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圆锥曲线一个性质的几何证法


2 0 1 4年 第5 3 卷   第 7 期           数学通报

5 3

圆锥曲线一个性质的几何证法
竺宝林
( ) 江苏省南京市六合区程桥高级中学  2 1 1 5 0 4

] 中给出了圆锥曲线的如下性质 : 1    文 [ 设圆锥曲线 E 的一 个 焦 点 为 F , 相对应的

准 , 线为l 过焦点 F 的直线交圆锥曲线 E 于 A , B两 , , 点 C 是圆锥曲线 E 上 的 任 意 一 点 直 线 C A, C B 分别与 准 线l 交 于 M , 则 以 线 段 MN 为 N 两 点, 直径的圆必过焦点 F . 文中针对抛物线 、 椭圆 、 双曲线分别给出了解 析法证明 . 但解 析 法 证 明 字 母 变 量 多 , 运 算 量 大, 过程繁琐 . 本文结合平面几何知识 , 以双曲线为例 给出简洁的几何证明 .
2 2 y ( 0, 已知双 曲 线x 的右焦 b>0) 2 - 2 =1 a> a b ) , , 相对应的准线为l 过焦点 F 的直线 点为 F( c, 0

AA ′ AM , 因为 AA ′∥C C ′, =   所以 C C ′ CM F AM 即  A = . C F CM 由角 平 分 定 理 逆 定 理 得 , FM 是 ∠A F C 的平分
线, 同理可证 , FN 是 ∠B F C 的平分线 . 又   ∠A 所 以 MF ⊥ NF, F C + ∠B F C =1 8 0 °, 即以MN 为直径的圆总经过点 F . ( ) , 当点 C 在双曲线右支上时 , 如图 2 分别过 2 垂足分别 A, B, C 作右准线l的垂线 A A ′, B B ′, C C ′, , , , 为A 连结 并延长交准线 于点 ′B ′C ′ C F l D.

F C F 由双曲线第二定义得   A = = e, AA ′ C C ′ F AA ′ 所以  A = . C F C C ′ AA ′ AM , 又因为 AA ′∥C C ′,所以 = C C ′ CM F AM 即  A = . C F CM 由外 角 平 分 线 逆 定 理 得 , FM 是 ∠A F D 的平分
同理可证 , 线, FN 是 ∠B F D 的平分线 .
° ,所以 MF⊥NF, 又 ∠A F D+ ∠B F D=1 8 0 即以 MN 为直径的圆总经过点 F .

交双 曲 线 于 A, B 两 点, C 是双曲线上的任意一 直线 C 点, A, C B 分 别 与 准 线l 交 于 M , N 两 点, 求证 : 以线段 MN 为直径的圆必过焦点 F . ) 证明 ( 当点 C 在 双 曲 线 左 支 上 时 , 如 图 1, 1 分 别 过 A, B, C 作 右 准 线l 的 垂 线 AA ′, B B ′, 垂足分别为 A C C ′, ′, B ′, C ′.

图1

F C F 由双曲线第二定义得   A = = e, AA ′ C C ′ F AA ′ 所以  A = . C F C C ′

图2

( 下转第 5 6 页)

5 6

数学通报          2 0 1 4年 第5 3卷 第7期
3 3 ( ( s i n i n α+ θ) s θ) β+ , = s i nα s i n β

2 t a n 8 t a n α , α 则t a n = a n . θ γ= 2 t 4 2 1 + 3 t a n 2 7 t a n 1 8 t a n 1 α α+ α- 证明   为 使 计 算 简 洁 , 设 ∠C A B= ∠C B A= 因此θ= C B=1 8 0 ° -2 α, ∠A y, y- y. 由引理 1 构造方程 ( ( , c o t =2 c o t o t 1 8 0 ° -2 α)   y- y+c y) ( 即  c o t =2 c o t o t 2 α)   y- y-c y. 利用三角公式化简为关于 c o t   y 的三次方程
3 2     3c o t o t o t c o t o t α·c   α=0, y-c y+3 y-c

i nα i nα·c o s o s i n θ+c α·s θ s 化简得  s = · · s i n s i n c o s +c o s s i n θ θ β β β , 继续整理得到关于 t 的表达式 a n θ
3 3 i n i n i n s i nα·s α β-s β·s t a n θ= 1 1 3 3 · · c o s i n α-c o s i nβ α s β s 3 3 s i n i n α-s β = . 1 1 -3 -3 · c o s i n β-c o s i n α·s α β s 2 2 1 1

( ),

1 3

证毕 . 定理 2 和定理 3 的 结 果 形 式 差 别 很 大 , 但它 们本质上是统一 的 . 当 α= 虽然定理3中的 β 时, 但极限式 分式无意义 ,
3 3 s i n i n α-s β l i m 1 1 -3 -3 α β→ c o s i n β-c o s i n α·s α β·s 的结 果 与 定 理 2 完 全 相 同 , 读者可自行用洛必达 2 2

1 方程有唯一实根 c o t o t   α, y= c 3 也就是   t a n t a n α, y=3 进而可以计算各角度正切值 , 6 t a nα , 2 t a nα , t a n C= t a n   θ= 2 2 9 t a n 1+3 t a n α-1 α 8 t a nα 证毕 . t a nγ= . 4 2 2 7 t a n 8 t a n α+1 α-1 定理 3  如 图 5, 其中 B C 中 有 一 点 P, △A

至 此, 我们从代数和几何两个角度对 法则验证 .

C A 的最大值问题做出了完整的论证 . ∠P
参考文献

A B= B C= B A ∠P α, ∠P ∠P β 为 定 值 并 且α≠ β,
那么 = ∠P C B= ∠P A C= θ,
3 s i n3α-s i n β t a n . θ= 1 1 -3 -3 · ·s c o s s i n -c o s i n α α β β 2 2

[ 初等数学复习及 研 究 ( 平 面 几 何) 人民教 1  梁绍鸿 . M] .北 京 : 育出版社 , 2 0 0 8: 2 0 0 等力点等角 中 心 布 洛 卡 点 及 外 心 垂 心 之 间 的 度 量 关 系 2  陈都 . [ ] J .中学数学 , 2 0 0 5, 7: 4 8-4 9 ] 三角形勃罗卡点和 重 心 的 形 似 貌 合 及 妙 用 [ 3  吴嘉程 . J .中 学 数学月刊 , 2 0 0 8, 6: 2 7-2 8 ] 广义回形折线的布 洛 卡 点 及 其 基 本 性 质 [ 4  熊曾润 . J .赣 南 师 范学院学报 , 1 9 9 8, 3: 3 4-3 7 ] 三角形等长截分 点 初 探 [ 5  许书华 . J .数 学 通 报 , 2 0 1 3, 8: 6 0- 6 1、 6 3

图5

巧用余弦定理证明三角形的布洛卡点的一个性质 6  彭小明 . [ ] , 教师版 ) J .数学教学通讯 ( 2 0 1 2, 3 6: 5 9 [ 杨清桃 . 几何瑰宝 ( 上) 哈尔滨工业大学 7  沈文选 , M] .哈尔滨 : 出版社 , 2 0 1 0: 2 2 3-2 2 4

证明   由引理 2 建立方程

( 上接第 5 3 页) ) ( ) 综合 ( 得: 以 MN 为直径的圆总经过点 F . 1 2 对于椭圆与抛物线中的结论也可以仿照上述 方法证得 .
参考文献 ] 圆锥曲线一个有趣性质的再推广[ 数 学 通 报, 1  张元 方 . J . 2 0 1 2, 2


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