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选修2-3 离散型随机变量的概率分布列讲义


2.1 离散型随机变量及其分布列 知识梳理 知识点 1:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量常用字母 X , Y, ? ,

? ,? 表示.
例如,在含有 10 件次品的 100 件产品中,任意抽取 4 件,可能含有的次品件数 X 将随 着抽取结果的变化而变化,是一个随机变量,其值域是{0, 1, 2 , 3, 4 } . 利用随机变量可以表达一些事件. 例如{X=0} 表示“抽出 0 件次品” , {X =4} 表示“抽 出 4 件次品”等.你能说出{X< 3 }在这里表示什么事件吗?“抽出 3 件以上次品”又如 何用 X 表示呢? 知识点 2:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量. 离散型随机变量的例子很多.例如某人射击一次可能命中的环数 X 是一个离散型随机 变量,它的所有可能取值为 0,1,?,10;某网页在 24 小时内被浏览的次数 Y 也是一个离 散型随机变量,它的所有可能取值为 0, 1,2,?. 注意:离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随 机变 量都是用变量 表示随机 试验的结果; 但是离散 型随 机变量的 结果可以 按一定次 序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以一一列出 注意: (1)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质,但可以用数量来表达 如投掷一枚
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硬币, ? =0,表示正面向上, ? =1,表示反面向上

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(2)若 ? 是随机变量,? ? a? ? b, a, b 是常数,则? 也是随机变量

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知识点 3: 分布列 设离散型随机变量 ξ 可能取得值为 x1,x2,?,x3,?,ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?) 的概率为 P(? ? xi ) ? pi ,则称表 ξ

P

x1 P1

x2 P2

? ?

xi Pi

? ?

为随机变量 ξ 的概率分布,简称 ξ 的分布列 . 知识点 4: 分布列的两个性质 任何随机事件发生的概率都满足: 0 ? P ( A) ? 1 ,并且不可能事件的概率为 0,必然事件 的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,?; ⑵P1+P2+?=1. 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的 和 即 P(? ? xk ) ? P(? ? xk ) ? P(? ? xk ?1 ) ? ? ? ? .
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知识点 5:两点分布列
?1,针尖向上; 在掷一枚图钉的随机试验中,令 X= ? 如果针尖向上的概率为 p ,试写出 ?0,针尖向下.

随机变量 X 的分布列.根据分布列的性质,针尖向下的概率是( 1 ? p ) .于是,随机变量 X 的分布列是

ξ P

0

1

1? p

p

像上面这样的分布列称为两点分布列. 两点分布列的应用非常广泛.如抽取的彩券是否中奖;买回的一件产品是否为正品;新 生婴儿的性别;投篮是否命中等,都可以用两点分布列来研究.如果随机变量 X 的分布列为 两点分布列,就称 X 服从两点分布,而称 p =P (X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0 一 1 分布. 由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验, 所以还称 这种分布为伯努利分布.

P?? ? 0? ? q ,

P?? ? 1? ? p ,

0 ? p ? 1, p ? q ? 1 .

知识点 6:超几何分布列 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品数,则事件 {X=k } 发 生 的 概 率 为 P( X ? k ) ?
? . n ? N, M ? N, n , M, N ? N
k n?k CM CN ?M , k ? 0,1, 2, n CN

M ,n } ,且 , m , 其 中 m ? min{

称分布列 X P 0
0 n CM CN ?M n CN

1
1 n ?1 CM CN ?M n CN

? ?

m
m n ?m CM CN ?M n CN

为超几何分布列. 如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列, 则称随机变量 X 服从超几何 分布. 2.2 条件概率与二项分布 知识梳理: 知识点 1:设 A 和 B 为两个事件,P(A)>0,那么,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生 的概率叫做条件概率. 用符号“ P( B | A) ”来表示,读作 A 发生的条件下 B 的概率. 知识点 2:我们把事件 A 和 B 同时发生所构成的事件 D,称为事件 A 与 B 的交(或积) ,记做 D ? AB . 一般的我们有条件概率公式 P( B | A) 定义为 P( B | A) ?

P( AB) .( P( A) ? 0 ) P( A)

条件概率的性质: (1)条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间,即

0 ? P(B A) ? 1.
(2)如果是 B 和 C 两个互斥事件,则 P( B

C | A) ? P( B | A) ? P(C | A) .

知识点 3:相互独立事件及其发生的概率 (1)定义:设 A, B 为两个事件,如果 P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) , 则称事件 A 与事件 B 相 互独立.事件 A (或 B )是否发生对事件 B (或 A )发生的概率没有影响,这样的两个事件叫

做相互独立事件 若 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B , A 与 B , A 与 B 也相互独立
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(2)相互独立事件同时发生的概率: P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积 一般地,如果事件
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A1 , A2 ,


, An 相互独立,那么这 n 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积, ? An ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? ? P( An ) .

P( A1 ? A2 ?

(3)对于事件 A 与 B 及它们的和事件与积事件有下面的关系:

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? P( A ? B)

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知识点 4:独立重复试验 (1)定义:指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验 (2)独立重复试验的概率公式: 一般地,如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 P ,那么在 n 次独立重复试验中这个
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k k 事件恰好发生 k 次的概率 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P) n?k .它是 ? (1 ? P) ? P ? 展开式的第 k ? 1 项
n
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知识点 5:离散型随机变量的二项分布 在 一 次 随机 试 验中 ,某事 件 可 能发 生 也可 能 不发 生 , 在 n 次独立重复试验中这个 事件发生的次数 ξ 是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是 P,那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
k k n ?k (k=0,1,2,?,n, q ? 1 ? p ) . Pn (? ? k ) ? Cn p q ,

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下: ξ 0
0 0 n Cn pq

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

k
k k n?k Cn p q

? ?

n
n n 0 Cn p q

P

k k n?k 由 于 Cn p q 恰好是二项展开式 0 0 n 1 1 n?1 k k n ?k n n 0 (q ? p) n ? Cn p q ? Cn p q ? ? ? Cn p q ? ? ? Cn p q

中 的 各 项的 值 ,所 以 称这 样 的 随机 变 量 ξ 服从二 项 分 布,
k k n?k 记 作 ξ ~ B ( n , p ) ,其中 n , p 为参数,并记 Cn p q =b(k;n,p).

二、典型例题分析: 题型一随机变量、离散型随机变量的概念 例 1. (1)①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数 ? ;②长江上某水文站观察到一天中的水 位 ? ;③某超市一天中的顾客量 ? A.①; B.②; C.③; 其中的 ? 是连续型随机变量的是( D.①②③ )

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(2)随机变量 ? 的所有等可能取值为 1, 2, …, n ,若 P ?? ? 4? ? 0.3 ,则( A. n ? 3 ; B. n ? 4 ; C. n ? 10 ; D.不能确定 (3)抛掷两次骰子,两个点的和不等于 8 的概率为( ) A.



11 ; 12

B.

31 ; 36

C.

5 ; 36

D.

1 12

练习:1. 抛掷两枚骰子各一次,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 ξ ,试问:“ξ > 4”表示的试验结果是什么? 2:如果 ? 是一个离散型随机变量,则假命题是( ) A. ? 取每一个可能值的概率都是非负数;B. ? 取所有可能值的概率之和为 1; C. ? 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和; D. ? 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 3. X p 随机变量 X 的分布列为 -1 0.16 0 a/10 1 a2 2 a/5 3 0.3

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则 a=_______。 4.某一射手射击所得的环数 ξ 的分布列如下: ξ 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22

P

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率.

题型二。解决超几何分布问题 例 1.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件,试求: (1)取到的次品数 X 的分布列; (2)至少取到 1 件次品的概率.

变式 1:袋中有大小相同的 5 个白球和 3 个黑球,从中任意摸出 4 个,求下列事件发生的概 率 (1)摸出 2 个或 3 个白球 (2)至少摸出一个黑球
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2.盒中有 10 只螺丝钉,其中有 3 只是坏的,现从盒中随机地抽取 4 只,那么 A.恰有 1 只坏的概率 B.恰有 2 只好的概率 C.4 只全是好的概率 D.至多 2 只坏的概率

3 为( 10



3.袋子里装有大小相同的黑白两色的手套,黑色手套 15 支,白色手套 10 只,现从中随机 地取出 2 只手套,如果 2 只是同色手套则甲获胜,2 只手套颜色不同则乙获胜.试问:甲、 乙获胜的机会是( ) A.甲多 B.乙多 C.一样多 D.不确定

题型三:求离散型随机变量的分布列 例 1. (1)一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球,已知红球个数是绿球个数的 两倍,黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球,若取出红球得 1 分,取出 黄球得 0 分,取出绿球得-1 分,试写出从该盒中取出一球所得分数 ξ 的分布列.

(2) .掷 3 枚均匀硬币一次,求正面个数与反面个数之差 X 的分布列.

变式 1. 袋子中有 1 个白球和 2 个红球. ⑴ 每次取 1 个球,不放回,直到取到白球为止.求取球次数 ? 的分布列. ⑵ 每次取 1 个球,放回,直到取到白球为止.求取球次数 ? 的分布列.

例 2. 一袋中装有 6 个同样大小的黑球,编号为 1,2,3,4,5,6,现从中随机取出 3 个球, 以 ? 表示取出球的最大号码,求 ? 的分布列.

变式训练2:现有一大批种子,其中优质良种占30%,从中任取2粒,记 ? 为2粒中优质良种粒 数,则 ? 的分布列是 .

题型四:求条件概率 计 算事件 A 发生的条件下 B 的条件概率,有 2 种方法: (1)利用定义: P B A ?

? ?

P? AB? P? A?

(2)利用古典概型公式: P B A ?

? ?

n? AB? n? A?

例 1:抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为 S={1,2,3,4,5,6},令事件 A={2,3, 5},B={1,2,4,5,6},求 P(A) ,P(B) ,P(AB) ,P(A︱B) 。

变式 1:在一个盒子中有大小一样的 20 个球,其中 10 和红球,10 个白球。求第 1 个人摸出 1 个红球,紧接着第 2 个人摸出 1 个白球的概率。

2、 从一副不含大小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 2 张, 每次抽 1 张, 已知第一次抽到 A , 第二次也抽到 A 的概率为 . 3、掷骰子 2 次,每个结果以 ? x, y ? 记之,其中 x1 , x2 分别表示第一颗,第二颗骰子的点 数, 设 A ? ?x1 , x2 ? x1 ? x2 ? 10 , 则P BA ? B ? ?x1 , x2 ? x1 ? x2 ,

?

?

?

?

? ?

.

题型五:相互独立事件的概率计算 例 1:甲、乙二射击运动员分别对一目标射击 1 次,甲射中的概率为 0.8 ,乙射中的概 率为 0.9 ,求: (1) 2 人都射中目标的概率; (2) 2 人中恰有 1 人射中目标的概率; (3) 2 人至少有 1 人射中目标的概率; (4) 2 人至多有 1 人射中目标的概率?

变式 1.甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都是 0 .6 ,计算:

(1)两人都投中的概率;(2)其中恰有一人投中的概率;(3)至少有一人投中的概

变式 2:重复抛掷一枚筛子 5 次得到点数为 6 的次数记为 ξ ,求 P(ξ >3).

例 2.在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关,只要其中有 1 个开关能够闭合, 线路就能正常工作 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7, 计算在这段时间内 线路正常工作的概率
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JA JB

JC

变式 1:如图添加第四个开关 J D 与其它三个开关串联,在某段时间内此开关能够闭合 的概率也是 0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率
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变式 2:如图两个开关串联再与第三个开关并联,在某段时间内每个开关能够闭合的概 率都是 0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率
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例 3.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 0.2. (1)假定有 5 门这种高炮控制某个区域,求敌机进入这个区域后未被击中的概率; (2)要使敌机一旦进入这个区域后有 0.9 以上的概率被击中,需至少布置几门高炮? 分析:因为敌机被击中的就是至少有 1 门高炮击中敌机,故敌机被击中的概率即为至少 有 1 门高炮击中敌机的概率
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变式 1:某人对一目标进行射击,每次命中率都是 0.25,若使至少命中 1 次的概率不小 于 0.75,至少应射击几次?

变式 2:一批玉米种子,其发芽率是 0.8.(1)问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少 有一粒发芽的概率大于 98% ? (2) 若每穴种 3 粒, 求恰好两粒发芽的概率. ( lg 2 ? 0.3010 )

题型五独立重复试验问题的计算 例 1.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定 5 局 3 胜制(即 5 局内谁先赢 3 局 就算胜出并停止比赛) . (1)试分别求甲打完 3 局、4 局、5 局才能取胜的概率. (2)按比赛规则甲获胜的概率.

变式:某车间的 5 台机床在 1 小时内需要工人照管的概率都是

1 ,求 1 小时内 5 台机床中 4

至少 2 台需要工人照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字)

三、课堂总结 : 1.随机变量离散型、 随机变量连续型随机变量的概念. 随机变量 ξ 是关于试验结果的函数, 即每一个试验结果对应着一个实数;随机变量 ξ 的线性组合 η =aξ +b(其中 a、b 是常数) 也是随机变量. 2.⑴根据随机变量的概率分步(分步列) ,可以求随机事件的概率;⑵两点分布是一 种常见的离散型随机变量的分布,它是概率论中最重要的几种分布之一.(3) 离散型 随机变量的超几何分布. 3.两个事件相互独立, 是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 一般地,两个事件不可能即互斥又相互独立,因为互斥事件是不可能同时发生的,而相互 独立事件是以它们能够同时发生为前提的 相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生 的概率的积,这一点与互斥事件的概率和也是不同的 4.独立重复试验要从三方面考虑:第一,每次试验是在同样条件下进行;第二,各次试验 中的事件是相互独立的 第三,每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生 5. 如果 1 次试验中某事件发生的概率是 P , 那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次
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的概率为 Pn (k ) ? Cn P (1 ? P)
k k

n ?k
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对于此式可以这么理解:由于 1 次试验中事件 A 要么发

生,要么不发生,所以在 n 次独立重复试验中 A 恰好发生 k 次,则在另外的 n ? k 次中 A 没 有发生,即 A 发生,由 P( A) ? P , P( A) ? 1 ? P 所以上面的公式恰为 [(1 ? P) ? P] 展开
n
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式中的第 k ? 1 项,可见排列组合、二项式定理及概率间存在着密切的联系 关于求概率方法小结:

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1.运用 P( A) ? , P( A ? B) ? P( A) ? P(B), PP(A · B)=P(A)·P(B)等概率公式时,应特别注意各自 (A B )? 成立的前提条件, 切勿混淆不清. 如当 A, B 为相互独立事件时运用 P( A ? B ) ? P ( A) ? P ( B ) 便错. 2.独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,每次试 验都只有两重结果(即某事件要么发生,要么不发生) ,并且在任何一次试验中,事件发生 的概率均相等. 独立重复试验是相互独立事件的特例(概率公式也是如此) ,就像对立事件是互斥事件的特 例一样, 只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单, 就像有“至少”或 “至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样. 3.解决概率问题要注意“三个步骤,一个结合”: (1)求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质,即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步, 判断事件的运算, 即是至少有一个发生, 还是同时发生, 分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式求得. m 等可能事件: P( A) ? n 和 事 互斥事件:P(A+B)=P(A)+P(B),P(A·B)=0 件 独立事件:P(A·B)=P(A) ·P(B)等 k k n?k 积 事 P ( k ) ?C n 次独立重复试验: n n P (1 ? P) 课后练习: 件 一、选择题 1.已知非空集合 A、B 满足 A ? ? B,给出以下四个命题: ①若任取 x∈A,则 x∈B 是必然事件 ③若任取 x∈B,则 x∈A 是随机事件 其中正确的个数是( ) A、1 B、2 ②若 x ? A,则 x∈B 是不可能事件 ④若 x ? B,则 x ? A 是必然事件 C、3 D、4

m n

80 2.一射手对同一目标独立地射击四次,已知至少命中一次的概率为 ,则此射手每次射 81
击命中的概率为( A. 1 3 ) B. 2 3 C. 1 4 D. 2 5

3. 设 ? 是离散型随机变量,p (? ? x1 ) ?

2 1 4 ,p (? ? x 2 ) ? , 且 x1 ? x 2 , 现已知:E? ? , 3 3 3

2 ,则 x1 ? x2 的值为( 9 5 7 (A) (B) 3 3 D? ?

) (C) 3 (D)

11 3

4. 福娃是北京 2008 年第 29 届奥运会吉祥物, 每组福娃都由“贝贝”、 “晶晶”、 “欢欢”、 “迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成. 甲、 乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个 福娃留作纪念, 按先甲选再乙选的顺序不放回地选择, 则在这两位好友所选择的福娃中, “贝 贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为( )

A.

1 10

B.

1 5

C.

3 5

D.

4 5

5. (汉沽一中 2008~2009 届月考文 9).面积为 S 的△ABC,D 是 BC 的中点,向△ABC 内部投 一点,那么点落在△ABD 内的概率为 ( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 6

7.在圆周上有 10 个等分,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机选择 了 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是( ) A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

8.已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站率为 60%,则他在 3 天乘车中, 此班次公共汽车至少有 2 天准时到站的概率为 ( )

27 125 4 9.甲、乙、丙三位同学上课后独立完成 5 道自我检测题,甲及格概率为 ,乙及格概率为 5 2 2 ,丙及格概率为 ,则三人中至少有一人及格的概率为( ) 5 3 1 24 16 59 A. B. C. D. 25 25 75 75
A. B. C. D. 10. 从集合 {1, 2, 3, 概率是 A.

36 125

54 125

81 125

, 10} 中随机取出 6 个不同的数, 在这些选法中, 第二小的数为 3 的
1 3 1 6 1 60


1 2

B.

C.

D.

二、填空题 11.已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX ? 0 , DX ? 1 ,则 a ? b? .

12.点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点 B,则劣弧 AB 的长 度小于 1 的概率为 。 13.6 位身高不同的同学拍照,要求分成两排,每排 3 人,则后排每人均比其前排的同学身 材要高的概率是_________. 14.从分别写有 0, 1, 2, 3, 4 的五张卡片中第一次取出一张卡片,记下数字后放回,再从中取 出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于 4 的概率是 三、解答题 15.将 A 、 B 两枚骰子各抛掷一次,观察向上的点数,问: (1)共有多少种不同的结果? (2)两数之和是 3 的倍数的结果有多少种? (3)两数之和是 3 的倍数的概率是多少? .

16.甲、乙两人进行摸球游戏,一袋中装有 2 个黑球和 1 个红球。规则如下:若一方摸中红 球,将此球放入袋中,此人继续摸球;若一方没有摸到红球,将摸到的球放入袋中,则由对 方摸彩球。现甲进行第一次摸球。 (1)在前三次摸球中,甲恰好摸中一次红球的所有情况; (2)在前四次摸球中,甲恰好摸中两次红球的概率; (3)设 ? 是前三次摸球中,甲摸到的红球的次数,求随机变量 ? 的概率分布。


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