=1,圆心的

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π 直角坐标方程为(0,-1),化为极坐标是(1,- ). 2 π 2.极坐标方程 ρ=cos? -θ?所表示的曲线是( ?4 ? A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 π 2 2 解析:选 D ∵ρ=cos ( -θ)= cos θ+ sin θ, 4 2 2 )

ρ2= 2 ρcos θ+ 2 ρsin θ,
∴x2+y2= 2 2 x+ y,这个方程表示一个圆. 2 2

2

2

π 3.在极坐标方程中,曲线 C 的方程是 ρ=4sin θ ,过点?4, ?作曲线 C 的切线,则 6? ? 切线长为( A.4 C.2 2 ) B. 7 D.2 3

π 解析: 选 C ρ=4sin θ化为普通方程为 x2+(y-2)2=4, 点(4, )化为直角坐标为(2 3, 6 2),切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角形,由勾股定理: 切线长为 (2 3)2+(2-2)2-22=2 2. π 4.(安徽高考)在极坐标系中,点?2, ?到圆 ρ=2cos θ 的圆心的距离为( 3? ? A.2 B. C. π2 1+ 9 π2 4+ 9 D. 3 =1 ?x=ρcos θ=2cos π 3 π 由? 可知,点(2, )的直角坐标为(1, 3 π ?y=ρsin θ=2sin 3 = 3 )

解析:选 D

3),圆

ρ=2cos θ的方程为 x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,则圆心到点(1, 3)的距离为 3. 二、填空题 5.(江西高考)若曲线的极坐标方程为 ρ=2sin θ +4cos θ ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________.
?x=ρcos θ ? 解析:∵? ,ρ2=x2+y2,∴ρ2=2ρsin θ+4ρcosθ?x2+y2=2y+4x?x2 ? y = ρ sin θ ?

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+y2-4x-2y=0. 答案:x2+y2-4x-2y=0 π 6.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心坐标为 C?2, ?,半径 R= 5,则圆 C 的极坐标 3? ? 方程为________. π 解析:将圆心 C(2, )化成直角坐标为(1, 3), 3 半径 R= 5,故圆 C 的方程为(x-1)2+(y- 3)2=5. 再将 C 化成极坐标方程, 得(ρcos θ-1)2+(ρsin θ- 3)2=5. π 化简,得 ρ2-4ρcos (θ- )-1=0,此即为所求的圆 C 的极坐标方程. 3 π 答案:ρ2-4ρcos (θ- )-1=0 3 π 7. (天津高考)已知圆的极坐标方程为 ρ=4cos θ ,圆心为 C, 点 P 的极坐标为?4, ?, 3? ? 则|CP|=________. 解析:圆 ρ=4cos θ的直角坐标方程为 x2+y2=4x,圆心 C(2,0).点 P 的直角坐标为 (2,2 3),所以|CP|=2 3. 答案:2 3 8.已知曲线 C 与曲线 ρ=5 3cos θ -5sin θ 关于极轴对称,则曲线 C 的极坐标方程 是________. π 解析:曲线 ρ=5 3cos θ-5sin θ=10cos (θ+ ),它关于极轴对称的曲线为 ρ= 6 π π 10cos (-θ+ )=10cos (θ- ). 6 6 π 答案:ρ=10cos (θ- ) 6 三、解答题 9.

如图,在圆心极坐标为 A(4,0),半径为 4 的圆中,求过极点 O 的弦的中点轨迹的极坐 标方程,并将其化为直角坐标方程.

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解:设 M(ρ,θ)是轨迹上任意一点,连接 OM 并延长交圆 A 于点 P(ρ0,θ0),则有θ0 =θ,

ρ0=2ρ.
由圆心为(4,0),半径为 4 的圆的极坐标方程为 ρ=8cos θ得ρ0=8cos θ0, 所以 2ρ=8cos θ, 即 ρ=4cos θ, 故所求轨迹方程是 ρ=4cos θ. 因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ, 由 ρ=4cos θ得 ρ2=4ρcos θ, 所以 x2+y2=4x, 即 x2+y2-4x=0 为轨迹的直角坐标方程. π π 10.指出极坐标方程 ρ=2cos?θ+ ?,ρ =2cos?θ- ?,ρ =2cos θ 代表的曲线,并 3? 3? ? ? 指出它们之间的关系. π π 解:ρ=2cos (θ+ )是以点(1,- )为圆心,半径为 1 的圆. 3 3

ρ=2cos (θ- 3 )是以点(1, 3 )为圆心,半径为 1 的圆. ρ=2cos θ是以点(1,0)为圆心,半径为 1 的圆.
π π 因此曲线 ρ=2cos (θ+ ),可看成曲线 ρ=2cos θ绕极点顺时针旋转 得到的曲线. 3 3

π

π

ρ=2cos (θ- 3 )是由曲线 ρ=2cos θ绕极点逆时针旋转 3 得到的曲线.
11.已知半径为 R 的定圆 O′外有一定点 O,|OO′|=a(a>R),P 为定圆 O′上的动点,以 OP 为边作正三角形 OPQ(O、P、Q 按逆时针方向排列),求 Q 点的轨迹的极坐标方程. 解:如图所示,以定点 O 为极点,射线 OO′为极轴正向建立极坐标系, 则⊙O′的极坐标方程是 ρ2-(2acos θ)ρ+a2-R2=0. π 设 Q(ρ,θ),则有 P(ρ,θ- ), 3 又 P 在⊙O′上,

π

π

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π ∴ρ2-[2acos (θ- )]ρ+a2-R2=0. 3 即所求 Q 点的轨迹方程是:

ρ2-2aρcos (θ- 3 )+a2-R2=0.

π

第 2 课时 直线的极坐标方程

[核心必知] 直线的极坐标方程 1.当直线 l 过极点,从极轴到 l 的角是 α,则 l 的方程为:θ =α(ρ∈R). 2.当直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴时,l 的方程为 ρcos_θ =a. 3.若直线经过点 M(ρ0,θ 0),且从极轴到此直线的角为 α,则直线 l 的极坐标方程为: ρsin_(θ-α)=ρ0sin_(θ0-α). [问题思考] 1.在直线的极坐标方程中,ρ 的取值范围是什么? 提示:ρ 的取值范围是全体实数,即 ρ∈R. 2.在极坐标系中,点 M(ρ,θ )与点 P(-ρ,θ )之间有什么关系? 提示:若 ρ<0,则-ρ>0,因此点 M(ρ,θ)与点 P(-ρ,θ)关于极点对称.

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π 求过点 A?2, ?且平行于极轴的直线的极坐标方程. 4? ? [精讲详析] 本题考查直线的极坐标方程的求法,解题的关键是通过解直角三角形得到 动点 M 的等式.然后转化为关于 ρ,θ的等式.

如图所示,设 M(ρ,θ)为直线 l 上的任意一点. 过点 M 作 MH⊥x 轴, π ∵A(2, ), 4 ∴|MH|=2sin π = 2. 4

在 Rt△OMH 中,|MH|=|OM|sin θ,即 ρsin θ= 2. π ∴过点 A(2, )且平行于极轴的直线的极坐标方程为 4

ρsin θ= 2.

—————

—————————————

求直线极坐标方程的步骤: (1)设(ρ,θ )为直线上任一点的极坐标. (2)写出动点满足的几何条件. (3)把上述条件转化为 ρ,θ 的等式. (4)化简整理.

1.若将例题中的“平行”改为“垂直”,如何求解? 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

解:

π 如图所示,在直线 l 上任意取点 M(ρ,θ),∵A(2, ), 4 ∴|OH|=2cos π = 2. 4

在 Rt△OMH 中, |OH|=|OM|cos θ, ∴ 2=ρcos θ,即 ρcosθ= 2. π ∴过 A(2, )且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ= 2. 4

求出下列直线的极坐标方程. (1)过定点 M(ρ0,θ 0),且与极轴成 α 弧度的角; (2)过定点 M(ρ0,θ 0),且与直线 θ=θ0 垂直. [精讲详析] 本题考查直线的极坐标方程的求法.解答本题需要根据已知条件画出极坐 标系,然后借助平面几何的知识建立 ρ 与 θ 间的关系.

(1)设 P(ρ,θ)为直线上任意一点(如图),且记∠OPM=∠1, ∠OMP=∠2, 则∠1=α-θ,∠2=π-(α-θ0). 在△OMP 中应用正弦定理: ρ ρ0 = , sin ∠2 sin ∠1 sin (π-∠2) 即 ρ=ρ0· sin ∠1 sin (α-θ0) =ρ0· . sin(α-θ) 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

即直线方程为 ρsin (θ-α)=ρ0sin (θ0-α). (2)设 P(ρ,θ)为直线上任意一点(如图),由△OMP 为直角三角形,显然有,ρcos (θ- θ0)=ρ0.这就是所求直线方程. ————— —————————————

对比直角坐标系中直线的方程,可将(1)看成是直线方程的点斜式,不难验证当 θ0=0, π π α = 时,直线(1)即 ρcos θ =ρ0;当 θ0= ,α =0 时,即 ρsin θ =ρ0. 2 2

2.(上海高考)

π 如图,在极坐标系中,过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α= .若将 l 的极坐标方程 6 写成 ρ=f(θ)的形式,则 f(θ)=________. OM OP 解析: 在直线 l 上任取点 P(ρ, θ), 在△OPM 中, 由正弦定理得 = , sin ∠OPM sin ∠OMP 即 2 ρ 1 1 = ,化简得ρ= ,故 f(θ)= . π 5π π π sin ( -θ) sin sin ( -θ) sin ( -θ) 6 6 6 6 答案: 1 π sin ( -θ) 6

已知⊙C:ρ=2cos θ ,直线 l:ρcos θ -ρsin θ =4,求过点 C 且与直线 l 垂 直的直线的极坐标方程. [精讲详析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化及直线极坐标方程的求法.解答本题需 要先求出直线的一般方程,然后化一般方程为极坐标方程即可. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

⊙C 的直角坐标方程是 x2+y2-2x=0, 即(x-1)2+y2=1. 直线 l 的直角坐标方程为 x-y-4=0. 圆心 C(1,0), 所以过点 C 与 l 垂直的直线方程为 x+y-1=0. 化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ-1=0, π 2 即 ρcos (θ- )= . 4 2 ————— —————————————

解答此类问题应先将已知条件中的极坐标方程化为直角坐标方程, 然后在直角坐标系下 研究所要求解的问题,最后再将直角坐标方程转化为极坐标方程即可.

3.在极坐标系(ρ,θ )(0≤θ<2π )中,求曲线ρ (cosθ +sin θ )=1 与 ρ(sin θ -cos θ ) =1 的交点的极坐标. 解:由 ρ(cos θ+sin θ)=1,得 x+y=1; 由 ρ(sin θ-cos θ)=1,得 y-x=1.
?x+y=1 ? ?x=0, ? 由? 得? ?y-x=1 ? ?y=1. ?

∴两条直线的交点的直角坐标为(0,1), π 化为极坐标为(1, ). 2

直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化及直线与圆的位置关系的判断是高考命题的 重点内容. 陕西高考以填空题的形式考查了直线和圆的极坐标方程以及直线与圆的位置关系. [考题印证] (陕西高考)直线 2ρcos θ =1 与圆 ρ=2cosθ 相交的弦长为________. [命题立意] 圆的位置关系. [解析] 直线的方程为 2x=1,圆的方程为 x2+y2-2x=0,圆心为(1,0),半径 r=1, 本题主要考查直线和圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化以及直线与

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圆心到直线的距离为 d= 答案: 3

|2-1|
2

1 1 l = ,设所求的弦长为 l,则 12=( )2+( )2,解得 l= 3. 2 2 2 +0 2

一、选择题 1.极坐标方程(ρ-1)(θ-π )=0(ρ≥0)表示的图形是( A.两个圆 C.一个圆和一条射线 B.两条直线 D.一条直线和一条射线 )

解析:选 C 由(ρ-1)(θ-π)=0 得 ρ=1 或 θ=π, 又 ρ≥0, 故该方程表示的图形是一个圆和一条射线. 2.在极坐标系中与圆 ρ=4sin θ 相切的一条直线的方程为( A.ρ cos θ =2 B.ρ sin θ =2 π π C.ρ =4sin?θ+ ? D.ρ =4sin?θ- ? 3? 3? ? ? 解析: 选A ρ=4sin θ的普通方程为 x2+(y-2)2=4, ρcos θ=2 的普通方程为 x=2, )

圆 x2+(y-2)2=4 与直线 x=2 显然相切. 3.直线 θ=α 和直线 ρsin(θ-α)=1 的位置关系是( A.垂直 B.平行 )

C.相交但不垂直 D.重合 解析:选 B 直线 θ=α 化为直角坐标方程为 y=xtan α,ρsin(θ-α)=1 化为 ρsin θcos α-ρcos θsin α=1, 1 即 y=xtan α+ . cos α 所以两直线平行. π 4.在极坐标系中,曲线 ρ=4sin?θ- ?关于( 3? ? )

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π 5π A.直线 θ= 对称 B.直线 θ= 对称 3 6 π C.点?2, ?对称 3? ? D.极点对称 π ),得 ρ2=2ρsin θ-2 3ρcos θ, 3

解析:选 B 由方程 ρ=4sin (θ- 即 x2+y2=2y-2 3x. 配方,得(x+ 3)2+(y-1)2=4.

它表示圆心在(- 3,1)、半径为 2、且过原点的圆. 5π 所以在极坐标系中,它关于直线 θ= 成轴对称. 6 二、填空题 π 5.(北京高考)在极坐标系中,点?2, ?到直线 ρsin θ =2 的距离等于________. 6? ? π 解析:由题意知,点?2, ?的直角坐标是( 3,1),直线ρsin θ=2 的直角坐标方程 6? ? 是 y=2,所以所求的点到直线的距离为 1. 答案:1 π 6.在极坐标系中,圆 ρ=4 被直线 θ= 分成两部分的面积之比是________. 4 π 解析:∵直线 θ= 过圆 ρ=4 的圆心, 4 ∴直线把圆分成两部分的面积之比是 1∶1. 答案:1∶1 7.在极坐标系(ρ,θ )(0≤θ<2π )中,曲线 ρ=2sin θ 与 ρcos θ =-1 的交点的极坐标 为________. 解析:由 ρ=2sin θ,得 ρ2=2ρsin θ, 其普通方程为 x2+y2=2y,

ρcosθ=-1 的普通方程为 x=-1,
2 2 ? ?x +y =2y 联立? , ?x=-1 ?

? ?x=-1 3π 解得? ,点(-1,1)的极坐标为( 2, ). 4 ?y=1 ?

3π 答案:( 2, ) 4

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π 8.在极坐标系中,定点 A?1, ?,点 B 在直线 l:ρcos θ +ρsin θ =0 上运动,当线 2? ? 段 AB 最短时,点 B 的极坐标是________. 解析:

π 将 ρcos θ+ρsin θ=0 化为直角坐标方程为 x+y=0, 点 A(1, )化为直角坐标得 A(0, 2 1),如图,过 A 作 AB⊥直线 l 于 B,因为△AOB 为等腰直角三角形,又因为|OA|=1, 则|OB|= 答案:( 3π 2 2 3π ,θ= ,故 B 点的极坐标是 B( , ). 2 4 2 4

2 3π , ) 2 4

三、解答题 9.求过(-2,3)点且斜率为 2 的直线的极坐标方程. 解:由题意知,直线的直角坐标方程为 y-3=2(x+2), 即:2x-y+7=0, 设 M(ρ,θ)为直线上任意一点, 将 x=ρcos θ,y=ρsin θ代入直角坐标方程 2x-y+7=0 得:2ρcos θ-ρsin θ+7=0, 这就是所求的极坐标方程. 10. 在极坐标系中, 圆 C: ρ=10cos θ 和直线 l: 3ρcos θ -4ρsin θ -30=0 相交于 A、 B 两点,求线段|AB|的长. 解:分别将圆 C 和直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程: 圆 C:x2+y2=10x,即(x-5)2+y2=25,圆心 C(5,0). 直线 l:3x-4y-30=0. |15-0-30| 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= =3. 5 所以|AB|=2 25-d2=8. π 2 11.在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ +sin θ 和直线 l:ρ sin?θ- ?= , 4? 2 ? (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 θ∈(0,π )时,求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标. 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

解:(1)圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ,圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2=x+y, 即 x2+y2-x-y=0. π 2 直线 l:ρsin (θ- )= , 4 2 即 ρsin θ-ρcos θ=1,则直线 l 的直角坐标方程为 y-x=1. 即 x-y+1=0.
2 2 ? ?x +y -x-y=0, ? ?x=0, π ? (2)由 得? 故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为(1, ). 2 ? ? ?x-y+1=0, ?y=1.

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选修4-4 1.3简单曲线的极坐标方程
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人教A版数学选修4-4检测:第一讲三简单曲线的极坐标方程
人教A版数学选修4-4检测:第三简单曲线的极坐标方程 - 第讲 坐标系 简单曲线的极坐标方程 A级 、选择题 1.极坐标方程 ρcos θ=-6 表示( A...
1.3 简单曲线的极坐标方程 课后检测(人教A版选修4-4)B4
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选修4-4《1.3简单曲线的极坐标方程》知能提升演练
选修4-41.3简单曲线的极坐标方程》知能提升演练 - 第三节 一、选择题 简单曲线的极系坐标方程 1.已知点 P 的极坐标为(1,π ),那么过点 P 且垂直于...
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