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高中数学教材中的问题与变式(7)数列


高中数学教材中的经典问题与变式 (8)数列 类型 1:有关通项问题 1、利用 an ? ? (n ? 1) ? S1 求通项. ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) (北师大版第 23 页习题 5)数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1 . (1)试写出数列的前 5 项; (2)数列 {an } 是 等差数列吗?(3)你能写出数列 {an } 的通项公式吗

? 变式 1:设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn=2n2,求数列 {an } 的通项公式; 时, a1 ? S1 ? 2; 解: (1) :当 n ? 1 当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2, 故{an}的通项公式为 an ? 4n ? 2,即 {an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. 变式 2:数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1, an ?1 ? 的通项公式. 1 S n ,n=1,2,3,??,求 a2,a3,a4 的值及数列{an} 3 1 S n ,n=1,2,3,??,得 3 1 1 1 1 1 16 1 1 4 a2 ? S1 ? a1 ? , a3 ? S2 ? (a1 ? a2 ) ? , a4 ? S3 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? , 3 3 3 3 3 27 3 3 9 1 1 4 由 an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an (n≥2) ,得 an ?1 ? an (n≥2) , 3 3 3 1 4 n?2 1 又 a2= ,所以 an= ( ) (n≥2), 3 3 3 解: (I)由 a1=1, an ?1 ? ? 1 ? ∴ 数列{an}的通项公式为 an ? ? 1 4 n ? 2 ( ) ? ?3 3 n ?1 n≥ 2 变式题 3:已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) , 证明数列 ?an ? 1? 是等比数列. 解:由已知 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) 可得 n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 两式相减得 Sn?1 ? Sn ? 2? Sn ? Sn?1 ? ?1 即 an?1 ? 2an ? 1 从 而 an?1 ?1 ? 2? an ? 1 ? 当 n ? 1 时 S2 ? 2S1 ?1 ? 5 所 以 a2 ? a 1 ? 2a 1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a2 ? 11 从而 a2 ?1 ? 2? a1 ?1? 故总有 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , n ? N * 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 从而 类型 2:解方程求通项 an?1 ? 1 ? 2 即数列 ?an ? 1? 是等比数列; an ? 1 2.(人教版第 40 页习题 2.2A 组第 1 题)在等差数列 {an } 中, (1)已知 a1 ? 2 , d ? 3 , n ? 10 ,求 an ; (2)已知 a1 ? 3 , an ? 21 , d ? 2 ,求 n ; (3)已知 a1 ? 12 , a6 ? 27 ,求 d ; (4)已知 d ? ? 1 , a7 ? 8 ,求 a1 . 3 (2) n ? 10 ; (3) d ? 3 ; (4) a1 ? 10 . 解: (1) an ? 29 ; 变式 1: {a

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