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15.1.2两角和与差的正弦ppt


15.1.2两角和与差的 余弦公式

复习回顾
1、 两角和的余弦公式

C(? ?? )
C(? ?? )

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
2、 两角差的余弦公式

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

?

有了两角和与两角差的余弦公式,自 然想得到两角和的正弦以及两角差的 正弦、余弦公式,对此,我们将逐个 进行探究.

今天先来研究两角和与差的正弦 公式
?
3

思考1、什么公式可以实现由正弦到余弦
的转化?
已学知识

思考

新知识

诱导公式
思考2:结合
和 ,你能推 导出sin(α +β ) ,sin(α -β )分别等于 什么吗?
4

C(? ?? )

C(? ?? )

复习回顾
已知:
cos300 ? 3 2

sin 600 ?

3 2

cos300 ? sin(900 ? 300 )
sin 30 0 ? 1 2

cos600 ?

1 2

sin300 ? cos(900 ? 300 )

sin(? ? ? ) ? cos 900 ? (? ? ? ) ? cos (900 ? ? ) ? ? )
? cos(900 ? ? ) cos ? ? sin(900 ? ? ) sin ?
? sin ? cos ? ? cos? sin ?

?

?

?

?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

探索新知
sin(? ? ? ) ? sin[? ? (? ? )]

? sin ? cos ? ? cos? sin ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

1、两角和的正弦公式,简记为

S (? ? ? )

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
2、两角差的正弦公式,简记为

S (? ? ? )

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

探索新知
两角和(差)的余弦公式:
比较两组公式的特点

? β) = cosαcosβ ? sinαsinβ cos(α ? β) = cosαcosβ ? sinαsinβ
cos(α

1. ?、? 的取值范 围都是任意角. 2.余弦公式是同 名三角函数相乘; 正弦公式是异 名三角函数相乘. 3.余弦公式等号 两边加减相反; 正弦公式等号 两边加减一致.

两角和(差)的正弦公式:
sin(α

sin(α ? β) = sinαcosβ ? cosαsinβ

? β) = sinαcosβ ? cosαsinβ

新知应用
例1 不用计算器,求下列各值:

(1) sin 15

?

(2) cos75

?

3 3 ? 例2 已知 sin ? ? ? , 且? ? (?, ? )求 sin( ? ? )的值。 5 2 3

练习
1, 不用计算器,求下列各 式的值: ( 1)sin 105? (2) sin(?15? ) (3) sin 80? cos 20? ? cos80? sin 20? (4) sin 33? cos 27? ? cos33? sin 27?
4 ? ? ? 2 已知 sin ? ? , ? ? ( ,? ), 求 sin( ? ? ), sin( ? ? )的值。 5 2 3 3

3 1 例5 已知sin ? ? , cos ? ? ? , 且?为第二象限角, ?为 4 3 第三象限角,求sin ?? ? ? ?, sin ?? ? ? ?的值。

练习
?3 ? ?3 ? 1, 证明sin ? ? ? ? ? ? ? cos? , cos? ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? 3 3 ?? ? ? 3 ? 2,已知sin ? ? , cos ? ? ? , ? ? ? , ? ?, ? ? ? ? , ? ? 5 4 ?2 ? ? 2 ? 求 sin ?? ? ? ?, cos?? ? ? ?的值。 3,证明下列各式 3 1 ?? ? ( 1) sin ? ? cos? ? sin ? ? ? ?; 2 2 6? ? (2) sin x ? 3 cos x ? 2 sin(x ? ). 3

?

小结
1
、两角和与差的正弦、余弦公式;

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? cos ? cos ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

2 、利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角 函数式和证明三角恒等式,灵活使用公式.

3.常用技巧
(1)要注意公式的正用、逆用,尤其是公式的逆用, 要求能正确地找出所给式子与公式右边的差异, 并积极创造条件逆用公式. (2)注意拆角、拼角的技巧,将未知角用已知角表 示出来,使之能直接运用已知角的函数值.

, 4、 为方便起见,公式 S (α+β) , C (α + β)
称为和角公式, 公式 S 称为差角公式. C , , (αβ ) (αβ - ) 怎样理解这四个公式的逻辑联系?
C(α-β) T(α-β) S(α-β) S(α+β) C(α+β) T(α+β)


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