当前位置:首页 >> 数学 >>

定积分的概念课件1,2-改好


? [知识链接]

? 1.如何计算下列两图形的面积?



①直接利用梯形面积公式求解.②转化为三角形和梯

形求解.

1.任何一个平面图形都有面积,其中矩 形、正方形、三角形、平行四边形、梯 形等平面多边形的面积,可以利用相关 公式进行计算.
2.如果函数y=f

(x)在某个区间I上的 图象是一条连续不断的曲线,则称函 数f(x)为区间I上的连续函数.

1.5 定积分的概念

3.如图所示的平面图形,是由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x) 所围成的,称之为曲边梯形,如何计算 这个曲边梯形的面积呢??
y
y=f(x)

O

a

b x

回顾思考:这个曲边梯形的面积可用什么符号表示?

曲边梯形的面积

观察下列演示过程,注意当分割加细时,
矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时,

矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系.

求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
n个小区间: ?a, x1 ?,? x1, x2 ?, 每个小区间宽度⊿x =
b-a n

(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成

? xi-1, xi ?, ,? xn-1, b?,

(2)取近似求和:任取xi?[xi-1, xi],第i个小曲边梯形的面积用 y 高为f(x )而宽为Dx的小矩形面积
i

f(xi)Dx近似之。

y=f ( x)
n

取n个小矩形面积的和作为曲边梯
形面积S的近似值: S?
n

? f (x )Dx
i =1 i

(3)取极限:,所求曲边梯形的 面积S为

S = lim ? f (xi )Dx
n?? i =1

O

a

xi xi xi+1 Dx

b

x

一、定积分的定义
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步 曲”: 分割---近似代替n ----求和------n 取极限 b - a 得到解决. 小矩形面积和S=? f (xi )Dx = ? f (xi ) ? n i =1 i =1 如果当n?∞时,S 的无限接近某个常数,

这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,记作

?a

b

b-a 即 dx= = lim ? xfi。 (xi ) lim f (x)dx,即 )) dx f (x i)?D ? ? ??aa ff((xx ? ?n 0?? n i =1 i =1
bb
n
n

定积分的定义: 即

?

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

定积分的相关名称: ? ———叫做积分号, y f(x) ——叫做被积函数, f(x)dx —叫做被积表达式, x ———叫做积分变量, a ———叫做积分下限, O b ———叫做积分上限, [a, b] —叫做积分区间。

y = f ( x)

a

b

x

积分上限

再熟悉熟悉
lim ? f (x i )Dxi
n ?? i =1 n

?a f ( x )dx = I =
积分下限

b

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

利用定积分的定义计算
? 例1.计算

?0

1

x 2dx.


分析:利用定积分的定义计算的“四步曲”是指

分割→近似代替→求和→取极限.

利用定积分的定义计算
? 例1.计算

?0

1

x 2dx.

i 解: 将[0,1]n 等分,分点为 x i = ,(i = 1,2,? , n ) n 1 小区间[ x i -1 , x i ]的长度Dx i = ,(i = 1,2,? , n ) n 取x i = x i ,(i = 1,2,?, n )

? f (x i )Dxi
i =1

n

= ? x i Dxi = ? xi2 Dxi ,
2 i =1
i =1

n

n

Dxi ? 0 ? n ? ?

利用定积分的定义计算
? 例1:计算
n

?0

1

x 2dx.
2

n 1 n( n ? 1)(2n ? 1) 1 i 1 ? ? 2 = ? ? 解:Sn = ? ? ? ? = 3 ? i 3 n 6 n n i =1 i =1 ? n ?

1? 1 ?? 1? = ? 1 ? ?? 2 ? ? , 6? n ?? n?
2 2 x dx = lim ? xi Dxi ?0 1
Dxi ?0 i =1 n

1? 1 ?? 1? 1 = lim ? 1 ? ?? 2 ? ? = . n? ? 6 ? n ?? n? 3

根据定积分的定义右边图形的面积为 1 1 1 2 S = ? f ( x)dx = ? x dx = 0 0 3
y f(x)=x2
1 S= 3

由此题,你能说说对 “定积分”的理解吗?

?0
1

1

x dx.

2

O

x

?a f ( x )dx = I =

b

lim ? f (x i )Dxi
n ?? i =1

n

对“定积分”的理解及说明:
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变量的记法无关,即

?a f(x)dx = ?a f (t)dt =?a

b

b

b

f(u)du。

(2)在每个小区间[xi-1,xi]上对ξi的选取是任意的, 为了计算方便,ξi可都取为每个小区间的左端点 (或都取为右端点).

练 习 : 一辆汽车在直线形公路上做变速行

驶,汽车在时刻 t 的速度为 v(t)=-t + 5( 单 位 : km/h) , 试 计 算 这 辆 汽 车 在 0≤t≤2(单位: h)这段时间内行驶的路程 s(单位:km).

2



(1)分割:在区间[0,2]上等间隔插入n-1个点,将区间

?2?i-1? 2i? ?2?i-1? 2i? ? ? ? ? 分成n个小区间 ? . 记第 i 个小区间为 , , ? ? ? (i n n n n ? ? ? ? ? ?2 4? 2? 2 =1,2,?,n),Δt= n .则汽车在时间段 ?0,n? , ?n,n? , ? ? ? ? ?2?n-1? 2n? ? ? ? n ,n? ? ?

上行驶的路程分别记为:Δs1,Δs2,?,
n

Δsi,?,Δsn,有sn= ?Δsi.
i =1

2i (2)近似代替:取 ξi= n (i=1,2,?,n), ? ?2i? ?2 ?2i? 2 Δsi≈v? n ?·Δt=?-? n ? +5?· ? ? ? ? ? ?n 4i2 2 10 =- n2 · n+ n (i=1,2,?,n).
? 4i2 2 10? ? + sn= ?Δsi= ? ?- n2 · n n? i=1 i=1 ?
n n

1? 1?? 1? ?1+ ??1+ ?+10. =-8· n?? 2n? 3? (3)取极限:s=lim sn →∞
n

=lim →∞
n

? ? 22 1? 1?? 1? ?-8·?1+ ??1+ ?+10?= . n?? 2n? 3? 3 ? ?

定积分的定义: 即

?

b

a

b-a f ( x)dx = lim ? ? f (xi ) n?? n i =1
n

按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)?0) ,直线x=a、x=b及x轴 所围成的曲边梯形的面积为

S= ? f (x)dx;
a

b

(2) 设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间 v = v(t ) [a, b]内运动的距离s为 v

s= ? v(t)dt。
a

b

O

a

b

t

(2)定积分的几何意义1:

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f ( x)

b

?a f (x)dx = ?a f (x)dx? ?c
O a
b a

b

c

b

f (x)dx。

b x

特别地,当 a=b 时,有? f (x)dx=0。

例2:计算下列定积分,并从几何上解释 这些值分别表示什么?
( 1 ) ? x dx
3 -1 0

(2) ? x dx
3 -1

1

( 1 ) ? x dx
3 -1

2

思考:当f(x)?0时, x3dx 的几何意义是什么?
a

?

b

(2)定积分的几何意义1:

当 f(x)?0 时,积分? f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 a x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y y=f ( x)

b

?a f (x)dx = ?a f (x)dx? ?c
O a
b a

b

c

b

f (x)dx。

b x

特别地,当 a=b 时,有? f (x)dx=0。

定积分的几何意义2: 当f(x)?0时,由y=f (x)、x=a、x=b 与 x 轴所围成的曲
边梯形位于 x 轴的下方,

积分 ? f (x)dx 在几何上表示
a

b

y

y=-f (x)
b

上述曲边梯形面积的负值。
S = ? [- f ( x)]dx
a b

S = ? [- f ( x)]dx
a

=b

?a

b

f ( x)dx . ,
c b

O a
b c

b x
= ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx =a c
b

f (x

= ?S f (x)dx? ? ?a f (x)dx =a c

f (x)dx。

y=f ( x)

探究1:根据定积分的几何意义,如何用定积分表
示图中阴影部分的面积?
y y=f ( x)

S = S1 - S2 = ? f ( x)dx - ? g ( x)dx
a a

b

b

S1 = y )dx ? = fg ( x)

b

S2 = ? g ( x)dx
a

a

b

O

a a

b x

探究2:
请用图说明: 不论a,b,c的相对位置如何都有

?a f (x)dx = ?a f (x)dx? ?c
y

b

c

b

f (x)dx。

y=f ( x)

f )( dx x)dx = ?= f (x f )( dx x)? dx f (x ?)f dx (x f= )( dx x dx f (。 x)dx? ? ?a f?a(x ? ?a)。 a ? a a ? c ? c c

b

b

c

c

b

b

b

c

b

f (x)dx。

O

a

c

b

x

三:

定积分的基本性质

性质1.

?

b

a

kf ( x)dx = k ? f ( x )dx
a

b

性质2.

?a f( x ) dx
性质3.
b

b

= - ? f ( x) dx
b

a

?

a

[ f ( x ) ? g( x )]dx = ? f ( x )dx ? ? g( x )dx
a a

b

b

三:

定积分的基本性质

性质4.

定积分关于积分区间具有可加性
b

?

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

y

y=f ( x)

O

a
c1 c2 a c1



b x
b c2

?

b

a

f ( x )dx = ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx

定积分几何意义的应用

例3
(1)

用定积分的意义求下列各式的值.
?3 ? ?-1

(3x+1)dx;

(2)

?2 ? ?-2 ?1 ? ?0

4-x dx; 1-x dx.
2

2

(3)

(4)



(1)由直线x=-1,x=3,y=0以及y=3x+1所围成的

图形,如图所示:

?3 ? ? ? -1

(3x+1)dx表示由直线x=-1,x=3,y=0以及y=3x+1

所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积, ∴
?3 ? ? ?-1

? 1 ? 1? 1? 1 50 (3x+1)dx=2×?3+3?×(3×3+1)-2?-3+1?· 2= 3 - ? ? ? ?

2 3=16.

(2)


?2 ? ?-2

4-x2dx; (3)

?1 ? ?0

1-x2dx.

(1)被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆

周,由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积, 所以有
?2 ? ?- 2
2 π·2 4-x2dx= 2 =2π.

(2)∵被积函数为y=

1-x2 ,其表示的曲线为以原点为圆

心,1为半径的四分之一的圆,由定积分的几何意义可知, 所求的定积分即为该四分之一圆的面积.
?1 ∴? ?0

1 2 1 1-x dx=4π·1 =4π.
2

(4)由 y= 1-x2可知,x2+y2=1,(y≥0)图象如图,由定积

分的几何意义知

等于圆心

角 为 120° 的 弓 形 CED 的 面 积 与 矩 形 ABCD 的面积之和. 1 2 1 π π 2 S 弓形=2×3π×1 -2×2×1×1×sin3cos3 π 3 =3- 4 , 3 1 3 S 矩形=|AB|· |BC|=2× 2 ×2= 2 , ∴ π 3 3 π 3 =3 - 4 + 2 =3 + 4 .

规律方法 步骤是:

(1)用定积分表示曲线围成的平面区域的面积的

①准确画出各曲线围成的平面区域; ②把平面区域分割成容易表示的几部分,同时要注意x轴下 方有没有区域; ③解曲线组成的方程组,确定积分的上、下限; ④根据积分的性质写出结果. (2)利用几何意义求定积分,关键是准确确定被积函数的图 象,以及积分区间,正确利用相关的几何知识求面积,不 规则的图形常用分割法求面积,注意分割点的准确确定.


相关文章:
高二数学选修2-2 定积分的概念1
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高二数学选修2-2 定积分的概念1_高二数学_数学_高中...(x + 1) = dx 1 2 x 思考:若改为计算定...
高中数学第四章定积分1定积分的概念例题与探究北师大选...
高中数学第四章定积分1定积分的概念例题与探究北师大选修2-2讲解_高考_高中教育_教育专区。高中数学 第四章 定积分 1 定积分的概念例题与探究 北师大版选 修 ...
1定积分定义文档
第六章 定积分§6.1 定积分的基本概念内容提要 1、定积分问题举例; 2定积分的定义; 3、定积分的几何意义及函数可积的条件; 目的要求 1、理解定积分的定义...
高中数学《定积分的概念》素材1 北师大版选修2-2
搜 试试 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS ...高中新课改数学定积分训练... 5页 免费 ((新课标...高中数学《定积分的概念》素材1 北师大版选修2-2 ...
1[1].5《定积分的概念》教案(新人教选修2-2)1
新人教选修2-2§1.5.3定积... 3页 1财富值 1.5《定积分的概念课件(.....1 2 5 2 。 5 2 2 ?2 y 思考:若改为计算定积分 ? ( x ? 1) d ...
高中数学第四章定积分1定积分的概念同步练习北师大选修...
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...高中数学第四章定积分1定积分的概念同步练习北师大选修2-2讲解_高考_高中教育_...
定积分的应用(数学一、二)
1[1].5.2定积分--高中数... 15页 免费 高等数学第ppt教材定... 32...//weibo.com/u/3780151184 第六章 定积分的应用一、应知应会 1、 有向区间...
2016_2017学年高中数学第4章定积分1定积分的概念课后演...
搜试试 7 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...定积分的概念课后演练 提升 北师大版选修 2-2 、选择题 1.已知 f(x)=x...
高中数学第四章定积分1定积分的概念教材习题点拨北师大...
搜试试 3 悬赏文档 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 广告 百度文库 教育专区 ...高中数学第四章定积分1定积分的概念教材习题点拨北师大版选修2-2资料_数学_...
...第4章 1定积分的概念课时作业 北师大版选修2-2
搜试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学...2015-2016学年高中数学 第4章 1定积分的概念课时作业 北师大版选修2-2_数学...
更多相关标签: