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2.2.1


2012 年开封市优质 课比赛 41 号

高中数学选修 1-1 第 2 章 圆锥曲线与方程

§2.2.1 双曲线及其标准标程

开封市第二实验高中:李歌

双曲线及其标准方程
一 教学目标 知识目标:1 熟练掌握双曲线的定义。 2 熟练掌握双曲线的标准方程,会根据所给的条件画出双曲线的 草图并确定双曲线的标准方程。 能力目标:1 重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养。 2 启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问 题和创造地解决问题。 3 通过教师指导发现知识结论, 培养学生抽象概括能力和逻辑思维 能力。 二 教学重难点
1 重点:双曲线的定义及标准方程

2 难点:双曲线的定义及标准方程的推导 三 教学方法
直观发现

四 教学手段 采用多媒体辅助教学,用 flash 动画演示画双曲线。引导学生进行 思考,调动学生学习的积极性。 五 教学过程 (一) 复习引入 1 椭圆的定义:与两个定点距离的和为非零常数(大于两个定点的距离)的点 的轨迹是椭圆。那么,与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么? 2 演示双曲线的形成。请同学们观察分析双曲线的特征,给出定义。

(二) 双曲线的概念 1 定义:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的 点的轨迹叫做双曲线。 2 这两个定点, F1,F2 叫做双曲线的焦点,两焦点之间的距离 F1 F2 叫做焦距。 3 说明,常数小于 F1 F2 ,并思考常数等于 F1 F2 是什么轨迹,小于 F1 F2 是什么 轨迹,当常数等于零时,是什么轨迹。 (三) 双曲线的标准方程 1(1)建系:以 F , F2 所在的直线为 X 轴,以 F , F2 的中点为坐标原点建立直角 坐标系。 (2)设点: 设 M(x,y)为双曲线上的任意一点,双曲线的焦距是 2c (c>0). 则: F1 (?c,0), F2 (c,0) ,又设 M 与 F1,F2 距离之差的绝对值等于 2a (常数) (3)列式
P ? P MF1 ? MF 2 ? ?2a

?

?

MF1 ? ( x ? c) 2 ? y 2 , MF2 ? ( x ? c) 2 ? y 2

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a ,

(4)化简

(c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 ) ,由定义 2a ? 2c ,? c 2 ? a 2 ? 0 令 c 2 ? a 2 ? b 2
x2 y2 ? ? 1 ,此即为双曲线的 a2 b2

代入,得: b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ,两边同除 a 2 b 2 得 标准方程。

它所表示的双曲线的焦点在 x 轴上,焦点是 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,其中 c 2 ? a 2 ? b 2 若坐标系的选取不同,可得到双曲线不同的方程

若焦点在 y 轴上,则 焦点是 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,将 x,y 互换得到 此也是双曲线的标准方程。 2 总结双曲线的标准方程及特点 看 x 2 , y 2 的系数那个为正,焦点就在那个轴上 3 双曲线与椭圆的区别 椭圆

y2 x2 ? ? 1, a2 b2

双曲线
MF1 ? MF 2 ? 2a

定 义

MF1 ? MF2 ? 2a
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

方 程

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

F (?c,0)

F (?c,0) F (0,?c)

焦 点
F (0,?c)

a ? 0 , b ? 0 , 但 a 不一定
a?b?0

a ?b ?c
2 2

2

a.b.c 的关系

大于 b
c2 ? a2 ? b2

(四) 例题讲解与练习 1 例 1( 参 考 课 本 P47 例 ) 已 知 两 定 点 F1 (?5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 ? PF2 ? 6 ,求动点 P 的轨迹方程.

解:因 F1 F2 ? 10 ? 6, PF1 ? PF2 ? 6 ,有双曲线的定义知 2a ? 6,2c ? 10

F1 (?5,0) F2 (5,0) 可设双曲线的方程为
? 2a ? 6,2c ? 10 ,? a ? 3, c ? 5

x2 y2 ? ?1 a2 b2

x2 y2 ? ?1 所以点 P 的轨迹方程为 9 16

2 练习

见课本 48 页 1 题 2 题

(五) 课堂小结 1.定义:平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1 F2 ) 的点的轨迹.
x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) ( a ? 0 , b ? 0 ) , a2 b2 a2 b2

2 标准方程

3.焦点: F1 (?c,0), F2 (c,0)

F1 (0,?c), F2 (0, c)

4. a, b, c 的关系: c 2 ? a 2 ? b 2 (六) 作业布置 课本 54 页第 2 题 板书设计 2.2.1 双曲线及其标准方程 1 定义 2 双曲线的标准方程 (1) 推导 (2) 对比 3 例题讲解


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