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2016届高三滚动八(理)试题 Word版含答案


江陵县实验高中 2016 届高三理科数学滚动测试八
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项 中,只有一项符合题目要求。 ) 1.复数 z ?

3 ? ai 在复平面内对应的点在第三象限是 a≥0 的( i
2 2



A. 充分不必要条件 B. 必

要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.设集合 A={x|x ﹣(a+3)x+3a=0},B={x|x ﹣5x+4=0},集合 A∪B 中所有元素之和为 8, 则实数 a 的取值集合为 ( ) A.{0} B.{0,3} C.{1,3,4} D.{0,1,3,4} 3.已知命题 p:函数 f(x)=|sin x﹣ |的最小正周期为 π ; 命题 q:若函数 f(x+1)为偶函数,则 f(x)关于 x=1 对称.则 下列命题是真命题的是( ) A.p∧q B.p∨q C. (¬p)∧(¬q) D.p∨(¬q) 4.某几何体的三视图如右图,若该几何体的所有顶点都在一 个球面上,则该球面的表面积为 A. 4? B.
2 3 正视图 1 1 俯视图 侧视图 2
2

28 ? 3

44 ? C. 3

D. 20?

5.已知两条不重合的直线 m、n 和两个不重合的平面 α 、β ,有下列命题: ①若 m⊥n,m⊥α ,则 n∥α ; ②若 m⊥α ,n⊥β ,m∥n,则 α ∥β ;

③若 m、n 是两条异面直线,m ? α ,n ? β ,m∥β ,n∥α ,则 α ∥β ; ④若 α ⊥β ,α ∩β =m,n ? β ,n⊥m,则 n⊥α .其中正确命题的个数是( ) A 1 B 2 C 3 D 4

6..函数 y ? A.1

a ? a x ? a ? 0, a ? 0 ? 的定义域和值域都是 ?0,1? ,则 log a
B.2 C.3 D. 4

5 48 ? log a ?( ) 6 5

7.下列三个数: a ? ln

A.a ? c ? b

3 3 ? , b ? ln ? ? ? , c ? ln 3 ? 3 ,大小顺序正确的是( ) 2 2 B.a ? b ? c C .a ? c ? b D.b ? a ? c

8.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象如下图所示,为了得到 g ( x) ? ? A cos?x 的图像,可 以将 f ( x) 的图像 ()

5? 个单位长度 12 5? D.向左平移 个单位长度 12 ? 1? 9.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? ln ?1 ? ? ,则 a n = ? n?
A.向右平移 B.向右平移 A. 2 ? ln n B. 2 ? ? n ?1? ln n C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

? 个单位长度 12 ? C.向左平移 个单位长度 12

10. 如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, BC=AC ,AC1⊥A1B,M,N 分别是 A1B1,AB 的中点, 给出下列结论:①C1M⊥平面 A1ABB1,②A1B⊥NB1 ,③平面 AMC1⊥平面 CBA1 , 其中正确 结论的个数为 ( )

? ? ? ? ? ? ? ? ? 11.设 a, b 为单位向量,若向量 c 满足 c ? (a ? b) ? a ? b ,则 c 的最大值是(
A. 2 2 B.2 C. 2 D.1 12.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,其导函数为 f ?( x ) ,若 f ?( x) ? f ( x) ,且

A.0

B.1

C.2

D.3



f ( x ? 1) ? f (3 ? x) , f (2015) ? 2 ,则不等式 f ( x) ? 2e x?1 的解集为(
A. (1, ??) B. (e, ??) C. ( ??, 0)

) D. (??, )

1 e

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? ?? 4 ? 13.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? ? ? ,则 sin( 2a ? ) 的值为______ 6? 5 12 ?
?x ? y ? 1 ? 14.已知 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值 ?2 x ? y ? 2 ?
为7,则

3 4 ? 的最小值为_________. a b
a﹣2csinA=0.若 c=2,

15.在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 则 a+b 的最大值为 . 16. f ( x) ?

2 3 且切点的横坐标都大于零, x ? x2 ? ax ? 1 己知曲线存在两条斜率为 3 的切线, 3

则实数 a 的取值范围为

三、解答题:解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 17. ( 本 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a , b, c , 且

a2 ? (b ? c)2 ? (2 ? 3)bc , sin A sin B ? cos
? 4 ? ? ? 的前 n 项和 S n ? a n a n ?1 ?

2

C , (1)求角 B 的大小; 2

( 2 )若等差数列 {an } 的公差不为零,且 a1 cos2B =1 ,且 a 2、a 4、a8 成等比数列,求

18.(本小题满分 12 分)已知数列{an}是等比数列,首项 a1=1,公比 q>0,其前 n 项和为 Sn, 且 S1+a1,S3+a3,S2+a2 成等差数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 an+1 最大值.

1 anbn ( ) ,T 为数列{b }的前 n 项和,若 T ≥m 恒成立,求 m 的 = 2
n n n

19. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2 (1)当 x∈ (0,

sinxcosx﹣3sin x﹣cos x+3.

2

2

?
2

) 时,求 f(x)的值域;
, =2+2cos

(2)若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 = (A+C) ,求 f(B)的值.

20.(本小题满分 12 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形, AC , BD 相 交于点 O , EF / / AB , AB ? 2EF ,平面 BCF ? 平面 ABCD , BF ? CF ,点 G 为 BC 的 中点. (1)求证:直线 OG / / 平面 EFCD ; (2)求证:直线 AC ? 平面 ODE .
D O A B G C E F

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (2 ? a) ln x ?

1 ? 2ax . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅲ)若对任意的 a ? (?3, ?2), x1, x2 ??1.3? 恒有 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立, 求实数 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 △ ABC 中, AB ? AC ,D 是 △ ABC 外接圆劣弧 AC 上的点(不与点 A、C 重合) ,延长 BD 至 E. (1)求证:AD 的延长线平分 ? CDE; (2)若 ?BAC ? 30° , △ ABC 中 BC 边上的高为 2+ 3 , 求 △ ABC 外接圆的面积. B C A D E

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐 标方程为 ? cos ? ? ?

? ?

π? ? ? 1 ,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. 3?

(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M、N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a | . (1)若 a ? ?1 ,解不等式 f ( x) ≥ 3 ; (2)如果 ?x ? R , f ( x) ≥ 2 ,求 a 的取值范围.

滚动测试八答案
ADBBC 13. CABAD AA 15. 4 16. (3, ) ﹣2sinCsinA=0 (sinA≠0) , ∴ ,由余弦定理,
2

17 2 14.7 50

7 2

15 解: 由

a﹣2csinA=0 及正弦定理, 得 .∵c=2,C=

, ,

∵△ABC 是锐角三角形,∴C=
2 2 2

即 a +b ﹣ab=4,∴(a+b) =4+3ab 且仅当 a=b=2 取“=” ,故 a+b 的最大值是 4.
2 17 、 【 解 】 : ( 1 ) 由 a2 ? ( b ? ) c
2 b2 ? c ? a 2 3 ? 2bc 2

,化为(a+b) ≤16,∴a+b≤4,当

? ( 2?

2 3 b )c a , ? 2 b?2 c ? 所? 以 3 b c

c oAs?





0 ? A ? ? ,? A ?

?
6



c 1 1 ? cos C sin A sin B ? cos 2 , sin B ? , sin B ? 1 ? cos C ,? cos C ? 0 ,则 C 为钝角。 2 2 2 5 5 ? B ? C ? ? , 则 s i ?n ? C( ? ? C )? 1 C ?c ? o? s , c 解 o得 s 6 6 3 2 ? C ? ? ,? B ? 。…6 分 3 6
(2) 设 {an } 的 公 差 为 d , 由 已 知 得 a1 ?

(

)

1 ?2 , cos A



2 a4 ? a2 ? a8 .∴ (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? d )(a1 ? 7d ) .

又d ? 0,

∴d ? 2.

∴ an ? 2n .

??9 分 ∴

4 1 1 1 ? ? ? . an an?1 n(n ? 1) n n ? 1
????12 分

∴ S n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 18.解答:

1 2

1 1 2 3

1 1 3 4

1 n

1 1 n ) ? 1? ? n ?1 n ?1 n ?1

解: (Ⅰ) 法一: 由题意可知: 2 (S3+a3) = (S1+a1) + (S2+a2) ∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2 ,∵q>0,∴ ;∵a1=1,∴ .

﹣2a3,即 4a3=a1,于是

(Ⅰ)法二:由题意可知:2(S3+a3)=(S1+a1)+(S2+a2)当 q=1 时,不符合题意; 当 q≠1 时, ,∴2(1+q+q +q )=2+1+q+q,∴4q =1,
2 2 2





∵q>0,∴

,∵a1=1,∴



(Ⅱ)∵ ∴ ∴(1)﹣(2)得:

,∴ (1) ∴

,∴

, (2)

=



∵Tn≥m 恒成立, 只需 (Tn) min≥m∵ ∴{Tn}为递增数列,∴当 n=1 时, (Tn)min=1,∴m≤1,∴m 的最大值为 1. 19.解答: 解: (1)∵f(x)=2 sinxcosx﹣3sin x﹣cos x+3=
2 2

sin2x﹣3?



+3=

sin2x﹣cos2x+1=2sin(2x+

)+1,∵x∈ (0,

?
2

) ,∴2x+

∈(

, )



∴sin(2x+ (2)∵

)∈(

,1],∴f(x)=2sin(2x+

)+1∈(0,3];?6 分

=2+2cos(A+C) ,∴sin(2A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C) ,

∴sinAcos(A+C)+cosAsin(A+C)=2sinA+2sinAcos(A+C) ,∴﹣sinAcos(A+C)+cosAsin (A+C)=2sinA,即 sinC=2sinA,由正弦定理可得 c=2a,又由 = 可得 b= a,由余弦定

理可得 cosA=

=

=

,∴A=30°,由正弦定理可得

sinC=2sinA=1,C=90°,由三角形的内角和可得 B=60°,∴f(B)=f(60°)=2 ? 12 分 20.解:证明: (1)∵四边形 ABCD 是菱形, AC ? BD ? O ,∴点 O 是 BD 的中点, ∵点 G 为 BC 的中点 ∴ OG / / CD , ????????3 分 又∵ OG ? 平面 EFCD , CD ? 平面 EFCD ,∴直线 OG / / 平面 EFCD .?????6 分 (2)∵ BF ? CF ,点 G 为 BC 的中点,∴ FG ? BC . ∵平面 BCF ? 平面 ABCD ,平面 BCF ? 平面 ABCD ? BC , FG ? 平面 BCF , FG ? BC ∴ FG ? 平面 ABCD , ??????8 分 ∵ AC ? 平面 ABCD ,∴ FG ? AC , ∵ OG / / AB, OG ?
E F

1 1 AB , EF / / AB, EF ? AB , 2 2

∴ OG / / EF , OG ? EF ,∴四边形 EFGO 为平行四
A

D O B G

C

边形, ∴ FG / / EO , ??????11 分

∵ FG ? AC , FG / / EO ,∴ AC ? EO , ∵四边形 ABCD 是菱形,∴ AC ? DO , ∵ AC ? EO , AC ? DO , EO ? DO ? O , EO、 DO 在平面 ODE 内, ∴ AC ? 平面 ODE . ??????12 分

21.(Ⅰ)函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) . f ?( x) ? ? 得 x1 ?

1 1 ? 4 ,令 f ?( x) ? ? 2 ? 4 =0 , 2 x x
1 (0, ) 2
— 减

1 1 ; x2 ? ? (舍去) . 2 2

2分

x
f ? ? x?
f ( x)

当 x 变化时, f ? ? x ? , f ( x) 的取值情况如下: 所以,函数 f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 4 ,无极 大值. 4分

1 2
0 极小值

1 ( , ??) 2

?


1 2

(Ⅱ) f ?( x) ?

1 1 2?a 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) ? 2 ? 2a ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? ? , 2 2 a x x x

当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的在定义域 (0, ??) 单调递增; 5 分 当 ?2 ? a ? 0 时,在区间 (0, ) , (?

1 2

1 , ??) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, a
7分

在区间 ( , ? ) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增;

1 2

1 a

当 a ? ?2 时,在区间 (0, ? ) , ( , ??) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 在区间 ( ?

1 a

1 2

1 1 , ) ,上 f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. a 2

8分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知当 a ? (?3, ?2) 时,函数 f ( x) 在区间 ?1.3? 单调递减;所以,当 x ??1.3? 时,

1 f ( x)max ? f (1) ? 1 ? 2a , f ( x)min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? ? 6a 3

10 分

问题等价于: 对任意的 a ? (?3, ?2) , 恒有 (m ? ln 3) a ? 2ln 3 ? 1 ? 2 a ? (2 ? a) ln 3 ? 成立,即 am ?

1 ?6 a 3

2 2 2 ? 4a ,因为 a<0,? m ? ? 4 ,? m ? ( ? 4) min 所以,实数 m 的取 3 3a 3a 13 ? . 12 分 值范围是 (?? ,? A 3 22.解: (Ⅰ)如图,设 F 为 AD 延长线上一点, ? A,B,C,D 四点共圆,??CDF ? ?ABC . D E O ??ABC ? ?ACB , 又 AB ? AC, ??ADB ? ?CDF . 且 ?ADB ? ?ACB, F H 对顶角 ?EDF ? ?ADB ,故 ?EDF ? ?CDF . B C

即 AD 的延长线平分 ?CDE . (Ⅱ)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H ,则 AH ⊥ BC . ,?ACB ? 75° , ??OCH ? 60° . 连接 OC .由题意 ?OAC ? ?OCA ? 15°

3 r ? 2 ? 3 ,得 r ? 2 ,外接圆面积为 4 π . 2 ?1 ? 3 π? ? sin ? 23.答案:解: (Ⅰ)由 ? cos ? ? ? ? ? 1 得 ? ? cos ? ? ? ?2 ? ? 1. 2 3? ? ? ?
设圆半径为 r ,则 r ? 从而 C 的直角坐标方程为

1 3 x? y ? 1 ,即 x ? 3 y ? 2 . 2 2 ?2 3 π? π 2 3 ? ? 0 时, ? ? 2 ,所以 M (2, 0) . ? ? 时, ? ? ,所以 N ? ?. ? 3 , 2 2? 3 ? ?
? ? ? 2 3? ?. 3 ? ?

(Ⅱ) M 点的直角坐标为(2,0) , N 点的直角坐标为 ? 0, 所以 P 点的直角坐标为 ?1, ? ,则 P 点的极坐标为 ? ? ? ?

? ?

3? 3 ?

?2 3 π? ,? ?. ? 3 6?

π ,? ? (??, ? ?) . 6 24.答案:解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ?| x ?1| ? | x ?1| . 由 f ( x) ≥ 3 ,得 | x ? 1| ? | x ? 1|≥ 3 , (ⅰ) x ≤ ?1 时,不等式化为 1 ? x ? 1 ? x ≥ 3 ,即 ?2 x ≥ 3 . ? x ≤ ?1 3 ? ]. 不等式组 ? 的解集为 (??, 2 ? f ( x) ≥ 3 (ⅱ)当 ?1 ? x ≤ 1时,不等式化为 1 ? x ? x ? 1≥ 3 ,不可能成立. ??1 ? x ≤1 不等式组 ? 的解集为 ? . ? f ( x) ≥ 3 (ⅲ)当 x ? 1 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? 1≥ 3 ,即 2 x ≥ 3 . ?x ? 1 3 ? ?) . 不等式组 ? 的解集为 [ , 2 f ( x ) ≥ 3 ? 3 3 ? ]?[ , ? ?) . 综上得, f ( x) ≥ 3 的解集为 ( ??, 2 2 ,f ( x) ? 2 | x ? 1| ,不满足题设条件. (Ⅱ)若 a ? 1
所以直线 OP 的极坐标方程为 ? ?

??2 x ? a ? 1,x ≤ a, ? a ? x ? 1,f ( x) 的最小值为 1 ? a . 若 a ? 1,f ( x ) ? ?1 ? a, ?2 x ? (a ? 1),x ≥ 1. ? ??2 x ? a ? 1,x ≤ 1, ? 1 ? x ? a,f ( x) 的最小值为 a ? 1 . 若 a ? 1,f ( x) ? ?a ? 1, ?2 x ? (a ? 1),x ≥ a. ?
所 以 ?x ? R,f ( x) ≥ 2 的 充 要 条 件 是 | a ? 1|≥ 2 , 从 而 a 的 取 值 范 围 为

(??, ? 1] ? [3, ? ?) .


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