当前位置:首页 >> 数学 >>

2008年北京大学自主招生数学试题赏析


解题研究 ?        ?

  ( 2008 年第

2期 ? 高中版 )

13

2008 年北京大学自主招生数学试题赏析
430016   湖北省武汉市第六中学   常晓兵   2008 年北京大学自主招生数学试题学生反映比 较难 . 大部分试题有竞赛题的味道 , 特别是理科的最 后一题 , 需要用到高等数学知识 , 无论对学生数学学 习的深度和广度都有较高要求 . 1 1 求证 :如图 1, 边长为 1 的 正五边形对角线长为
5 +1 . 2 - b ( a ≥0, b≥0 ) , 2 2 β) . 则 a3 = s - α, b3 = s - β(α≥ α β b- a 1 即证 + a ≤ + b, 即证 ≥ . α- β 2 2 2 ∵ a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 = b1 b2 + b1 b3 + b2 b3 , 将 a i , bj ( i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3 ) 代入整理得 3 (α +β ) - s b- a 4 = . α-β a +b 3 (α +β ) - s 4 1 即证   ≥ , a +b 2 3 即证   (α +β) - 2 s≥a + b. 2 α +β = a1 + a2 + b1 + b2 , ∵  2 s = a1 + a2 + a3 + b1 + b2 + b3 , a1 - a2 b1 - b2 a= ,  b = , 2 2 3 ∴  即证 ( a1 + a2 + b1 + b2 ) - ( a1 + a2 + a3 + 2 a1 - a2 b1 - b2 b1 + b2 + b3 ) ≥ + , 2 2 即证 a2 + b2 ≥a3 + b3 , 这显然成立 .
b1 =

β

+ b,  b2 =

β

略解   三角形 AB E∽三角形 DA E, 则
x

1

=

1- x
x

,  x =

5- 1 , 2 5 +1 . 2

图 1

对角线 AC = 1 + x =

点评   该题难度不大 , 但需经比较强的观察能 力巧妙构造相似形 . 2 1 如图 2, 已知六边 形 AC1 BA1 CB 1 中 , AC1
= AB 1 , B C1 = BA 1 , CA 1 = CB 1 , ∠A + ∠B + ∠C = ∠A 1 + ∠B 1 + ∠C1. 求

证 : △ABC 面 积 是 六 边 形 图 2 AC1 BA1 CB 1 的一半. 如上 图 将 △AC1 B 绕 A 点 旋 转 使 △AB 1 H ≌△AC1 B , 可由 ∠A + ∠B + ∠C = ∠A 1 + ∠B 1 + ∠C1 得 ∠A 1 + ∠B 1 + ∠C1 = 360 ° , 得 ∠A 1 = ∠HB 1 C, 可证 △BA 1 C ≌ △HB 1 C 即可 得出结果 . 点评   由于平面几何在高考数学教学中很少单 独出现 , 很多学生试图用三角代换等方法进行 , 结果 很少有做出的 . 该题的这种旋转变换和构造在数学 竞赛试题中出现较多但并不简单 , 而高考几乎没有 . 所以高水平的数学学习很多时候要能跳出窠臼 , 有 较强的创新意识 . 3 1 已知 a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 ,
a1 a2 + a2 a3 + a3 a1 = b1 b2 + b2 b3 + b3 b1 , m in ( a1 , a2 , a3 ) ≤m in ( b1 , b2 , b3 ) , 求证 : max ( a1 , a2 , a3 ) ≤max ( b1 , b2 , b3 ) .

点评   该题很明显是一道数学竞赛类试题 , 对 不等式的变形能力和技巧有一定要求 。当然 , 该题 还有其他很多解法 . 4 1 排球单循环赛南方球队比北方球队多 9 支 , 南方球队总得分是北方球队的 9 倍 . 求证 : 冠军是一 支南方球队 (胜得 1 分 败得 0 分 ) 解法 1   设北方有 n 支球队 , 得分为 A. 南方有 n + 9 支球队 , 得分为 B 则有 2 2 Cn + 9 + n ( n + 9 ) ≥B , Cn ≤A,  ∵ B = 9A, 2 2 ∴ Cn + 9 + n ( n + 9 ) ≥B = 9A ≥9Cn , 2 ( 1) 即 3 n - 22 n - 36 ≤0. 2 2 又总分为 C2n + 9 , 有 10 C2n + 9 , 结合 ( 1)得 n = 6或 8.
1°  n = 6 时 , 北方有 6 支队 , 得分
2 6

C2 n + 9

2

10

分 . 其中

证明   不妨设 a1 ≥a2 ≥a3 , b1 ≥b2 ≥b3. 则条件为 a3 ≤b3 , 即证 a1 ≤b1. 令 a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = s, α α a1 = + a,  a2 = - a,
2 2

北方队之间产生分数 C 分 . 故北方胜南方 21 - 15 = 6 场 . 南方有 15 支队 , 得 分 21 × 9 = 189 分 . 由抽屉 原 理 知 南 方 队 中 最 高 分 的 最 小 值 为
189 + 1 = 13 分 , 而北方最高分的最大值为 6 + n 15
http://www.cnki.net

? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

14
- 1 = 11 分 < 13 分 ,

  ( 2008 年第 2 期 ? 高中版 )         
2

解题研究 ? ?
2

南方球队内部比赛总得分 Cx + 9 = 136,
C
2 2n + 9

∴ 冠军在南方队
2°  n = 8 时 , 北方有 8 支队 , 得分
2 8

10

分 . 其中

北方队之间产生分数 : C = 28 分 . 故北方胜南方 30 - 28 = 2 场 , 南方有 17 支队 , 得分 30 × 9 = 270 分 . 由抽屉 原 理 知 南 方 队 中 最 高 分 的 最 小 值 为
270 + 1 = 16 分 , 17

北方球队内部比赛总得分 Cx = 28, 北方胜南方得分 = 30 - 28 = 2, 北方球队最高得分 = 7 + 2 = 9, 因为 9 × 17 = 153 < 270, 所以南方球队中至少有一支得分超过 9 分 . 冠军在南方球队中 . 综上所述 , 冠军是一支南方 球队 . 点评   这道试题要注意突破口的选择 , 也需要 耐心和比较强的推理 、 分析能力 . 5. (理科 ) o - xyz 坐标系内 xoy 平面系内 0 ≤y ≤ 2 2 - x 绕 y 轴旋转一周构成一个不透光立体 在点 ( 1, 0, 1 ) 设置一光源 , 在 xoy 平面内有一以原点为圆 π, 求曲线 C 上未被照 心的圆 C 被光照到的长度为 2 到的长度 .

而北方最高分的最大值为 2 + n - 1 = 9 分 , 所以冠军在南方队 , 综合 1° , 2° 知冠军在南方队. 解法 2  设北方球队共有 x 支 , 则南方球队有 x + 9 支 , 所有球队总得分为
C2 x + 9 =
2

( 2x + 9) ( 2x + 8)

2

= ( 2x + 9) ( x + 4) ,

南方球队总得分为
9 ( 2x + 9) ( 2x + 8) 9 ( 2x + 9) ( x + 4) = , 10 2 10

北方球队总得分为
( 2x + 9) ( x + 4)

10
( 2x + 9) ( x + 4)

南方球队内部比赛总得分 Cx + 9 ,
2

2

北方球队内部比赛总得分 Cx ,
10 x ( x - 1)

2 11 + 3

≥0,
229 < 11 + 16 =9 . 3

图 3              图 4

解得 因为

11 3

229

≤x ≤

( 2x + 9) ( x + 4)

10

为整数 , x = 6 或 x = 8,

分析   (如图 3 ) 显然所研究的应该是过光源点 的抛物面的切面在 xoy 平面中与圆的交线所构成的 (平面 ) 几何图形 (如图 4 ) . 2 2 2 2 解  x + z = 2 - y, 抛物面 y = 2 - x - z ,
y = - 2 x + 2, αy = - 2 x, 得 l1 z = 1, αx y = - 2 z + 2, αy = - 2 z, 得 l2 αx x = 1, 取 ( 0 , 2 , 1 ) , ( 1, 2, 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , 设切面 ax + by + cz + d = 0,

当 x = 6 时 , 所有球队总得分为
C
2 2x + 9

=

( 2 x + 9 ) ( 2x + 8 )

2

= ( 2x + 9) ( x + 4) = 210.

南方球队总得分为
9 ( 2x - 9) ( 2x + 8) 9 ( 2x + 9) ( x + 4) = = 189, 10 2 10 ( 2x + 9) ( x + 4) 北方球队总得分为 = 21, 10 2 南方球队内部比赛总得分 Cx + 9 = 105,

2 b + c + d = 0,
a + 2 b + d = 0, 得切面 2 x + y + 2 z - 4 = 0, 故交 a + c + d = 0,

北方球队内部比赛总得分 Cx = 15, 北方胜南方得分 = 21 - 15 = 6, 北方球队最高得分 = 5 + 6 = 11, 因为 11 × 15 = 165 < 189, 所以南方球队中至少有一支得分超过 11 分 . 冠 军在南方球队中 . 2 当 x = 8 时 , 所有球队总得分为 C2x + 9 = 300, 南方 球 队 总 得 分 为
= 9 ( 2x + 9) ( 2x + 8) 10 2

2

线为 2 x + y - 4 = 0. 由 d= θ= , cos 4 5 r 可解得 r (利用计算 ,得 5 θ π, 2 ?r = 2
d

9 ( 2x + 9) ( x + 4) = 270, 10 ( 2x + 9) ( x + 4) 北方球队总得分为 = 30, 10

π( r - 1) . 器 ) 所以 l = 2 点评   这是最难的一道试题 , 首先必须要有很 强的想象力 、 推理能力 , 其次需要高超的解题技巧得 到切面和交线 . (因需要高等数学知识如 :偏导数等 ) 否则是无法完成试题的 .
(收稿日期 : 20080112 )

? 1994-2009 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.

http://www.cnki.net


赞助商链接
相关文章:
2008年北京大学自主招生数学试题
金太阳新课标教育网 http:// wx.jtyjy.com 2008 年北京大学自主招生数学试题 5 +1 2 1 求证:边长为 1 的正五边形对角线长为 B 1 x 1 2 x D 1-x 5...
北京大学2008年保送生和自主招生数学试题解答
北京大学 2008 年保送生和自主招生数学试题解答这套题的难度还是相当大的, 这里的解答也不是我一个人做出来的,有我自己做 的, 有同学帮着做的, 也有网上的...
2008北京大学自主招生数学试题
2008北京大学自主招生数学试题_数学_高中教育_教育专区。2008 北京大学自主招生数学试题 1 求证:边长为 1 的正五边形对角线长为 5 ?1 2 2 已知六边形 AC1BA1...
北京大学2008年自主招生(数学)含参考答案
北京大学2008年自主招生(数学)含参考答案 完整版真题 记得给好评哟亲完整版真题 记得给好评哟亲隐藏>> 分享到: X 分享到: 使用一键分享,轻松赚取财富值, 了...
2008北京大学自主招生数学试题
2008北京大学自主招生数学试题_其它考试_资格考试/认证_教育专区。好东西李志军整理 oldgun@sina.com 2008 北京大学自主招生数学试题 1 求证:边长为 1 的正五边形...
2008北京大学自主招生数学试题
2008 北京大学自主招生数学试题 1 求证:边长为 1 的正五边形对角线长为 5 ?...10 清华北大等名校自主招生考试语文试题解析 时间: 2008-12-25 13:58:03 ...
2008年北京大学自主招生保送生考试试题
2008年北京大学自主招生... 3页 2下载券喜欢此文档的还喜欢 2009年北京大学保送...(试题中大概就是这个意思) 数学试题: (网上很容易查到,我也是复制的) 1. ...
2008年北京大学自主招生(数学)含参考答案
2010年北京大学自主招生数... 3页 5财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...
2009年北京大学自主招生数学试题
2009年北京大学自主招生数学试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。欢迎光临《 ...2008年北京大学自主招生... 2页 免费 2008北京大学自主招生数... 34页 7下载...
北京大学历年自主招生试题及答案
北京大学历年自主招生试题及答案 2011 年北大等 13 所高校自主招生选拔考试 语文试题及参考答案 一、选择正确的或者最好的表达形式(10 分) 1、为维护语言的纯洁,...
更多相关文章: