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江苏省连云港市2014届高三3月第二次调研考试数学(文)试题 Word版含解析


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一、填空题(每题 5 分,满分 70 分,将答案填在答题纸上) .
1.已知集合 A ? ?1, 2,3, 4? , B ? ?m,4,7? ,若 A
B ? ?1, 4? ,则 A
B?





2.若复数 z =

1 ? 3i ( i 为虚数单位) ,则 | z | = 1? i





3.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则实数 m 的值为 m 8





4.一个容量为 20 的样本数据分组后, 分组与频数分别如下:?10, 20? , 2;? 20,30? , 3;? 30, 40? , 4;? 40,50? , 5; ? 50,60? ,4; ? 60,70? ,2.则样本在 ?10,50? 上的频率是 ▲ .

5.执行如图所示的算法流程图,则最后输出的 y 等于





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6.设函数 f ( x) ? a sin x ? x 2 ,若 f (1) ? 0 ,则 f ( ?1) 的值为





7.四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,PA⊥底面 ABCD 且 PA = 4,则 PC 与底面 ABCD 所成 角的正切值为 ▲ .

8.从甲,乙,丙,丁 4 个人中随机选取两人,则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为
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9.已知 tan(a ? b ) ?

p? 2 1 ? , tan b ? ,则 tan ? a + ? 的值为 4? 5 3 ?





10.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?3 , ak ?1 ?

3 , Sk ? ?12 ,则正整数 k = 2





11.已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 2 ,则

x ? 8y 的最小值为 xy





? 5? 2

4 1 x 8y x 8y ? ,即 x ? 4 y ,也即 x ? , y ? 时等号成立,故最小值是 9. ? ? 9 ,当且仅当 3 3 2y x 2y x
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考点:基本不等式.

1 12.如图,在△ABC 中,BO 为边 AC 上的中线, BG ? 2GO ,设 CD ∥ AG ,若 AD ? AB ? ? AC (? ? R ) , 5
则 ? 的值为 ▲ .

? (2 x ? x 2 )e x , x ≤ 0, g ( x) ? f ( x) ? 2k ,若函数 g ( x) 恰有两个不同的零点,则实数 k 的取 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 ?? x ? 4 x ? 3, x ? 0,

值范围为





2 ?1 ? 7 3? } 【答案】 ? ? , ? ? {0, ? 2 2? e 2

【解析】

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14. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P(3,0) 在圆 C : x2 ? y 2 ? 2mx ? 4 y ? m2 ? 28 ? 0 内,动直线 AB 过点 P 且 交圆 C 于 A, B 两点,若△ABC 的面积的最大值为 16 ,则实数 m 的取值范围为 ▲ .

2 2 所以 (m ? 3) ? 2 ? 4 , 解得 m ? 3 ? 2 3 或 m ? 3 ? 2 3 , 因此 m 的取值范围是 3 ? 2 7 ? m d ? CP ,

? 3? 2 3 或 3? 2 3 ? m ? 3? 2 7 .
考点:点与圆的位置关系,圆心到弦的距离.

二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? 6cos2 x ? 2 3sin x cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)在锐角△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 f ( B) ? 0 且 b ? 2 , cos A ?

4 ,求 a 和 sin C . 5

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【答案】(1) ? , [3 ? 2 3,3 ? 2 3] ;(2) a ? 【解析】

4 3 3? 4 3 . ,sin C ? 5 10

b sin A 在△ABC 中,由正弦定理得 a ? ? sin B

2?

3 5 ?4 3. 5 3 2

…………………12 分

∴ sin C ? sin(p ? A ? B)= sin(

2p 3 1 3? 4 3 ? A) ? cos A ? sin A ? . 3 2 2 10

…………………14 分

考点:(1)三角函数的性质;(2)解三角形. 16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1 B1 B 为菱形, 且 ?A1 AB ? 60? , AC ? BC , D 是 AB 的中 点. (1)求证:平面 A1DC ? 平面 ABC ; (2)求证: BC1 ∥ 平面 A1 DC .

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【答案】(1)证明见解析;(2)见解析. 【解析】

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17.(本小题满分 14 分) 一个圆柱形圆木的底面半径为 1m,长为 10m,将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分.现要把其中 一个部分加工成直四棱柱木梁,长度保持不变,底面为等腰梯形 ABCD (如图所示,其中 O 为圆心,
C , D 在半圆上) ,设 ?BOC ? q ,木梁的体积为 V(单位:m3) ,表面积为 S(单位:m2) .

(1)求 V 关于 θ 的函数表达式; (2)求 q 的值,使体积 V 最大; (3)问当木梁的体积 V 最大时,其表面积 S 是否也最大?请说明理由.

? p 【答案】(1) V (q) ? 10(sin q cos q ? sin q), q ? (0, ) ;(2) ? ? ; (3)是. 2 3
【解析】 试题分析: (1)本题求直四棱柱的体积,关键是求底面面积,我们要用底面半径 1 和 ? 表示出等腰梯形的 上底 CD 和高,从图形中可知高为 sin ? ,而 CD ? 2cos ? ,因此面积易求,体积也可得出; (2)我们在

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p (1)中求出 V (q) ? 10(sin q cos q ? sin q), q ? (0, ) ,这里 V 的最大值可利用导数知识求解,求出 V '(? ) ,解 2
出方程

p 1 当 q ? (0, ) 时, ? cos q ? 1 , V ?(q) ? 0,V (q) 为增函数; 2 3
p p 1 当 q ? ( , ) 时, 0 ? cos q ? , V ?(q) ? 0,V (q) 为减函数. 3 2 2
∴当 q ? …………………7 分 …………………8 分

p 时,体积 V 最大. 3

q p (AB ? 2BC ? CD) ? 10 = 20(cos q ? 2sin ? 1) , q ? (0, ) . (3)木梁的侧面积 S侧 ? 2 2 q p S ? 2S ABCD ? S侧 = 2(sin q cos q ? sin q) ? 20(cos q ? 2sin ? 1) , q ? (0, ) .…………………10 分 2 2 q p q q 设 g (q) ? cos q ? 2sin ? 1 , q ? (0, ) .∵ g (q) ? ?2sin 2 ? 2sin ? 2 , 2 2 2 2
∴当 sin

q 1 p ? ,即 q ? 时, g (q) 最大. 2 2 3

…………………12 分

又由(2)知 q ? 所以 q ?

p 时, sin q cos q ? sin q 取得最大值, 3
…………………13 分 …………………14 分

p 时,木梁的表面积 S 最大. 3

综上,当木梁的体积 V 最大时,其表面积 S 也最大.

考点: (1)函数解析式; (2)用导数求最值; (3)四棱柱的表面积及其最值.
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18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A , B , C 是椭圆
A(3 2,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上不同的三点, a 2 b2

3 2 ) , B(?3, ?3) , C 在第三象限,线段 BC 的中点在直线 OA 上. 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)求点 C 的坐标;
C) (3 ) 设动点 P 在椭圆上 (异于点 A ,B , 且直线 PB, PC 分别交直线 OA 于 M ,N 两点, 证明 OM ? ON

为定值并求出该定值.

【答案】(1)

x2 y 2 45 ? ? 1 ;(2) (?5, ?1) ;(3) . 27 27 2 2

【解析】

9 ? ? 18 2 ? 1, ? ? 试题解析: (1)由已知,得 ? a 2 b 2 ?9 9 ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

? a 2 ? 27, ? 解得 ? 2 27 . ?b ? ? 2
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…………………2 分

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所以椭圆的标准方程为

x y ? ? 1. 27 27 2

2

2

…………………3 分

∴ OM ? ON 为定值,定值为

45 . 2

…………………16 分

考点:(1)椭圆的标准方程;(2)中点问题;(3)定值问题. 19.(本小题满分 16 分) 设各项均为正数的数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn, 已知 a1 ? 1 , 且 (Sn?1 ? ? )an ? (Sn ? 1)an ?1 对一切 n ? N * 都 成立. (1)若 λ = 1,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求 λ 的值,使数列 ?an ? 是等差数列. 【答案】(1) an ? 2n?1 ;(2) ? ? 0 . 【解析】

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化简,得 Sn?1 ? 1 ? 2an?1 .① ∴当 n ≥ 2 时, Sn ? 1 ? 2an .② ② ? ①,得 an ?1 ? 2an , ∴
an ?1 ? 2 ( n≥2 ) . an

………………… 4 分

………………… 6 分

∵当 n = 1 时, a2 ? 2 ,∴n = 1 时上式也成立, ∴数列{an}是首项为 1,公比为 2 的等比数列, an = 2n?1( n ? N * ) . …………………8 分 (2)令 n = 1,得 a2 ? ? ? 1 .令 n = 2,得 a3 ? (? ? 1) 2 . 要使数列 ?an ? 是等差数列,必须有 2a2 ? a1 ? a3 ,解得 λ = 0. 当 λ = 0 时, Sn?1an ? (Sn ? 1)an ?1 ,且 a2 ? a1 ? 1 . 当 n≥2 时, Sn?1 (Sn ? Sn ?1 ) ? (Sn ? 1)( Sn ?1 ? Sn ) , 整理,得 Sn 2 ? Sn ? Sn?1Sn?1 ? Sn?1 , 从而
S 2 ? 1 S3 ? 1 ? ? S1 ? 1 S2 ? 1 ? S n ? 1 S n ?1 ? , S n ?1 ? 1 S n ? Sn ?1 , Sn

………………… 10 分 ………………… 11 分

………………… 13 分

S n ? 1 S3 S 4 ? ? ? Sn ?1 ? 1 S2 S3

化简,得 Sn ? 1 ? Sn ?1 ,所以 an ?1 ? 1 .

……………… 15 分

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综上所述, an ? 1 ( n ? N * ) , 所以 λ = 0 时,数列 ?an ? 是等差数列. 考点:递推公式,累乘法, Sn 与 an 的关系,等差数列. 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? mx ? a ln x ? m , g ( x) ? (1)求 g ( x) 的极值; (2)设 m ? 1, a ? 0 ,若对任意的 x1 , x2 ?[3, 4] ( x1 ? x2 ) , f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 最小值; (3)设 a ? 2 ,若对任意给定的 x0 ? (0,e] ,在区间 (0,e] 上总存在 t1 , t2 (t1 ? t2 ) ,使得 f (t1 ) ? f (t2 ) ? g ( x0 ) 成立,求 m 的取值范围.
1 1 恒成立,求 a 的 ? g ( x2 ) g ( x1 )

………………… 16 分

ex ,其中 m,a 均为实数. ex

2 3 【答案】(1)极大值为 1,无极小值;(2) 3 ? e 2 ;(3) [ , ??) . e ?1 3
【解析】

,转化为函数 f ( x ) 在区间 (0, e] 上不是单调函数,极值点为 f (t2 ) ? g ( x0 ) 成立”

2 2 ?e) (0 ? ,其次 m m

2 2 f (e) ? 1 ,极小值 f ( ) ? 0 ,最后还要证明在 (0, ) 上,存在 t ,使 f (t ) ? 1 ,由此可求出 m 的范围. m m

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ex?1 ex?1 ( x ? 1) 1 1 3 ,∵ v?( x) ? 1 ? ex?1 ? = 1 ? e x ?1 [( ? )2 ? ] ,x?[3,4], x 2 4 x x2 1 1 3 3 ∴ e x ?1 [( ? )2 ? ] ? e2 ? 1 ,∴ v?( x) < 0, v( x) 为减函数. x 2 4 4
设 v( x) ? x ? ex?1 ?

2 ∴ v( x) 在[3,4]上的最大值为 v(3) = 3 ? e 2 . 3 2 2 ∴a≥3 ? e 2 ,∴ a 的最小值为 3 ? e 2 . 3 3
(3)由(1)知 g ( x) 在 (0,e] 上的值域为 (0,1] . ∵ f ( x) ? mx ? 2ln x ? m , x ? (0, ??) , 当 m ? 0 时, f ( x) ? ?2ln x 在 (0,e] 为减函数,不合题意.

………………… 8 分 …………………9 分 …………………10 分

………………… 11 分

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考点:导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,不等式恒成立等函数的综合应用.

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