高中数学教材中的问题与变式(7)数列

高中数学教材中的经典问题与变式 （8）数列 类型 1：有关通项问题 1、利用 an ? ? (n ? 1) ? S1 求通项． ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) （北师大版第 23 页习题 5）数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 ． （1）试写出数列的前 5 项； （2）数列 {an } 是 等差数列吗？（3）你能写出数列 {an } 的通项公式吗？ 变式 1：设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列 {an } 的通项公式； 时, a1 ? S1 ? 2; 解： （1） ：当 n ? 1 当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2, 故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 变式 2：数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， an ?1 ? 的通项公式． 1 S n ，n=1，2，3，??，求 a2，a3，a4 的值及数列{an} 3 1 S n ，n=1，2，3，??，得 3 1 1 1 1 1 16 1 1 4 a2 ? S1 ? a1 ? ， a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? ， a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? ， 3 3 3 3 3 27 3 3 9 1 1 4 由 an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an （n≥2） ，得 an ?1 ? an （n≥2） ， 3 3 3 1 4 n?2 1 又 a2= ，所以 an= ( ) (n≥2), 3 3 3 解： （I）由 a1=1， an ?1 ? ? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? 1 4 n ? 2 ( ) ? ?3 3 n ?1 n≥ 2 变式题 3：已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ，且 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) ， 证明数列 ?an ? 1? 是等比数列． 解：由已知 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) 可得 n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 两式相减得 Sn?1 ? Sn ? 2? Sn ? Sn?1 ? ?1 即 an?1 ? 2an ? 1 从 而 an?1 ?1 ? 2? an ? 1 ? 当 n ? 1 时 S2 ? 2S1 ?1 ? 5 所 以 a2 ? a 1 ? 2a 1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a2 ? 11 从而 a2 ?1 ? 2? a1 ?1? 故总有 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ， n ? N * 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 从而 类型 2：解方程求通项 an?1 ? 1 ? 2 即数列 ?an ? 1? 是等比数列； an ? 1 2.（人教版第 40 页习题 2.2A 组第 1 题）在等差数列 {an } 中， （1）已知 a1 ? 2 ， d ? 3 ， n ? 10 ，求 an ； （2）已知 a1 ? 3 ， an ? 21 ， d ? 2 ，求 n ； （3）已知 a1 ? 12 ， a6 ? 27 ，求 d ； （4）已知 d ? ? 1 ， a7 ? 8 ，求 a1 ． 3 （2） n ? 10 ； （3） d ? 3 ； （4） a1 ? 10 . 解： （1） an ? 29 ； 变式 1： {a