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运用定比分点的向量公式解题


运用定比分点的向量公式解题
浙江省诸暨市学勉中学(311811)郭天平 教材给出了直角坐标系内线段的定比分点的坐标公式,由于直角坐标系中的点与向量有种一一对应的 关系,我们也可得到线段的定比分点的向量公式,这为我们解决一些数学问题提供了方便,更能为我们开 拓解题思路,提高解题分析的能力。 1.定比分点向量公式:如图 1,设 P 1 ?x1 , y1 ? 、 P 2 ( x 2 , y 2 ) 平面上的 P1 两点,点 P 线段 P 1P 2 上不同于 P 1、P 2 的任一点,则存在一个实数 ? ,使 P P2

? 叫做点 P 分有向线段 P P 1 P ? ? PP 2, 1P 2 所成的比,则

O

图1

OP ?

OP 1 ? 1 ? ? OP 2 ? OP OP2 。 1 ? 1? ? 1? ? 1? ?

2.证明:? P 1 P ? ? PP 2, P 1 P ? OP ? OP 1 , PP 2 ? OP 2 ? OP ,

?OP ? OP 1 ? ? ? ? OP 1 ? ? OP 2 ? OP ,?OP? 1 ? ?OP 2 ,故 OP ?
3.应用

?

?

OP 1 ? ? OP 2 1? ?

例 1.如图 2,已知 A?1,1?, B?2,3?, C ?8,?3? ,且 D, E 是线段 BC 的三等分点,试求向量 AD, AE 的坐 标。 解析:? D, E 是线段 BC 的三等分点,? BD ? 得 ,

AD ? AB ?

1 AC ? AD 2

?

?



1 DC , BE ? 2 EC , 2 1 AE ? AB ? AC ? AE , 2

y A o

B D E 图2 C x

?

?

? AD ?

2 AB ? AC AB ? 2 AC , AE ? . 3 3

? A?1,1?, B?2,3?, C ?8,?3? ,? AB ? ?1,2?, AC ? ?7,?4? ,故 AD ? ?3,0?, AE ? ?5,?2?
例 2.如图 3 所示,在 ?ABC 中, D 为边 BC 上的点,且 BD ? k DC , E 为 AD 上的一点,且

DE ? l EA,延长 BE 交 AC 于 F ,求 F 分有向线段 CA 所成的比 ? 。
1 ? BC ? BA , 1? ? 1? ? 1 l BD ? BA , 又 DE ? l EA,∴ BE ? 1? l 1? l k BC , 而 BD ? k DC ? 1? k
解:∵ CF ? ? FA,∴ BF ? A F E B D 图3 C

k l BC ? BA , ∴ BE ? (1 ? l )(1 ? k ) 1? l

∵ B 、 E 、 F 共线,∴设 BE ? t BF ,而 t BF ? ∴

t ?t BC ? BA 1? ? 1? ?

k l t ?t BC ? BA ? BC ? BA (1 ? l )(1 ? k ) 1? l 1? ? 1? ?

k ? t ? ? l (1 ? k ) ?1 ? ? (1 ? l )(1 ? k ) ∴? ,解得 ? ? 。 k ? ?t ? l ? ?1 ? ? 1 ? l
例 3.如图 4 所示,在平行四边形 ABCD 中, P 点在线段 AB 上,且

AP ? m , Q 在线段 AD 上,且 PB
Q D

PR AQ 的值。 ? n , BQ 与 CP 相交于 R ,求 RC QD
解析:取 BA ? a , BC ? b 为两基底, PR ? ? RC , ∴ P B R

A

PR RC

? ? ,由题意有 AP ? mPB , AQ ? nQD ,

C 图4

1 1 1 PA ? BA ? a, m m ?1 m ?1 1 n 1 n n BA ? BD ? a? ( a ? b) ? a ? b, 由定比分点向量公式得, BQ ? 1? n 1? n 1? n 1? n 1? n
得, BP ?

BR ?

1 ? 1 ? BP ? BC ? a? b, 1? ? 1? ? (1 ? ? )(1 ? m) 1? ? t ?t n a? b?a? b, (1 ? ? )(1 ? m) 1? ? 1? n

又 B 、 R 、 Q 三点共线,∴存在实数 t 使 BQ ? t BR ,∴



?t n t n PR n ? ? 1 ,且 ? 。∴ ? ? ,即 。 1? ? 1? n (1 ? ? )(1 ? m) (1 ? m)(1 ? n) RC (1 ? m)(1 ? n)
【评注】观察定比分点向量公式:OP ?

OP 1 ? 1 ? ? OP 2 ? OP OP2 ,它实质上是平面向量 1 ? 1? ? 1? ? 1? ?

基本定理的应用,用一组不共线的基底 OP 1 、 OP 2 表示向量 OP ,存在的实数对 ?

? ? ? 1 , ? 满足 ?1? ? 1? ? ?

1 ? m ? n ? 1 ,则可以说明 P, P ? ? 1(这是一个定值) ,因此,若 OP ? mOP 1, P 2三 1 ? nOP 2 ,且 1? ? 1? ?
点必共线。


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