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数列通项公式方法大全很经典


1,数列通项公式的十种求法: (1)公式法(构造公式法) 例1 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 2n , a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。
n ?1

an ?1 an 3 a ?1 an 3 a ? n ? ,则 n ? n ? ,故数列 { n }是 n ?1 n ?1 2 2 2 2 2 2 2n a 3 a 2 3 ? ? 1 为首项, ? 1 ? (n ? 1) , 以 1 以 为公差的等差数列, 由等差数列的通项公式, 得 n n 1 2 2 2 2 2 3 1 n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? ( n ? )2 。 2 2
解:an?1 ? 2an ? 3? 2n 两边除以 2 ,得 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 2n 转化为

an ?1 an 3 ? ? ,说明数列 2n ?1 2n 2 a a 3 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n ? 1 ? (n ? 1) ,进而求出数列 n n 2 2 2

{an } 的通项公式。
(2)累加法 例2 已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:由 an?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1 则

an ? (an ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2( n ? 2) ? 1] ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2 ? (n ? 1)(n ? 1) ? 1 ?2 ? n2
所以数列 {an } 的通项公式为 an ? n2 。 评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? an ? 2n ? 1 转化为 an?1 ? an ? 2n ? 1 ,进而求 出 (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ?

? (a3 ? a2 ) ? (a2 ? a1 ) ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。
n

变式:已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2 ? 3 ? 1 ,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。 (3)累乘法

例 3 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

解:因为 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an,a1 ? 3 ,所以 an ? 0 ,则

an ?1 ? 2(n ? 1)5n ,故 an

an ?

an an ?1 ? ? an ?1 an ? 2

?

a3 a2 ? ? a1 a2 a1 ? [2(2 ? 1) ? 52 ][2(1 ? 1) ? 51 ] ? 3
? 2 ?1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ][2(n ? 2 ? 1)5n ? 2 ] ? ? 2n ?1[n(n ? 1) ? ? 3 ? 2n ?1 ? 5
n ( n ?1) 2

? 3 ? 2] ? 5( n ?1) ? ( n ? 2) ? ? n!

?3

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 3 ? 2n?1 ? 5

n ( n ?1) 2

? n!.
an ?1 进而求 ? 2(n ? 1)5n , an

评注: 本题解题的关键是把递推关系 an?1 ? 2(n ? 1)5n ? an 转化为



an an?1 ? ? an?1 an?2

?

a3 a2 ? ? a1 ,即得数列 {an } 的通项公式。 a2 a1

变式: 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 项公式。

? (n ?1)an?1 (n ? 2) ,求 {an } 的通

(4)待定系数法 例 4 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3? 5n,a1 ? 6 ,求数列 ?an ? 的通项公式。 解:设 an?1 ? x ? 5n?1 ? 2(an ? x ? 5n )
n


n n?1 n ,等式两边消去 ? 2 an ? 2 x? 5

将 an?1 ? 2an ? 3? 5 代入④式,得 2an ? 3? 5 ? x ? 5

n n x? 5 , x ? ? 1, , 两 边 除 以 5 , 得 3 ? 5x ? 2x 则 代入④式得 2an , 得 3 ? 5n ? x ? 5n?1 ? 2

an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n )



由 a1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ? 0 及⑤式得 an ? 5n ? 0 ,则

an?1 ? 5n?1 ? 2 ,则数列 {an ? 5n } 是以 n an ? 5

a1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 an ? 5n ? 2n?1 ,故 an ? 2n?1 ? 5n 。
评注:本题解题的关键是把递推关系式 an?1 ? 2an ? 3? 5n 转化为 an?1 ? 5n?1 ? 2(an ? 5n ) , 从而可知数列 {an ? 5n }是等比数列,进而求出数列 {an ? 5n } 的通项公式,最后再求出数列

{an } 的通项公式。
变式: ① 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 5 ? 2n ? 4,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。 ② 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? 3n2 ? 4n ? 5,a1 ? 1,求数列 {an } 的通项公式。

(5)对数变换法
5 例 5 已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 3n ? an , a1 ? 7 ,求数列 {an } 的通项公式。

5 5 解:因为 an?1 ? 2 ? 3n ? an 式两边取 ,a1 ? 7 ,所以 an ? 0,an?1 ? 0 。在 an?1 ? 2 ? 3n ? an

常用对数得 lg an?1 ? 5lg an ? n lg3 ? lg 2 设 lg an?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg an ? xn ? y)



11 ○

将⑩式代入○ 11 式 , 得 5 lgan ? n lg 3 ? lg ? 2 x n( ?

? 1)y ?

两边消去 5(lg an ? xn ? y , )

5 lgan 并整理,得 (lg3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5 y ,则
lg 3 ? x? ? ?lg 3 ? x ? 5 x ? 4 ,故 ? ? ? x ? y ? lg 2 ? 5 y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
代入○ 11 式,得 lg an ?1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) 4 16 4 4 16 4

12 ○

由 lg a1 ? 得 lg an ?

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○ 12 式, 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ? 0, 4 16 4

lg an ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ?5, lg 3 lg 3 lg 2 lg an ? n? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? n? ? } 是以 lg 7 ? 为首项,以 5 为公比的等 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 ,因此 比数列,则 lg an ? 4 16 4 4 16 4
所以数列 {lg an ?

lg an ? (lg 7 ?

lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
1 1 1 n 1 1

? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5n ?1 ? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7
5 n ?1 1 1 1 n 1 1 1 1 1 n 1 1

?3

5n?1 ? n 4

?3

5n?1 ?1 16 5
n?1

?2
?1

5n?1 ?1 4

)

? lg(75 n ?1 ? 3
则 an ? 7
5n?1

5 n ? 4 n ?1 16

?2

4

)

?3

5n?4 n?1 16

?2

5n?1 ?1 4



5 评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 an?1 ? 2 ? 3n ? an 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg an ? n? ? ) ,从而可知数列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg an ? n? ? } 是等比数列,进而求出数列 {lg an ? n? ? } 的通项 4 16 4 4 16 4 lg an ?1 ?
公式,最后再求出数列 {an } 的通项公式。 (6)数学归纳法 例 6 已知数列 {an } 满足 an ?1 ? an ?

8(n ? 1) 8 ,a1 ? ,求数列 {an } 的通项公式。 2 2 (2n ? 1) (2n ? 3) 9

解:由 an ?1 ? an ?

8 8(n ? 1) 及 a1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(1 ? 1) 8 8 ? 2 24 ? ? ? 2 2 (2 ?1 ? 1) (2 ?1 ? 3) 9 9 ? 25 25 8(2 ? 1) 24 8?3 48 a3 ? a2 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 2 ? 1) (2 ? 2 ? 3) 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1) 48 8 ? 4 80 a4 ? a3 ? ? ? ? 2 2 (2 ? 3 ? 1) (2 ? 3 ? 3) 49 49 ? 81 81 a2 ? a1 ?
由此可猜测 an ?

(2n ? 1)2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1)2 (2 ?1 ? 1)2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 (2 ?1 ? 1)2 9 (2k ? 1)2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1 时, (2k ? 1)2

(1)当 n ? 1 时, a1 ?

(2)假设当 n ? k 时等式成立,即 ak ?

ak ?1 ? ak ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ? ? ?

(2k ? 1) 2 ? 1 8( k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1]2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1]2

由此可知,当 n ? k ? 1 时等式也成立。 根据(1) , (2)可知,等式对任何 n ? N 都成立。
*

评注: 本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项, 进而猜出数列的通项 公式,最后再用数学归纳法加以证明。 (7)换元法

例 7 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

1 (1 ? 4an ? 1 ? 24an ),a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。 16 1 2 (bn ? 1) 24

解:令 bn ? 1 ? 24an ,则 an ? 故 an ?1 ?

1 2 1 (bn ?1 ? 1) ,代入 an ?1 ? (1 ? 4an ? 1 ? 24an ) 得 24 16

1 2 1 1 2 (bn ?1 ? 1) ? [1 ? 4 (bn ? 1) ? bn ] 24 16 24
2 2 即 4bn ?1 ? (bn ? 3)

因为 bn ? 1 ? 24an ? 0 ,故 bn?1 ? 1 ? 24an?1 ? 0 则 2bn?1 ? bn ? 3 ,即 bn ?1 ? 可化为 bn ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (bn ? 3) , 2
1 为公比的等比数 2

所以 {bn ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ?1 ? 3 ? 2 为首项,以 列,因此 bn ? 3 ? 2( )

1 2

n ?1

1 1 1 ? ( ) n ?2 ,则 bn ? ( ) n ? 2 ? 3 ,即 1 ? 24an ? ( ) n ? 2 ? 3 ,得 2 2 2

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

bn ?1 ?

1 3 bn ? 形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2

最后再求出数列 {an } 的通项公式。 (8)不动点法 例 8 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

21an ? 24 ,a1 ? 4 ,求数列 {an } 的通项公式。 4an ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 2 24 ? 0 ,则 x1 ? 2,x2 ? 3 是函数 f ( x) ? ,得 4 x ?20 x ? 的 4x ?1 4x ?1

两个不动点。因为

21an ? 24 ?2 an ?1 ? 2 4an ? 1 21an ? 24 ? 2(4an ? 1) 13an ? 26 13 an ? 2 ? ? ? ? 。所以数列 an ?1 ? 3 21an ? 24 ? 3 21an ? 24 ? 3(4an ? 1) 9an ? 27 9 an ? 3 4an ? 1

? an ? 2 ? a ?2 a1 ? 2 4 ? 2 13 13 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( )n?1 , ? ? 是以 9 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 ? an ? 3 ?
则 an ?

1 13 2( )n?1 ? 1 9

? 3。

评注:本题解题的关键是先求出函数 f ( x) ? 个根 x1 ? 2,x2 ? 3 ,进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的两 4x ?1 4x ?1

?a ? 2? an?1 ? 2 13 an ? 2 ,从而可知数列 ? n ? ? ? 为等比数 an?1 ? 3 9 an ? 3 ? an ? 3 ?

列,再求出数列 ?

? an ? 2 ? ? 的通项公式,最后求出数列 {an } 的通项公式。 a ? 3 ? n ?
7an ? 2 ,a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。 2an ? 3

例 9 已知数列 {an } 满足 an ?1 ?

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 2 ,得 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

因为 an ?1 ? 1 ?

7an ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1 ? n 2an ? 3 2an ? 3

an ?

2 1 n 1 n 1 ( ) ?( ) ? 。 3 4 2 3

评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24an 的换元为 bn ,使得所给递推关系式转化

bn ?1 ?

1 3 bn ? 形式, 从而可知数列 {bn ? 3} 为等比数列, 进而求出数列 {bn ? 3} 的通项公式, 2 2

最后再求出数列 {an } 的通项公式。 课后习题: 1.数列 2,5, 2 2,11 A、 an ? 3n ? 3 的一个通项公式是( , ) D、 an ? 3n ? 3

B、 an ? 3n ?1

C、 an ? 3n ? 1

2.已知等差数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3 ? 2n , 则它的公差为( A 、2 B 、3 C、 ? 2 )

) D、 ? 3

3.在等比数列 {an } 中, a1 ? ?16, a4 ? 8, 则 a7 ? ( A、 ? 4 B、 ? 4 C、 ? 2

D、 ? 2

4.若等比数列 ?an ? 的前项和为 S n ,且 S10 ? 10 , S 20 ? 30 ,则 S 30 ? 5.已知数列 ?an ? 通项公式 an ? n 2 ? 10n ? 3 ,则该数列的最小的一个数是 6 .在数列 {an} 中, a1 ? 于 .

?1? 1 nan 且 an ?1 ? n ? N ? ,则数列 ? ? 的前 99 项和等 2 n ? 1 ? an ? an ?

?

?

7.已知 {an } 是等差数列,其中 a1 ? 31 ,公差 d ? ?8 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)数列 {an } 从哪一项开始小于 0? (3)求数列 {an } 前 n 项和的最大值,并求出对应 n 的值.

8.已知数列 ?an ? 的前项和为 S n ? n 2 ? 3n ? 1,
(1)求 a1 、 a2 、 a3 的值; (2)求通项公式 an 。

9.等差数列 ?an ? 中,前三项分别为 x,2 x,5x ? 4 ,前 n 项和为 S n ,且 S k ? 2550。 (1) 、求 x 和 k 的值; (2) 、求 Tn =

1 1 1 1 ; ? ? ??? S1 S 2 S 3 Sn

数列
等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 等 差 数 列 ① an?1 ? an ? a2 ? a1 递 推 关 系 ② an?1 ? an ? d ③ an?1 ? an ? an ? an?1 (n? N )
*

等 ①

比 数 列
*

(n? N )
*

an?1 a2 ? an a1 an ?1 ?q an an?1 an ? an an?1

(n? N )

(n ? 2)



( q ? 0, n ? N * )



( n ? 2, n ? N )
*

通 项

① an ? a1 ? (n ?1)d ② an ? pn ? q

(n? N )
*

① an ? a1 ? q n?1

(n? N )
*

( p, q为常数, n ? N * ) (n? N )
*

② an ? p ? q n ( p, q是常数, q ? 0, p ? 0, n ? N * )

① 2Sn ? n(a1 ? an ) 求 和 公 式 ② Sn ? na1 ?

? n ? n * ①求积公式 ? ? ? ai ? ? ? ( a1 a n ) ( n ? N ) ? i ?1 ?

2

n(n ? 1) d 2

(n? N )
*

?na1 , q ? 1 ? ② S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , q ? 1 ?
③ Sn ? ?

(n? N )
*

③ Sn ? An2 ? Bn ( A, B是常数, n ? N )
*

?na1 , q ? 1
n ? A ? Aq , q ? 1

(n? N , A ? 0 )
*

①若 p+q=s+r, p、q、s、r ? N*,则

①若 p+q=s+r, p、q、s、r ? N*,则 a p aq ? as ar .

a p ? aq ? as ? ar .
②对任意 c>0,c ? 1, c 主 ③ an?1 ? an?1 ? 2an , n ? N * , n ? 2 . ④若 ?an ? 、 ?bn ? 分别为两等差数列,则

②对任意 c>0,c ? 1, 若 an 恒大于 0,则 ?logc an ? 为等差
an

? ? 为等比数列.

列.
2 ③ an?1an?1 ? an ,n ? N?,n ? 2 .

④若 ?an ? 、 ?bn ? 为两等比数列,则 ?an bn ?为等比数列. ⑤若 an 恒大于 0,则数列 ?n



?an ? bn ? 为等差数列.

? ? ? ?

? ? a ? i ? 为等比数列. ? i ?1 ?
n

⑥若 ?bn ? 为正项等差自然数列,则 abn 为等比数列.

? ?

⑤数列 ? 性

? Sn ? ? 为等差数列. ?n?

⑦ S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n ,? 为等比数列.

⑥若 ?bn ? 为正项等差自然数列,则 abn 为等差 ⑧ 数列. ⑦ S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n ,? 为等差数列.
n

? ?

? ai ? n ? 2 m
i ?1

n

i ? m ?1

?a

n?m

i

, n>2m , m 、 n ? N

*

a p ? 0, p ? N * .
⑨ Sm?n ? Sm ? qm Sn ? Sn ? qn Sm . ⑩若 a1a2 ?am ? a1a2 ?an , m ? n,





Sn Sn?m ? Sm * ? ,n>2m,m、n ? N . n n ? 2m

⑨ Sm?n ? Sm ? Sn ? mnd . 则 ⑩若 Sm ? Sn , m ? n, 则 Sm? n ? 0 .
* ①若 a p ? q, aq ? p, p、q ? N ,且 p ? q ,

?a
i ?1

m?n

i

? 1.

重 要 性 质

① S mn ? S m (1 ? q m ? q 2m ? ? ? q ( n?1) m ) = S n (1 ? q n ? q 2n ? ? ? q ( m?1) n ) . ②若|q|<1,则 lim S n ? S ?
n??

则 a p?q ? 0 . ② 若 S p ? q, S q ? p, 且 p ? q , 则

S p?q ? ?( p ? q), p、q ? N .
*

a1 . 1? q

求数列{an}通项公式的方法

1. a n ?1 = an + 累加法:

f ( n) 型

2. a n ?1 =p an +q 型(p、q 为常数) 方法: (1) a n ?1 +

q q = p(a n ? ), p ?1 p ?1

再根据等比

an =( an - an?1 )+( an?1 - an?2 )+?+( a2 - a1 )
+ a1 =

列的相关知识求 an . (2) a n ?1 - an =

f (n ? 1) + f (n ? 2) +?+ f (1) + a1
n

例 1.已知数列{ an }满足 a1 =1, a n ?1 = an + 2 (n∈N+) , 求 an . [解]

an = an - an?1 + an?1 - an?2 +?+ a2 - a1 + a1
=2
n ?1

p(an ? an?1 ) 再用累加法求 an . a n ?1 a n an q (3) n ?1 = n + n ?1 ,先用累加法求 n 再求 an . p p p p 例 3.已知{ an }的首项 a1 =a (a 为常数) ,an =2 a n ?1 +1 (n∈N+, n≥ 求 an . [解] 设 an -λ =2( a n ?1 -λ ) ,则λ =-1 ∴ an +1=2( a n ?1 +1) ∴{ an ? 1 }为公比为 2 的等比数列.
∴ an +1=(a+1) ·2 ∴ an =(a+1) ·2
n ?1 n ?1

+2

n?2

+?+ 2 +1

1

-1

=

1 ? 2n n = 2 -1 1? 2
n

∴ an = 2 -1 (n∈N+)

3.

an?1 ? g ( n) 型 an an a n?1
·

4. an?1 =p an + f ( n) 型(p 为常数) 方法:变形得

a n ?1 p n ?1

=

an pn

+

f (n) , p n ?1

累乘法: an =

a n ?1 an?2

?

a2 a1

· a1

则{

an pn

}可用累加法求出,由此求 an .
n ?1

an ?1 例 2.已知数列{ an }满足 ,a1 =1, 求 an . ? n(n∈N+) an
[解]

例 4.已知{ an }满足 a1 =2, a n ?1 =2 an + 2 [解]

.求 a n .

an =

an a n?1

·

a n ?1 an?2

?

a2 a1

· a1

=(n-1) · (n-2)?1·1=(n-1) ! ∴ an =(n-1) ! (n∈N+)

a n ?1 a n = +1 2 n ?1 2 n an ∴{ n }为等差数列. 2 a n a1 ? n ?1 ? n = 2n 2 n ∴ an =n· 2

5. an?2 = p an ?1 +q an 型(p、q 为常数)

6. “已知 S n ,求 an ”型 方法: an = S n - S n ?1 (注意 a1 是否符合) 例 6.设 S n 为{ an }的前 n 项和, S n = [解] ∵ S n =

? px ? q n n (1) x1 ? x2 时, an = C1 · x1 + C 2 · x2
特征根法: x
2

·x ? x2 时, an =( C1 + C 2 ·n) 例 5.数列{ an }中, a1 =2, a2 =3,且 2 an = a n ?1 + a n ?1 (n ∈N+,n≥2) ,求 an . [解] a n ?1 =2 an - a n ?1 (2) x1
n 1

3 2

( an -1) ,求 an (n∈N+

3 2

( an -1) (n∈N+)

∴当 n=1 时, a1 = ∴ a1 =3 当 n≥2 时,

3 2

( a1 -1)

? x2 ? 1 ∴ an =( C1 + C 2 ·n) · 1 = C1 + C 2 ·n
∴x
2

? 2x ?1

∴ x1

n

?C1 ? C 2 ? 2 ∴? ?C1 ? 2C 2 ? 3
∴ an

?C1 ? 1 ∴? ?C 2 ? 1

? n ? 1(n ? N ? )

an = S n - S n?1 3 3 = ( an -1)- ( an ?1 -1) 2 2 n ∴ an =3 a n ?1 ∴ an = 3 (n∈N+)

求数列{an}的前 n 项和的方法
(1)倒序相加法 此种方法主要针对类似等差数列中 (2)公式法

此种方法是针对于有公式可套的数列,如等差、等 比数列,关键是观察数列的特点,找出对应的公式. 公式: ①等差数列:

an ? a1 ? an?1 ? a2 ?
例:等差数列求和

,具有这样特点的数列.

Sn ? a1 ? a2 ?

? an

? a1 ? (a1 ? d ) ?

? [a1 ? (n ? 1)d ] ①

Sn ?

把项的次序反过来,则:

Sn ? an ? (an ? d ) ?
①+②得:

? [an ? (n ?1)d ] ②

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2 n(n ? 1) ? nan ? d 2

Sm?n ? Sm ? Sn ? mnd
Sn Sn?m ? Sm ? (n ? 2m, m, n ? N * ) n n ? 2m

n个

2Sn ? ? a1 ? an ? ? (a1 ? an ) ?

? (a1 ? an )

②等比数列:

? n(a1 ? an )
Sn ? n(a1 ? an ) 2

Sn ?

a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q ; (q ? 1) ? 1? q 1? q

Sm?n ? Sn ? Smqn
③1+2+3+??+n =

n(n ? 1) ; 2

12 ? 22 ? 32 ?
?

? n2

1 n(n ? 1)(2n ? 1) 6

13 ? 23 ? 33 ?

? n3

? (1 ? 2 ? 3 ?
?
(3)错位相减法 此种方法主要用于数列 {an bn } 的求和,其中

? n)2

1 2 n (n ? 1) 2 4
(4)分组化归法 此方法主要用于无法整体求和的数列,可将其通项

{an } 为等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列,
只需用 Sn ? qSn 便可转化为等比数列的求和, 但要 注意讨论 q=1 和 q≠1 两种情况.

写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和,再综 合求出所有项的和.

例:试化简下列和式:

Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ?

? nxn?1 ( x ? 0)
n(n ? 1) 2

解:①若 x=1,则 Sn=1+2+3+?+n =

1 1 1 , 1 ? ? ,??, 2 2 4 1 1 1 1 ? ? +??+ n ?1 的和. 2 4 2 1 1 1 解:∵ an ? 1 ? ? ? ? n ?1 2 4 2
例:求数列 1, 1 ?

②若 x≠1,则 Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ?

? nxn?1

xSn ? x ? 2x2 ? 3x3 ?
两式相减得:

? nxn

(1 ? x)Sn ? 1 ? x ? x2 +?+ x n?1 ? nxn
? 1 ? xn ? nx n 1? x



Sn ?

1 ? xn nx n ? (1 ? x)2 1 ? x

1 1 ? ( )n 2 ? 2? 1 ? 1 2n ?1 1? 2 1 1 1 ∴ S n ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? 2 2 4 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) 2 4 2 1 1 ? (2 ? 1) ? (2 ? ) ? (2 ? 2 ) 2 2 1 ? ? (2 ? n ?1 ) 2 1 1 1 ? 2n ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) 2 4 2 1 ? 2n ? 2 ? n ?1 2
(6)裂项相消法 此方法主要针对

(5)奇偶求和法 此种方法是针对于奇、偶数项,要考虑符号的 数列,要求 Sn,就必须分奇偶来讨论,最后进行综 合. 数列. 例:求和

1 1 ? ? a1a2 a2 a3

?

1 这样的求和,其中{an}是等差 an?1an

例 : {an} 为 首 项 为 a1, 公 差 为 d 的 等 差 数 列 , 求

Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ?

? (?1)n?1 (2n ?1)

Sn ?
解:

解:当 n = 2k (k ? N+)时,

1 1 1 ? ? ? a1a2 a2 a3 a3a4

?

1 an?1an

Sn ? S2k ? (1 ? 3) ? (5 ? 7) ?
? [(4k ? 3) ? (4k ? 1)]
? ?2k ? ?n


1 1 1 ak ? d ? ak ? ? ak ak ?1 ak (ak ? d ) d ak (ak ? d ) ? 1 1 1 1 1 1 ( ? )? ( ? ) d ak ak ? d d ak ak ?1

当 n ? 2k ? 1(k ? N? )时 ,

∴ Sn ?

1 1 1 1 1 1 ( ? )? ( ? ) d a1 a2 d a2 a3

Sn ? S2k ?1 ? S2k ? a2k ? ?2k ? [?(4k ?1)]
? 2k ? 1 ?n
综合得: Sn ? (?1)n?1 n

?

?

1 1 1 ( ? ) d an ?1 an ?( 1 1 ? )] an?1 an

?

1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? d a1 a2 a2 a3 1 1 1 ( ? ) d a1 an n ?1 a1[a1 ? (n ? 1)d ]

?

?

(7)分类讨论 此方法是针对数列 { an } 的其中几项符号与另外的项不 同,而求各项绝对值的和的问题,主要是要分段求.

(8)归纳—猜想—证明 此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项 求出各项之和的数列, 先用不完全归纳法猜出 S n 的表达式,然后用数学归纳法证明之.

例:已知等比数列{ an }中, a1 =64,q= 求数列{| bn |}的前 n 项和 S n .
解: an = a1

1 2 2 2 2 ,设 bn =log2 an , 例:求和 S n = 1 + 3 + 5 +?+ (2n ? 1) 2
解: S1 ? 1 , S 2 ? 10 , S3 ? 35 ,

q n?1 = 2 7?n

S 4 ? 84 , S5 ? 165,?
1 S n = n(4n 2 ? 1) (待定系数法) 3 1 2 证明: (1)当 n =1 时, n( 4n ? 1) =1= S1 3 ∴ n =1 时成立. 1 2 (2)假设当 n =k 时, S k = k ( 4k ? 1) 3 则 n =k+1 时,

∴ bn = log2 an = 7 ? n (1)当 n ≤7 时, bn ≥0

此时, S n =-

1 2 13 n + n 2 2

(2)当 n >7 时, bn <0 此时, S n =

1 2 13 n - n +42( n ≥8) 2 2 1 2 13 n + n ( n ≤7) - 2 2

S k ?1 = S k + (2k ? 1) 2
=

k ?1 [2(k ? 1) ? 1][ 2(k ? 1) ? 1] 3
*

∴ Sn =

n =k+1 时,成立.
由(1) 、 (2)知,对一切 n∈N ,

1 2 13 n - n +42( n ≥8) 2 2

1 S n = n(4n 2 ? 1) . 3


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