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【走向高考】(新课标)2017高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 函数与方程习题


2017 高考数学一轮复习 第二章 函数、 导数及其应用 第 8 讲 函数与 方程习题
A 组 基础巩固 一、选择题 1.下列函数在其定义域内,既是奇函数又存在零点的是 导学号 25400411 ( A.f(x)=e -1 2 C.f(x)= -x
x

)

1 B.f(x)=x+

x

x

2 2 D.f(x)= -x

x

[答案] C [解析] 由于函数 f(x)=e -1,f(-x)=e -1≠-f(x),故函数不是奇函数,排除 A; 1 1 1 1 由于函数 f(x)=x+ 满足 f(-x)=-x+ =-(x+ )=-f(x), 故 f(x)=x+ 是奇函数, x -x x x 2 2 但方程 f(x)=0 无解,故不存在零点,排除 B;由于函数 f(x)= -x 满足 f(-x)= -(- x -x
x
-x

x)=-( -x)=-f(x),故 f(x)= -x 是奇函数,又 f(1)·f(2)=1×(-1)<0,故在区间 x x
2 2 2 2 2 2 (1,2)上存在零点,C 满足条件;由于函数 f(x)= -x ,f(-x)= -(-x) ≠-( -x ) x -x x =-f(x),所以 f(x)不是奇函数,排除 D,故选 C. 1 x-2 3 2. (2015·山东威海一模)函数 f(x)=x -( ) 的零点所在的区间为 导学号 25400412 2 ( ) A.(0,1) C.(2,3) [答案] B [解析] ∵f(1)=-1<0,f(2)=7>0, ∴f(1)·f(2)<0.又函数 f(x)在定义域上单调递增, ∴由零点存在性定理得 f(x)的零点 所在区间为(1,2).
?e +a,x≤0, ? 3.(2015·湖北重点中学上学期期末)已知函数 f(x)=? ? ?2x-1,x>0
x

2

2

B.(1,2) D.(3,4)

(a∈R),若函

数 f(x)在 R 上有两个零点,则 a 的取值范围是 导学号 25400413 ( A.(-∞,-1) C.(-1,0) B.(-∞,0) D.[-1,0)

)

1

[答案] D 1 x [解析] 当 x>0 时,f(x)=2x-1.令 f(x)=0,解得 x= ;当 x≤0 时,f(x)=e +a, 2 此时函数 f(x)=e +a 在(-∞,0]上有且仅有一个零点,等价转化为方程 =-a 在(-∞, 0]上有且仅有一个实数根,而函数 y=e 在(-∞,0]上的值域为(0,1],所以 0<-a≤1,解 得-1≤a<0.故选 D. 4 . (2015· 浙 江 五 校 调 研 ) 已 知 函 数
?2 -1,x≥0 ? f(x) = ? ?x+2,x<0 ?
x-2 x x x

, g(x) =

x -2x,x≥0 ? ? ?1 ,x<0 ? ?x
1 A.- + 3 2 C.-1+ 3 2

2

,则函数 f(g(x))的所有零点之和是 导学号 25400414 (

)

1 B. + 3 2 D.1+ 3 2

[答案] B [解析] 由 f(x)=0 得 x=2 或 x=-2,由 g(x)=2 得 x=1+ 3,由 g(x)=-2 得 x= 1 1 1 - ,所以函数 f(g(x))的所有零点之和是- +1+ 3= + 3,故选 B. 2 2 2 5.(2015·浙江模拟)设函数 f(x)的零点为 x1,g(x)=4 +2x-2 的零点为 x2,若|x1-
x

x2|≤0.25,则 f(x)可以是 导学号 25400415 (
A.f(x)=(x-1)
2

) B.f(x)=e -1 D.f(x)=4x-1
x

1 2 C.f(x)=ln(x- ) 2 [答案] D

3 1 1 [解析] 选项 A,x1=1;选项 B,x1=0;选项 C,x1= 或- ;选项 D,x1= ,∵g(1) 2 2 4 1 1 1 1 1 =4+2-2>0,g(0)=1-2<0,g( )=2+1-2>0,g( )= 2+ -2<0,则 x2∈( , ), 2 4 2 4 2 故选 D. 6. 已知函数 f(x)满足 f(x)+1= 1 , 当 x∈[0,1]时, f(x)=x, 若在区间(-1,1] f?x+1? )

上方程 f(x)-mx-m=0 有两个不同的实根, 则实数 m 的取值范围是 导学号 25400416 ( 1 A.[0, ) 2 1 B.[ ,+∞) 2

2

1 C.[0, ) 3 [答案] D

1 D.(0, ] 2

[解析] 解法一 方程 f(x)-mx-m=0 有两个不同的实根等价 于方程 f(x)=m(x+1)有两个不同的实根,等价于直线 y=m(x+1) 与函数 f(x)的图象有两个不同的交点.因为当 x∈(-1,0)时,x+1 ∈(0,1),所以 f(x)+1= 1 1 1 = ,所以 f(x)= -1, f?x+1? x+1 x+1

x,x∈[0,1] ? ? 所以 f(x)=? 1 -1,x∈?-1,0? ? ?x+1

.在同一平面直角坐标系

内作出直线 y=m(x+1)与函数 f(x),x∈(-1,1]的图象,由图象可知,当直线 y=m(x+1) 1 与函数 f(x)的图象在区间(-1,1]上有两个不同的公共点时,实数 m 的取值范围为(0, ]. 2 解法二 当 x∈(-1,0)时, x+1∈(0,1), f(x)+1= 1

f?x+1? x+1



1

, 所以 f(x)=

1

x+1

x,x∈[0,1] ? ? -1,所以 f(x)=? 1 -1,x∈?-1,0? ? ?x+1

1 1 1 .取 m= ,方程 f(x)- x- =0 在区间(- 2 2 2

1,1]上有两个不同的实根 x1= 3-2,x2=1,排除 A、C;取 m=1,方程 f(x)-x-1=0 在 区间(-1,1]上有且仅有一个实根 二、填空题 7.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0, 可得其中一个零点 x0∈________,第二次应计算________. 导学号 25400417 [答案] (0,0.5)
3

5-3 ,排除 B,故选 D. 2

f(0.25)

[解析] 因为 f(0)<0,f(0.5)>0,由二分法原理得一个零点 x0∈(0,0.5);第二次应 0+0.5 计算 f( )=f(0.25). 2
? ?x -x-1,x≥2或x≤-1, 8.若 f(x)=? ?1,-1<x<2, ?
2

则函数 g(x)=f(x)-x 的零点为________.

导学号 25400418 [答案] 1+ 2,1 [解析] 求函数 g(x)=f(x)-x 的零点,即求 f(x)=x 的根,∴?
? ?x≥2或x≤-1, ?x -x-1=x, ?
2



3

?-1<x<2, ? ? ?1=x. ?

解得 x=1+ 2或 x=1.

∴g(x)的零点为 1+ 2,1. 9.在用二分法求方程 x =2 的正实数根的近似解(精确度 0.001)时,若我们选取初始区 间是[1.4,1.5],则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________. 导学号 25400419 [答案] 7 1.5-1.4 n 6 7 [解析] 设至少需要计算 n 次,由题意知 <0.001,即 2 >100.由 2 =64,2 = n 2 128,知 n=7. 10 . (2015· 湖 北 ) 函 数 f(x) = 2sinxsin(x + ________. 导学号 25400420 [答案] 2 [解析] f(x)=2sinxcosx-x =sin2x-x ,则函数的零点即为函数 y=sin2x 与函数 y =x 图象的交点,画图知(图略),两图象有 2 个交点,则函数有 2 个零点. 三、解答题
2 2 2 2

π 2 ) - x 的 零 点 个 数 为 2

x 1 3 2 11.已知函数 f(x)=x -x + + . 2 4
1 证明:存在 x0∈(0, ),使 f(x0)=x0. 导学号 25400421 2 [证明] 令 g(x)=f(x)-x. 1 1 1 1 1 ∵g(0)= ,g( )=f( )- =- , 4 2 2 2 8 1 ∴g(0)·g( )<0. 2 1 又函数 g(x)在[0, ]上连续, 2 1 ∴存在 x0∈(0, ),使 g(x0)=0,即 f(x0)=x0. 2 1 ? ?x+ ,x>0, 12.已知函数 f(x)=-x -2x,g(x)=? 4x ?x+1,x≤0. ?
2

导学号 25400422 (1)求 g[f(1)]的值; (2)若方程 g[f(x)]-a=0 有 4 个实数根,求实数 a 的取值范围.
4

5 [答案] (1)-2 (2)[1, ) 4 [解析] (1)∵f(1)=-1 -2×1=-3, ∴g[f(1)]=g(-3)=-3+1=-2. (2)令 f(x)=t,则原方程化为 g(t)=a,易知方程 f(x)=t 在 t∈ (-∞, 1)内有 2 个不同的解, 则原方程有 4 个解等价于函数 y=g(t)(t <1)与 y=a 的图象有 2 个不同的交点,作出函数 y=g(t)(t<1)的图 5 象,如图所示,由图象可知,当 1≤a< 时,函数 y=g(t)(t<1)与 y 4 5 =a 有 2 个不同的交点,即所求 a 的取值范围是[1, ). 4 B 组 能力提升 1.(2015·湖北浠水实验高中上学期期中)设 f(x)=1-(x-a)(x-b)(a<b),m,n 为 y =f(x)的两个零点,且 m<n,则 a,b,m,n 的大小关系是 导学号 25400423 ( A.a<m<n<b C.a<b<m<n [答案] B [解析] 因为函数 f(x)=1-(x-a)(x-b)的图象开口向下,且 f(a)=f(b)=1>0,所 以在区间[a, b]上, f(x)>0 恒成立, 所以函数 f(x)=1-(x-a)(x-b)的两个零点在区间[a, B.m<a<b<n D.m<n<a<b )
2

b]的两侧,即 m<a<b<n.故选 B.
2. 函数 f(x)=lnx-x-a 有两个不同的零点, 则实数 a 的取值范围是 导学号 25400424 ( ) A.(-∞,-1] C.[-1,+∞) [答案] B [解析] 函数 f(x)=lnx-x-a 的零点,即关于 x 的方程 lnx -x-a=0 的实根,将方程 lnx-x-a=0 化为方程 lnx=x+a,令 B.(-∞,-1) D.(-1,+∞)

y1=lnx,y2=x+a,由导数知识可知,直线 y2=x+a 与曲线 y1=
lnx 相切时有 a=-1,若关于 x 的方程 lnx-x-a=0 有两个不同 的实根,则实数 a 的取值范围是(-∞,-1),故选 B.
? ?1-2 ,x≥1 3. (2015·邢台摸底考试)已知函数 f(x)=? 3 ?x -3x+2,x<1 ?
1-x

, 则方程 2f(x)=1 的根

的个数为 导学号 25400425 ( A.1

) B.2
5

C.3 [答案] C

D.4

1 1 1-x [解析] 依题意,由 2f(x)=1 得 f(x)= .当 x≥1 时,f(x)=1-2 = ,x=2;当 x 2 2 1 3 3 3 3 3 2 <1 时,f(x)=x -3x+2= ,x -3x+ =0.记 g(x)=x -3x+ ,则 g′(x)=3x -3,当 x 2 2 2 <-1 时,g′(x)>0,当-1<x<1 时,g′(x)<0,g(x)在区间(-∞,-1)上是增函数, 7 1 在区间(-1,1)上是减函数,且 g(-1)= ,g(1)=- ,因此 g(x)在区间(-∞,1)上有 2 2 2 个零点.故方程 2f(x)=1 的根的个数为 3,选 C. 4. 若关于 x 的方程 2 +2 a+a+1=0 有实根, 求实数 a 的取值范围. 导学号 25400426 [答案] (-∞,2-2 2] [分析] 化形 — 将不同项里出现的指数?对数?化成统一形式 ↓ 换元 — 将指数?对数?方程?或不等式?化成常见的方程?或不等式?形式 ↓ 解方程 — 得出常见方程?或不等式?形式中的解 ↓ 还原 —代入还原,求出对数(指数)的值(或取值范围)进一步求出未知数的值(或取值范围) 求值 [解析] 方法一 (换元法) 设 t=2 (t>0),则原方程可变为 t +at+a+1=0,(*) 原方程有实根,即方程(*)有正根. 令 f(t)=t +at+a+1. ①若方程(*)有两个正实根 t1,t2, Δ =a -4?a+1?≥0, ? ? 则?t1+t2=-a>0, ? ?t1·t2=a+1>0,
2 2 2x

x

x

2

解得-1<a≤2-2 2;

②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根, 不合题意, 舍去), 则 f(0)=a+1<0, 解得 a<-1; ③若方程(*)有一个正实根和一个零根,则 f(0)=0 且- >0,解得 a=-1. 2

a

6

综上,a 的取值范围是(-∞,2-2 2]. 方法二 (分离变量法) 2 +1 x 由方程,解得 a=- x ,设 t=2 (t>0), 2 +1 则 a=-
2x

t2+1 2 =-(t+ -1) t+1 t+1
2 ],其中 t+1>1, t+1 2 ≥2 2,当且仅当 t= 2-1 时取等号,故 a≤2-2 2. t+1

=2-[(t+1)+

由基本不等式,得(t+1)+

思维升华 对于“a=f(x)有解”型问题,可以通过求函数 y=f(x)的值域来解决,解的 个数也可化为函数 y=f(x)的图象和直线 y=a 交点的个数. e 2 5.已知函数 f(x)=-x +2ex+m-1,g(x)=x+ (x>0). 导学号 25400427
2

x

(1)若 y=g(x)-m 有零点,求 m 的取值范围; (2)确定 m 的取值范围,使得 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根. [答案] (1)m≥2e (2)(-e +2e+1,+∞) e 2 [解析] (1)方法一 ∵g(x)=x+ ≥2 e =2e,
2 2

x

等号成立的条件是 x=e, 故 g(x)的值域是[2e,+∞), 因而只需 m≥2e,则 y=g(x)-m 就有零点. e 方法二 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图.
2

x

可知若使 y=g(x)-m 有零点,则只需 m≥2e. (2)若 g(x)-f(x)=0 有两个相异实根,即 g(x)与 f(x)的图象有两个不同的交点, e 作出 g(x)=x+ (x>0)的大致图象如图.
2

x

∵f(x)=-x +2ex+m-1=-(x-e) +m-1+e . ∴其图象的对称轴为 x=e,开口向下, 最大值为 m-1+e . 故当 m-1+e >2e,即 m>-e +2e+1 时,g(x)与 f(x)有两个交点,即 g(x)-f(x)=0
7
2 2 2

2

2

2

有两个相异实根. ∴m 的取值范围是(-e +2e+1,+∞).
2

8


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