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高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 . 指数与指数函数练习 理解析


第二章 函数、导数及其应用 2.5 指数与指数函数练习 理
[A 组·基础达标练] 1 2

1.化简[(-2) ] A.-9 C.-10 答案 B

6

-(-1) 的结果为(

0

) B.7 D.9

解析 原式=(2 ) A.(0,+∞) C.[1,+∞) 答案 B 解析 令 2 =t, 则函数 y=4 +2
x x+1
2

6

1 2

-1=7.
x x+1

2.[2015·吉林期中]函数 y=4 +2

+1 的值域为(

)

B.(1,+∞) D.(-∞,+∞)

x

+1 可化为 y=t +2t+1=(t+1) (t>0).

2

2

∵函数 y=(t+1) 在(0,+∞)上递增,∴y>1. ∴所求值域为(1,+∞).故选 B. 3.[2016·西安八校联考]已知 0<m<n<1,且 1<a<b,下列各式中一定成立的是( A.b >a C.m >n
b m n a

)

B.b <a D.m <n
a b

m

n a

答案 D 解析 ∵f(x)=x (a>1)在(0,+∞)上为单调递增函数,且 0<m<n<1,∴m <n ,又 g(x) =m (0<m<1)在 R 上为单调递减函数,且 1<a<b,∴m <m .综上,m <n ,故选 D. e +1 4.[2015·哈尔滨模拟]函数 f(x)= x 的图象( e A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 答案 D e +1 x 1 1 1 -x x 解析 f(x)= x =e + x,∵f(-x)=e + -x=e + x=f(x),∴f(x)是偶函数,∴ e e e e 函数 f(x)的图象关于 y 轴对称. 5. 当 x∈(-∞, -1]时, 不等式(m -m)·4 -2 <0 恒成立, 则实数 m 的取值范围是( A.(-2,1) C.(-1,2) 答案 C B.(-4,3) D.(-3,4)
2 2x 2x

a

a

x

b

a

b

a

)

B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

x

x

)

?1?x 2 解析 原不等式变形为 m -m<? ? , ?2? ?1?x ∵函数 y=? ? 在(-∞,-1]上是减函数, ?2?
1

?1?x ?1?-1 ∴当 x∈(-∞,-1]时,? ? ≥? ? =2, ?2? ?2? ?1?x 2 2 ∴当 x∈(-∞,-1]时,m -m<? ? 恒成立等价于 m -m<2,解得-1<m<2. ?2?
6.已知函数 f(x)=|2 -1|,a<b<c 且 f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是 ( ) A.a<0,b<0,c<0 C.2 <2 答案 D
-a

x

B.a<0,b≥0,c>0 D.2 +2 <2
a c

c

解析 作出函数 f(x)=|2 -1|的图象,如图, ∵a<b<c,且 f(a)>f(c)>f(b),∴结合图象知 a<0,c>0,∴0<2 <1. ∴f(a)=|2 -1|=1-2 <1, ∴f(c)<1,∴0<c<1. ∴1<2 <2,∴f(c)=|2 -1|=2 -1, 又∵f(a)>f(c),∴1-2 >2 -1, ∴2 +2 <2,故选 D. 7.已知函数 f(x)=x-4+ 9 ,x∈(0,4),当 x=a 时,f(x)取得最小值 b,则在直角 x+1 )
a c a c c c c a a a

x

?1?|x+b|的图象为( 坐标系中函数 g(x)=? ? a ? ?

答案 B 解析 f(x)=x-4+ 9

x+1

=x+1+

9

x+1

-5≥2 9-5=1,取等号时 x+1=

9

x+1

,此时 x

?1?|x+1|.g(x)的图象可以看作是 y=?1?|x|的图象向左平移一 =2.所以 a=2,b=1,则 g(x)=? ? ?2? ?2? ? ?
个单位得到的,选项 B 符合要求. 8. [2015·南昌二模]已知函数 y=f(x)是周期为 2 的周期函数, 且当 x∈[-1,1]时, f(x)
2

=2 -1,则函数 F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是( A.9 C.11 答案 B B.10 D.18

|x|

)

解析 依题意,在坐标平面内画出函数 y=f(x)与 y=|lg x|的大致图象(如图),由图象 可知,它们共有 10 个不同的交点,因此函数 F(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是 10,故选 B.

9.[2015·唐山一模]函数 f(x)= 2 -2的定义域是________. 答案 (-∞ ,-1] 解析 由题意可得:2 -2≥0,∴2 ≥2,∴-x≥1,∴x≤-1,即函数的定义域为(- ∞,-1]. 10.若曲线|y|=2 +1 与直线 y=b 没有公共点,则 b 的取值范围是________.
x
-x -x

-x

答案 [-1,1] 解析 (数形结合法)曲线|y|=2 +1 即为 y=2 +1 或 y=-(2 +1), 作出曲线的图象(如 右图),要使该曲线与直线 y=b 没有公共点,则要求-1≤b≤1. 11.[2016·皖南八校联考]对于给定的函数 f(x)=a -a (x∈R,a>0,a≠1),下面给 出五个命题,其中真命题是________.(只需写出所有真命题的编号) ①函数 f(x)的图象关于原点对称; ②函数 f(x)在 R 上不具有单调性; ③函数 f(|x|)的图象关于 y 轴对称; ④当 0<a<1 时,函数 f(|x|)的最大值是 0; ⑤当 a>1 时,函数 f(|x|)的最大值是 0. 答案 ①③④ 解析 ∵f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数,f(x)的图象关于原点对称,①真;当 a>1 时,f(x)在 R 上为增函数,当 0<a<1 时,f(x)在 R 上为减函数,②假;y=f(|x|)是偶函数,
x
-x

x

x

x

3

其图象关于 y 轴对称,③真;当 0<a<1 时,y=f(|x|)在(-∞,0)上为增函数,在[0,+∞) 上为减函数,∴当 x=0 时,y=f(|x|)的最大值为 0,④真;当 a>1 时,f(x)在(-∞,0)上 为减函数,在[0,+∞)上为增函数,∴当 x=0 时,y=f(x)的最小值为 0,⑤假,综上,真 命题是①③④. 12.已知函数 y=b+a 5 = ,试求 a,b 的值. 2 解
x +2x
2

? 3 ? (a,b 是常数且 a>0,a≠1)在区间?- ,0?上有 ymax=3,ymin ? 2 ?

? 3 ? 2 2 ∵x∈?- ,0?,∴t=x +2x=(x+1) -1,值域为[-1,0],即 t∈[-1,0]. ? 2 ?
t

(1)若 a>1,函数 y=a 在[-1,0]上为增函数,
2 ?1 ? ? 1 ? t x +2x ∴a ∈? ,1?,则 b+a ∈?b+ ,b+1?,

?a

?

?

a

?

1 5 ? ?b+ = , 依题意得? a 2 ? ?b+1=3,
t

解得?

? ?a=2, ?b=2. ?

(2)若 0<a<1,函数 y=a 在[-1,0]上为减函数,
2 1? ? 1? ? t x +2x ∴a ∈?1, ?,则 b+a ∈?b+1,b+ ?,

?

a?

?

a?

1 b+ =3, ? ? a 依题意得? 5 ? ?b+1=2,

2 a= , ? ? 3 解得? 3 ? ?b=2. 2 ? ?a=3, 或? 3 ?b=2. ? [B 组·能力提升练]

? ?a=2, 综上,所求 a,b 的值为? ?b=2 ?

1. [2016·湖南月考]如图,面积为 8 的平行四边形 OABC,对角线 AC⊥CO,AC 与 BO 交 于点 E,某指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的图象经过点 E,B,则 a=( A. 2 B. 3
4
x

)

C.2 答案 A
t

D.3
t

解析 设点 E(t,a ),则点 B 的坐标为(2t,2a ). ∵B 点在函数 y=a 的图象上,∴2a =a , ∴a =2. ∴平行四边形 OABC 的面积=OC·AC=a ·2t=4t. 又平行四边形 OABC 的面积为 8, ∴t=2,∴a= 2.故选 A. 2.[2015·济南模拟]已知 g(x)=ax+1,f(x)=
?2 -1, 0≤x≤2, ? ? 2 ? ?-x , -2≤x<0,
x t t x t
2t

对任意 x1∈[-2,2],存在 x2∈[-2,2],使 g(x1)=f(x2)成立,

则 a 的取值范围是( A.[-1,+∞) C.(0,1] 答案 B

) B.[-1,1] D.(-∞,1]

解析 由题意可得 g(x),x∈[-2,2]的值域? f(x),x∈[-2,2]的值域.由函数图象可 得 f(x),x∈[-2,2]的值域是[-4,3],当 a=0 时,g(x)=1,符合题意;当 a>0 时,g(x),

x ∈ [ - 2,2] 的 值 域 是 [ - 2a + 1,2a + 1] , 所 以 [ - 2a + 1 , 2a + 1] ? [ - 4,3] , 所 以
?-2a+1≥-4 ? ? ? ?2a+1≤3,

则 0<a≤1;当 a<0 时,g(x),x∈[-2,2]的值域是[2a+1,-2a+1],所

?2a+1≥-4, ? 以[2a+1,-2a+1]? [-4,3],所以? ?-2a+1≤3, ?

则-1≤a<0,综上可得-1≤a≤1,

故选 B. 3.设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义.对于给定的正数 K,定义函数 fK(x)=
? ?f?x?,f?x?≥K, ? ?K,f?x?<K, ?

取函数 f(x)=2-x+e , 若对任意的 x∈(-∞, +∞), 恒有 fK(x)

x

=f(x),则 K 的最大值为________. 答案 3 解析 由题意,得 f(x)≥K 对任意的 x∈R 恒成立, 所以 f(x)min≥K, 所以令 f′(x)=-1+e =0,得到 x=0. 且 x<0 时,f′(x)<0;x>0 时,f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数, 所以 f(x)min=f(0)=3, 所以 K≤3,K 的最大值为 3. 4.已知函数 f(x)=e -e (x∈R 且 e 为自然对数的底数). (1)判断函数 f(x)的单调性与奇偶性; (2)是否存在实数 t,使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x 都成立?若存在,求出
5
2 2

x

x

-x

t;若不存在,请说明理由.


?1?x 且 y=ex 是增函数, ?1? x (1)∵f(x)=e -? ? , y=-? ?x 是增函数, 所以 f(x)是增函数. 由 ?e? ?e?
-x

于 f(x)的定义域为 R,且 f(-x)=e -e =-f(x),所以 f(x)是奇函数. (2)存在满足题意的 t.由(1)知 f(x)是增函数和奇函数, 所以 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x∈R 恒成立 ?f(x -t )≥f(t-x)对一切 x∈R 恒成立 ?x -t ≥t-x 对一切 x∈R 恒成立 ?t +t≤x +x 对一切 x∈R 恒成立
2 2 2 2 2 2 2 2

x

? 1?2 ?? 1?2? ??t+ ? ≤??x+ ? ?min 对一切 x∈R 恒成立 ? 2? ?? 2? ?
1 ? 1?2 ??t+ ? ≤0?t=- . 2 ? 2? 1 2 2 即存在实数 t=- ,使不等式 f(x-t)+f(x -t )≥0 对一切 x 都成立. 2

6


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