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第三章一元一次方程知识点梳理及典型例题牛园园


第三章 一元一次方程知识要点梳理及典型例题

一.元一次方程及解的概念 1、一元一次方程的概念 只含有一个未知数,并且未知数的次数都是 1 的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式 是:ax+b=0(其中 x 是未知数,a,b 是已知数,且 a≠0)。 典型例题: 下列方程是一元一次方程的是( A.x+y=1 B. x ? 5x ? 0
2

) C.3x+7=16 D.

1 ?5 ? 3 2x

做题要点: 判断一元一次方程必须满足的 3 个条件: 只含有一个未知数; 未知数的次数是 1 次; 整 式方程。

2、方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。 典型例题:以 x 为未知数的方程

ax ? 1 ? 2(2a ? x) 的解是 x=3,求 a 的值。

做题要点:将方程的解代入方程,得到一个以 a 为未知数的新方程,解得 a 的值。

二.方程变形——解方程的重要依据 1、等式的基本性质 等式的性质 1:等式两边加(或减)同一个数(或式子) ,结果仍相等。 即:如果 ,那么 ;(c 为一个数或一个式子)。

等式的性质 2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为 0 的数,结果仍相等。

即:如果 典型例题:

,那么

;如果

,那么

1) 、下列等式变形中不正确的是( A、若 x=y,则 x+5=y+5 C.若-3x=-3y,则 x=y

) B.若

x y ? ,则 x=y a a

D.mx=my,x=y
1

2) 、若 2x+1=8,那么 4x+2= 2、分数的基本的性质



分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数,分数的值不变。 即:

a am a / m ? ? (其中 m≠0) b bm b / m

注:分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数(特别是分母中的小数)化为整数, 如方程:

x?3 x?4 10( x ? 3) 10( x ? 4) ? ? 1.6 。 - =1.6,将其化为的形式: 5 2 0.5 0.2

方程的右边没有变化,这要与“去分母”区别开。 典型例题

0.4 x ? 2.1 0.5 ? 0.2 x ? ? 0.6 0.5 0.03

三.解一元一次方程的一般步骤 1、解一元一次方程的基本思路 通过对方程变形,把含有未知数的项归到方程的一边,把常数项归到方程的另一边,最终把方程“转 化”成 x=a 的形式。 2、解一元一次方程的一般步骤是 变形名称 去分母 去括号 移项 具体做法 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 先去小括号,再去中括号,最后去大括号 把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(移 项要变号) 合并同类项 系数化成 1 注意: ① 解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,并且也不一定按照自上而下的顺序,要根据方程形式 灵活安排求解步骤。 ② 去分母时,不要漏乘没有分母的项。 把方程化成 ax=b(a≠0)的形式 在方程两边都除以未知数的系数 a,得到方程的解 x=

b a

2

③ 去括号时,不要漏乘括号内的项,若括号前为“-”号,括号内各项要改变符号。 典型例题: 1、

1 5 x ? 4 ? 2x ? 3 ? x 2 2

2、 2(2x+1)=3(x-2)-(x-6)

3、

3x ? 1 7 ? x ? 3 6

4、

x ?1 2x ? 3 x ? 1 ?1 ? ? 4 6 3

5、 2[1 ?

1 1? x 1 10 ? 3x (x ? )] ? (2 x ? ) 3 3 2 3

一元一次方程应用题专题总结

一、列一元一次方程解应用题的一般步骤 (1)审题,分析题中已知什么,未知什么,明确各量之间的关系,寻找等量关系. (2)设未知数,一般求什么就设什么为 x,但有时也可以间接设未知数. (3)列方程,把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来,列出方程. (4)解方程. (5)检验,看方程的解是否符合题意. (6)写出答案. 二、解应用题的书写格式:设→根据题意→解这个方程→答。 (1)在一道应用题中,往往含有几个未知数量,应恰当地选择其中的一个,用字母 x 表示出来,即 所设的未知数,然后根据数量之间的关系,将其它几个未知数量用含 x 的代数式表示。

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(2)解应用题时,不能漏掉“答” “设”和“答”中都必须写清单位名称。 , (3)列方程时,要注意方程两边是同一个量,并且单位要统一。 (4)一般情况下,题目中所给的条件在列方程时不能重复使用,也不能漏掉不用。

三、典型例题: 1. 和、差、倍、分问题: (1)倍数关系:通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率??” 来体现。 (2)多少关系:通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余??”来体现。

例.某校共有学生 1050 人,女生占男生的一半,求男生的人数。 分析:等量关系为:男生人数+女生人数=学生总人数 解:设男生人数为 x x+0.5x=1050

1.两个村共有 834 人,甲村的人数比乙村的人数的一半还少 111 人,两村各有多少人?

2.两组工人,按计划本月应共生产 680 个零件,实际第一组超额 20%、第二组超额 15%完成了本月 任务,因此比原计划多生产 118 个零件。问本月原计划每组各生产多少个零件?

2. 劳力调配问题: 这类问题要搞清人数的变化,常见题型有: (1)既有调入又有调出; (2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变; (3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变。 例. 甲、乙两车间各有工人若干,如果从乙车间调 100 人到甲车间,那么甲车间的人数是乙车间剩 余人数的 6 倍;如果从甲车间调 100 人到乙车间,这时两车间的人数相等,求原来甲乙车间的人数。 分析:等量关系(1)原来甲车间的人数+100=(原来乙车间的人数-100)× 6 (2)原来甲车间的人数-100=原来乙车间的人数+100 解:设求原来乙车间的 x 人,由等量关系(2)得原来甲车间的人数=x+200,代入(1)中得方程 x+200+100=(x-100)× 6
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1.某厂一车间有 64 人,二车间有 56 人。现因工作需要,要求第一车间人数是第二车间人数的一半。 问需从第一车间调多少人到第二车间?

2.甲队人数是乙队人数的 2 倍,从甲队调 12 人到乙队后,甲队剩下来的人数是原乙队人数的一半还 多 15 人。求甲、乙两队原有人数各多少人?

3. 比例分配问题: 这类问题的一般思路为:设其中一份为 x,利用已知的比,写出相应的代数式。 常用等量关系:总量=各部分之和, 比值相等。

例. 三个正整数的比为 1:2:4,它们的和是 84,那么这三个数中最大的数是几? 解:设最小的数为 x,则中间数为 2x,最大数字为 4x x+2x+4x=84

1.图纸上某零件的长度为 32cm,它的实际长度是 4cm,那么量得该图纸上另一个零件长度为 12cm, 求这个零件的实际长度。

2.一时期,日元与人民币的比价为 25.2:1,那么日元 50 万,可以兑换人民币多少元?

4. 数字问题 (1)要搞清楚数的表示方法:一个二位数的十位数字为 a,个位数字是 b(其中 a、b 均为整数,且 1≤a≤9, 0≤b≤9)则这个三位数表示为:10a+b。 (2)数字问题中一些表示:两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大 1;偶数用 2n 表示,连续 的偶数用 2n+2 或 2n—2 表示;奇数用 2n+1 或 2n—1 表示。

例. 一个两位数,个位上的数是十位上的数的 2 倍,如果把十位与个位上的数对调,那么所得的两 位数比原两位数大 36,求原来的两位数 分析:等量关系:(1)现在的两位数-原来的两位数=36 (2)原来的两位数个位上的数=十位上的数×2
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解:原来的两位数十位上的数为 x,则由(2)得原来的两位数个位上的数为 2x 现在的两位数=2x×10+x,所以由(1)得方程 (2x×10+x) 现在的两位数 (x×10+2x)=36 原来的两位数
1 3 5

1.将连续的奇数 1,3,5,7,9?,排成如下的数表:
11 13

7

9

15 17 19 25 27 29 35 37 39

(1)十字框中的五个数的平均数与 15 有什么关系? (2)若将十字框上下左右平移,可框住另外的五个数,这五个数的和能 等于 315 吗?若能,请求出这五个数;若不能,请说明理由.

21 23 31 33

5. 工程问题: 工程问题中的三个量及其关系为:工作总量=工作效率×工作时间 经常在题目中未给出工作总量时,设工作总量为单位 1,则 工作效率 =

1 工作时间

例. 一件工程,甲独做需 15 天完成,乙独做需 12 天完成,现先由甲、乙合作 3 天后,甲有其他任 务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程? 分析:设工程总量为单位 1,等量关系为:甲、乙合作 3 天后+乙单独完成剩下工程=1 解:设乙还要 x 天才能完成全部工程

1 1 1 ( + ) 3+ ? x ? 1 ? 15 12 12

1.某工程由甲、乙两队完成,甲队单独完成需 16 天,乙队单独完成需 12 天。如先由甲队做 4 天,然 后两队合做,问再做几天后可完成工程的六分之五?

2.有一个水池,用两个水管注水。如果单开甲管,2 小时 30 分注满水池,如果单开 乙管,5 小时注满水池。 ① 如果甲、乙两管先同时注水 20 分钟,然后由乙单独注水。问还需要多少时间才能把 水池注满? ② 假设在水池下面安装了排水管丙管,单开丙管 3 小时可以把一满池水放完。如果三 管同时开放,多少小时才能把一空池注满水?
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6. 行程问题: (1)行程问题中的三个基本量及其关系: 路程=速度×时间。 (2)基本类型有 ① 相遇问题;② 追及问题;

常见的还有:相背而行;行船问题;环形跑道问题。 (3)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,一般情况下问题就能 迎刃而解。并且还常常借助画草图来分析,理解行程问题。

例. 甲、 乙两站相距 480 公里,一列慢车从甲站开出,每小时行 90 公里, 一列快车从乙站开出, 每小时行 140 公里。 (1)慢车先开出 1 小时,快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇? (2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距 600 公里? (3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距 600 公里? (4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车? (5)慢车开出 1 小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车? 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义,弄清行驶过程。故可结合图形分析。

(1)分析:相遇问题,画图表示为: 等量关系是: 慢车路程+快车路程=480, 慢车时间=快车时间+1 小时 解:设快车开出 t 小时后两车相遇 140t+90(t+1)=480

(2)分析:相背而行,画图表示为: 等量关系是:慢车路程+快车路程+480=600,慢车时间=快车时间 解:相背而行 t 小时后两车相距 600 公里 140t+90t+480=600

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(3)分析:追及问题,画图表示为 等量关系为:快车路程+480 公里-慢车路程=600 公里, 慢车时间=快车时间 解:设 x 小时后两车相距 600 公里, 140t+480-90t=600

(4)分析:追及问题,画图表示为: 等量关系为:慢车路程+480 公里=快车路程, 慢车时间=快车时间 解:设 t 小时后快车追上慢车 90t+480=140t

(5)分析:追及问题画图表示为: 等量关系为:快车的路程=慢车走的路程+480 公里,慢车时间=快车时间+1 解:快车开出后 t 小时追上慢车 140t=90(t+1)+480

1. 某人从家里骑自行车到学校。若每小时行 15 千米,可比预定的时间早到 15 分钟;若每小时行 9 千米,可比预定的时间晚到 15 分钟;求从家里到学校的路程有多少千米?

2.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时 3.6Km,骑
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自行车的人的速度是每小时 10.8Km。如果一列火车从他们背后开来,它通过行人的时间是 22 秒,通 过骑自行车人的时间是 26 秒。 (1)火车的速度为每秒多少米; (2)求这列火车的身长是多少米。

7. 利润赢亏问题 (1)销售问题中常出现的量有:进价、售价、标价、利润等 (2)有关关系式: 商品售价=商品利润+商品进价 商品利润= 商品进价×商品利润率 商品售价=商品标价×折扣率 例. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价,又以 8 折优惠卖出,结果每件仍获利 15 元,这 种服装每件的进价是多少? 分析:探究题目中隐含的条件是关键,可直接设成本为 x 元 进价 x元 等量关系:售价=利润+进价 解:设进价为 x 元, 80%(1+40%)x =15+x 折扣率 8折 标价 (1+40%)x 元 售价 80%(1+40%)x 利润 15 元

1.某商品进价 1500 元, 提高 40%后标价, 若打折销售, 使其利润率为 20%, 则此商品是按几折销售的?

2.某商店在某一时间以每件 60 元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利 25%,另一件亏损 25%,卖这两 件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏?

8. 储蓄问题 (1) 本金:顾客存入银行的钱。 利息:银行付给顾客的酬金。 本息和:本金与利息的和。 期数:钱存入银行的时间(以年为单位) 。

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(2) 本息和=本金+利息

利息=本金×年利率×期数

利息税=利息×税率

例. 某同学把 250 元钱存入银行,整存整取,存期为半年。半年后共得本息和 252.7 元,求银行半年 期的年利率是多少?(不计利息税) 分析:等量关系:本息和=本金+本金×利率×期数,半年的期数为 0.5 年 解:设半年期的年利率为 x, 250+250x×0.5=252.7

1.莉莉的叔叔将打工挣来的 25000 元钱存入银行,整存整取三年,年利率为 3.24%,三年后本金和利 息共有 元(不计利息税)

2.国家规定:存款利息税=利息×20%,银行一年定期储蓄的年利率为 1.98%.小明有一笔一年定期存 款,如果到期后全取出,可取回 1219 元。若设小明的这笔一年定期存款是 x 元,则下列方程中正确 的是( ) ( B ) 1.98 % x ? 20 % ? 1219 ( D ) x ? 1.98% x ? (1 ? 20%) ? 1219

( A ) x ? 1.98% ? 20% ? 1219 ( C ) 1.98% x ? (1 ? 20%) ? 1219

9.行船问题: 顺水航速=静水船速+水流速度 逆水航速=静水船速-水流速度

例. 一艘船在两个码头之间航行,水流速度是 3 千米每小时,顺水航行需要 2 小时,逆水航行需要 3 小时,求两码头的之间的距离? 分析:等量关系:顺水航行距离=逆水航行距离 解:设船在静水中的速度为 x 千米每小时 2(x+3)=3(x-3)

1.一架飞机飞行在两个城市之间,风速为每小时 24 千米,顺风飞行需要 2 小时 50 分钟,逆风飞行需 要 3 小时,求两城市间距离。

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10.配套问题:各件的总数比例和每一套中各件的比例相等 例:机械厂加工车间有 85 名工人,平均每人每天加工大齿轮 16 个或小齿轮 10 个,已知 2 个大齿轮 与 3 个小齿轮配成一套,问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮,才能使每天加工的大小齿轮刚好 配套? 分析:等量关系:一套中的小齿轮数×大齿轮总数=一套中的大齿轮数×小齿轮总数 加工大齿轮工人+加工小齿轮工人=85 解:设 x 名工人加工大齿轮,则加工小齿轮的工人有(85-x)人 3×16x =2×[10(85-x)]

1.包装厂有工人 42 人,每个工人平均每小时可以生产圆形铁片 120 片,或长方形铁片 80 片,将两张 圆形铁片与和一张可配套成一个密封圆桶, 问如何安排工人生产圆形或长方形铁片能合理地将铁片配 套?

2.某厂生产一批西装,每 2 米布可以裁上衣 3 件,或裁裤子 4 条,现有花呢 240 米,为了使上衣和裤 子配套,裁上衣和裤子应该各用花呢多少米?

11.比赛积分问题: 1.某企业对应聘人员进行英语考试,试题由 50 道选择题组成,评分标准规定:每道题的答案选对得 3 分,不选得 0 分,选错倒扣 1 分。已知某人有 5 道题未作,得了 103 分,则这个人选错了几道题。

2.某学校七年级 8 个班进行足球友谊赛, 采用胜一场得 3 分, 平一场得 1 分, 负一场得 0 分的记分制。 某班与其他 7 个队各赛 1 场后,以不败的战绩积 17 分,那么该班共胜了几场比赛?

12.方案设计与成本分析: 1. 某市剧院举办大型文艺演出,其门票价格为:一等席 300 元/人,二等席 200 元/人,三等席 150 元/人,某公司组织员工 36 人去观看,计划用 5850 元购买 2 种门票,请你帮助公司设计可能的购票方 案。

2.小明家搬了新居要购买新冰箱,小明和妈妈在商场看中了甲、乙两种冰箱.其中,甲冰箱的价格为
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2100 元,日耗电量为 1 度;乙冰箱是节能型新产品,价格为 2220 元,日耗电量为 0.5 度,并且两种 冰箱的效果是相同的.老板说甲冰箱可以打折,但是乙冰箱不能打折,请你就价格方面计算说明,甲 冰箱至少打几折时购买甲冰箱比较合算?(每度电 0.5 元,两种冰箱的使用寿命均为 10 年,平均每 年使用 300 天)

3.牛奶加工厂现有鲜奶 8 吨,若在市场上直接销售鲜奶(每天可销售 8 吨) ,每吨可获利润 500 元; 制成酸奶销售, 每加工 1 吨鲜奶可获利润 1200 元; 制成奶片销售, 每加工 1 吨鲜奶可获利润 2000 元. 该 厂的生产能力是:若制酸奶,每天可加工 3 吨鲜奶;若制奶片,每天可加工 1 吨鲜奶;受人员和设备 限制,两种加工方式不可同时进行,受气温条件限制,这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完毕. 请你帮牛奶加工厂设计一种方案,使这 8 吨鲜奶既能在 4 天内全部销售或加工完毕,又能获得你 认为最多的利润.

3. 我省某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为 1000 元,经粗加工后销售,每 吨利润可达 4500 元,经精加工后销售每吨获利 7500 元。当地一家农工商企业收购这种蔬菜 140 吨, 该企业加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工,每天可以加工 16 吨,如果进行细加工,每天 可以加工 6 吨,但两种加工方式不能同时进行。受季节条件限制,企业必须在 15 天的时间将这批蔬 菜全部销售或加工完毕,企业研制了三种可行方案。 方案一:将蔬菜全部进行粗加工; 方案二:尽可能多的对蔬菜进行精加工,来不及进行加工的蔬菜,在市场上直接销售; 方案三:将一部分蔬菜进行精加工,其余蔬菜进行粗加工,并恰好用 15 天。 你认为哪种方案获利最多?为什么

13.年龄问题:对象的年龄同时在增长 例:甲比乙大 15 岁,5 年前甲的年龄是乙的年龄的两倍,乙现在的年龄是? 分析:等量关系:(1)甲的年龄-乙的年龄=15, (2)5 年前甲的年龄=5 年前乙的年龄×2 解:设乙现在的年龄是 x 岁,由等量关系(1)得甲的现在的年龄是 x+15 岁 再由等量关系(2)得方程 x+15-5=(x-5) ×2

1.小华的爸爸现在的年龄比小华大 25 岁,8 年后小华爸爸的年龄是小华的 3 倍多 5 岁,求小华现在
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的年龄。 14.增长率问题:增长量=原来的产量×增长率 增长量=现在产量-原来产量

例: 某印刷厂第三季度印刷了科技书籍 50 万册, 而第四季度印刷了 58 万册, 求季度的增长率是多少? 解:设增长率为 x 58-50=50 X

1.某化肥厂去年生产化肥 3200 吨,今年计划生产 3600 吨,今年计划比去年增产

%

2.甲、乙两厂去年完成任务的 112%和 110%,共生产机床 4000 台,比原来两厂任务之和超产 400 台, 问甲厂原来的生产任务是多少台?

15.古典数学: 例:有若干只鸡和兔子,它们共有 88 个头,244 只脚,鸡和兔各有多少只? 分析:鸡和兔各一个头,所以等量关系(1)鸡+兔=88, 鸡两只脚 ,兔有 4 只脚 ,所以等量关系(2)鸡脚+兔脚=244 解:设鸡有 x 只,则兔有 88-x 只 2x+4(88-x)=244

1.100 个和尚 100 个馍,大和尚每人吃两个,小和尚两人吃一个,问有多少大和尚,多少小和尚。

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