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广东省广州市2015届高三上学期期末数学试卷(理科)


广东省广州市 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,复数 z=(1+2i)i 对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. (5 分)已知集合 M={x|﹣1<x<1},N={x|y= },则 M∩N=() A.{x|0<x<1} B.{x|0≤x<1} C.{x|x≥0} D.{x|﹣1<x≤0}

3. (5 分)设向量 =(x,1) , =(4,x) ,若 , 方向相反,则实数 x 的值是() A.0 B.±2 C. 2 D.﹣2

4. (5 分)一算法的程序框图如图 1,若输出的 y= ,则输入的 x 的值可能为()

A.﹣1

B. 0

C. 1 )的图象向左平移

D.5 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图

5. (5 分)将函数 y=sin(2x+ 象的函数解析式是() A.y=2cos x
2

B.y=2sin x

2

C.

D.y=cos2x

6. (5 分)用 a,b,c 表示空间中三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题:

①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a∥b,a∥c,则 b∥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是() A.①② B.②③
2

C.①④

D.②④

7. (5 分)已知曲线 C:

﹣y =1 的左右焦点分别为 F1F2,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支

相交于 P,Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则 PF1Q 的周长为() A. B. 5 C. D.4

8. (5 分)已知映射 .设点 A(1,3) , B(2,2) ,点 M 是线段 AB 上一动点,f:M→M′.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到 点 B 结束时,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为() A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 25 分. (一)必做题(9~ 13 题) 9. (5 分)不等式|2x﹣1|>x+2 的解集是. 10. (5 分)已知数列{an}是等差数列,且 a3+a4+a5=12,则 a1+a2+a3+…+a7 的值为.

11. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设不等式组 从区域 W 中随机取点 M(x,y) ,则|OM|≤2 的概率是.

,所表示的平面区域是 W,

12. (5 分)由 0,1,2,…,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,十位数字与千位数 字之差的绝对值等于 7 的四位数的个数是. 13. (5 分)已知函数 f(x)=x+sinπx﹣3,则 f( 的值为. )+f( )+f( )+…+f( )

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (几何证明选讲选做题) 14. (5 分) (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB=9,直线 CE 与圆 O 相切于点 C,AD⊥CE 于 D,若 AD=1,设∠ABC=θ,则 sinθ=.

(坐标系与参数方程选讲选做题) 15. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1:ρ=2sinθ 与 C2:ρ=2cosθ 的交点分别为 A、B,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=sinx+acosx(x∈R) , (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 的值. 17. (12 分)广州某商场根据以往某种商品的销售记录,绘制了日销售量的频率分布表(如表) 和频率分布直方图(如图) . 分组 频数 频率 [0,50] n1 0.15 (50,100] n2 0.25 (100,150] n3 0.30 (150,200] n4 0.20 (200,250] n5 0.10 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求 a1,a3 的值. (2)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都高于 100 个且另 1 天的日销售量不高于 50 个的概率; (3) 用 X 表示在未来 3 天里日销售量高于 100 个的天数, 求随机变量 X 的分布列和数学期望. ,且 , ,求 sin(α+β) 是函数 f(x)的一个零点.

18. (14 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,△ PAB 与△ PAD 均是以 A 为直角顶点的等腰直 角三角形,点 F 是 PB 的中点,点 E 是边 BC 上的任意一点. (1)求证:AF⊥EF; (2)求二面角 A﹣PC﹣B 的平面角的正弦值.

19. (14 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: Sn= (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a= ,设 bn=

, a 为常数, 且 a≠0, a≠1.

,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< .

20. (14 分)已知椭圆 C:
2 2 2 2

的离心率为

,且经过点(0,1) .圆 C1:

x +y =a +b . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 有且只有一个公共点 M,且 l 与圆 C1 相交于 A,B 两点,问 =0 是否成立?请说明理由.

21. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣ ﹣2lnx,a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,证明:f(x2)<x2﹣1.

广东省广州市 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 i 为虚数单位,复数 z=(1+2i)i 对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数代数形式的乘法运算化简,求出 z 对应点的坐标得答案. 解答: 解:∵z=(1+2i)i=2i +i=﹣2+i, ∴复数 z=(1+2i)i 对应的点的坐标为(﹣2,1) ,位于第二象限. 故选:B. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (5 分)已知集合 M={x|﹣1<x<1},N={x|y= },则 M∩N=() A.{x|0<x<1} B.{x|0≤x<1} C.{x|x≥0} D.{x|﹣1<x≤0} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 N 中 x 的范围确定出 N,找出 M 与 N 的交集即可. 解答: 解:由 N 中 y= ,得到 x≥0,即 N={x|x≥0}, ∵M={x|﹣1<x<1}, ∴M∩N={x|0≤x<1}. 故选:B. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
2

3. (5 分)设向量 =(x,1) , =(4,x) ,若 , 方向相反,则实数 x 的值是() A.0 B.±2 C. 2 D.﹣2

考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理即可得出.

解答: 解:∵
2



∴x ﹣4=0,解得 x=±2. 又 , 方向相反, ∴x=﹣2. 故选:D. 点评: 本题考查了向量共线定理,属于基础题.

4. (5 分)一算法的程序框图如图 1,若输出的 y= ,则输入的 x 的值可能为()

A.﹣1

B. 0

C. 1

D.5

考点: 程序框图. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序可得程序功能是求分段函数 y= 即可求解. 解答: 解:模拟执行程序可得程序功能是求分段函数 y= ∵y= , ∴sin( )= 的值, 的值,根据已知



=2k

,k∈Z,即可解得 x=12k+1,k∈Z.

∴当 k=0 时,有 x=1. 故选:C. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,正弦函数的图象和性质,属于基础题.

5. (5 分)将函数 y=sin(2x+ 象的函数解析式是() A.y=2cos x
2

)的图象向左平移

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图

B.y=2sin x

2

C.

D.y=cos2x

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 首先根据函数的图象变换求出关系式 y=cos2x+1,进一步利用诱导公式求出结果. 解答: 解:函数 y=sin(2x+ 得到:y=sin(2(x+ )+
2

)的图象向左平移

个单位,

)=cos2x

函数图象再向上平移 1 个单位, 得到:y=cos2x+1=2cos x 故选:A 点评: 本题考查的知识要点:函数图象的变换问题,诱导公式的应用,属于基础题型. 6. (5 分)用 a,b,c 表示空间中三条不同的直线,γ 表示平面,给出下列命题: ①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ②若 a∥b,a∥c,则 b∥c; ③若 a∥γ,b∥γ,则 a∥b; ④若 a⊥γ,b⊥γ,则 a∥b. 其中真命题的序号是() A.①② B.②③ C.①④ D.②④ 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 与立体几何有关的命题真假判断,要多结合空间图形,充分利用相关的公里、定理 解答.判断线与线、线与面、面与面之间的关系,可将线线、线面、面面平行(垂直)的性质 互相转换,进行证明,也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析. 解答: 解:因为空间中,用 a,b,c 表示三条不同的直线, ①中正方体从同一点出发的三条线,满足已知但是 a⊥c,所以①错误; ②若 a∥b,b∥c,则 a∥c,满足平行线公理,所以②正确; ③平行于同一平面的两直线的位置关系可能是平行、相交或者异面,所以③错误; ④垂直于同一平面的两直线平行,由线面垂直的性质定理判断④正确; 故选:D.

点评: 本题考查空间两条直线的位置关系以及判定方法,线面平行的判定,解决时要紧紧 抓住空间两条直线的位置关系的三种情况,牢固掌握线面平行、垂直的判定及性质定理.
2

7. (5 分)已知曲线 C:

﹣y =1 的左右焦点分别为 F1F2,过点 F2 的直线与双曲线 C 的右支

相交于 P,Q 两点,且点 P 的横坐标为 2,则 PF1Q 的周长为() A. B. 5 C. D.4

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的 a,b,c,求得焦点,判断三角形 PF1Q 为等腰三角形,PQ⊥x 轴,令 x=2,求得|PQ|,再由勾股定理,求得|PF1|,即可求得周长. 解答: 解:双曲线 C: c= =2, ﹣y =1 的 a=
2

,b=1,

则 F1(﹣2,0) ,F2(2,0) , 由于点 P 的横坐标为 2,则 PQ⊥x 轴, 令 x=2 则有 y = ﹣1= , 即 y= |PF1|= .即|PF2|= , = = . + +
2

则三角形 PF1Q 的周长为|PF1|+|QF1|+|PQ|= = .

故选:A. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查直线与双曲线的关系,考查运算能力,属于基 础题. 8. (5 分)已知映射 .设点 A(1,3) , B(2,2) ,点 M 是线段 AB 上一动点,f:M→M′.当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到 点 B 结束时,点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为() A. B. C. D.

考点: 映射. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据所给的两个点的坐标写出直线的方程,设出两个点的坐标,根据所给的映射的 对应法则得到两个点坐标之间的关系, 代入直线的方程求出一个圆的方程, 得到轨迹是一个圆 弧,求出弧长.

解答: 解:设点 M′从 A′开始运动,直到点 B′结束,由题意知 AB 的方程为:x+y=4.设 M′ (x,y) , 则 M(x ,y ) ,由点 M 在线段 AB 上可得 x +y =4. 按照映射 f:P(m,n)→P′( , ) ,可得 A(1,3)→A′(1, ) , 故 tan∠A′OX= tan∠B′OX= = ,∴∠A′OX= . , ×2= ;
2 2 2 2

) ,B(3,1)→B′(



=1,∴∠B′OX=

,故∠A′OB′=∠A′OX﹣∠B′OX= =∠A′OB′?r=

点 M 的对应点 M′所经过的路线长度为弧长为

故选:B. 点评: 本题考查弧长公式和轨迹方程,本题解题的关键是利用相关点法求出点的轨迹,题 目不大,但是涉及到的知识点不少,属于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 25 分. (一)必做题(9~ 13 题) 9. (5 分)不等式|2x﹣1|>x+2 的解集是(﹣∞,﹣ )∪(3,+∞) .

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 由绝对值的定义,讨论①当 2x﹣1≥0 即 x≥ 时,②当 2x﹣1<0 即 x< 时,去绝对 值,解不等式,最后求并集即可. 解答: 解:①当 2x﹣1≥0 即 x≥ 时, 不等式化为:2x﹣1>x+2, 解得:x>3,此情况下的解集为(3,+∞) ; ②当 2x﹣1<0 即 x< 时, 不等式化为 1﹣2x>x+2, 解得,x<﹣ ,此情况下的解集为(﹣∞,﹣ ) . 综上,原不等式的解集为(﹣∞,﹣ )∪(3,+∞) . 故答案为: (﹣∞,﹣ )∪(3,+∞) . 点评: 此题考查了其他不等式的解法,考查分类讨论的数学思想,是一道综合题. 10. (5 分)已知数列{an}是等差数列,且 a3+a4+a5=12,则 a1+a2+a3+…+a7 的值为 28. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: 由等差数列的性质结合已知求得 a4=4.然后由 a1+a2+a3+…+a7=7a4 得答案. 解答: 解:∵数列{an}是等差数列,且 a3+a4+a5=12, 由等差数列的性质得:3a4=12,则 a4=4. ∴a1+a2+a3+…+a7=7a4=7×4=28. 故答案为:28. 点评: 本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础的计算题.

11. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设不等式组

,所表示的平面区域是 W,

从区域 W 中随机取点 M(x,y) ,则|OM|≤2 的概率是



考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 若 x,y∈R,则区域 W 的面积是 2×2=4.满足|OM|≤2 的点 M 构成的区域为{(x,y) |﹣1≤x≤1,0≤y≤2,x +y ≤4},求出面积,即可求出概率. 解答: 解:这是一个几何概率模型. 若 x,y∈R,则区域 W 的面积是 2×2=4. 满足|OM|≤2 的点 M 构成的区域为{(x,y)|﹣1≤x≤1,0≤y≤2,x +y ≤4},面积为 2[ ( 故|OM|≤2 的概率为 故答案为: . )]= . ,
2 2 2 2



点评: 本题考查几何概率问题,确定满足|OM|≤2 的点 M 构成的区域为{(x,y)|﹣1≤x≤1, 2 2 0≤y≤2,x +y ≤4},求出面积是关键. 12. (5 分)由 0,1,2,…,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,十位数字与千位数 字之差的绝对值等于 7 的四位数的个数是 280. 考点: 计数原理的应用. 专题: 计算题;排列组合. 分析: 由题意知本题是一个计数原理的应用, 0 到 9 十个数字中之差的绝对值等于 7 的情况 有 3 种:0 与 7,1 与 8,2 与 9,分别表示出所有的情况,由加法原理计算可得答案. 解答: 解:由题意知本题是一个计数原理的应用 0 到 9 十个数字中之差的绝对值等于 7 的情况有 3 种:0 与 7,1 与 8,2 与 9; 2 分 3 种情况讨论:①当十位数字与千位数字为 0,7 时,有 A8 ; 2 2 ②当十位数字与千位数字为 1,8 时,有 A8 A2 ; 2 2 ③当十位数字与千位数字为 2,9 时,有 A8 A2 . 2 2 2 2 2 共 A8 +A8 A2 +A8 A2 =280. 故答案为: 280.

点评: 本题考查分类计数原理与分步计数原理,本题解题的关键是看出两个数字相差 7 时 的所有情况,本题是一个易错题.

13. (5 分)已知函数 f(x)=x+sinπx﹣3,则 f( 的值为﹣8058. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 f(x)+f(2﹣x) =﹣4,从而 f(

)+f(

)+f(

)+…+f(



)+f(

)+f(

)+…+f(



=﹣4×2014+f(1) ,由此能求出结果. 解答: 解:∵函数 f(x)=x+sinπx﹣3, ∴f(2﹣x)=2﹣x+sin(2π﹣πx)﹣3=2﹣x﹣sinπx﹣3, ∴f(x)+f(2﹣x)=﹣4, ∴f( )+f( )+f( )+…+f( )

=﹣4×2014+f(1) =﹣8056+1+sinπ﹣3 =﹣8058. 故答案为:﹣8058. 点评: 本题考查函数值的求法,是中档题,解题时要认真审题,解题的关键是推导出 f[x+ (2﹣x)]=﹣4. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) (几何证明选讲选做题) 14. (5 分) (几何证明选讲)如图,圆 O 的直径 AB=9,直线 CE 与圆 O 相切于点 C,AD⊥CE 于 D,若 AD=1,设∠ABC=θ,则 sinθ= .

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: 利用圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义即可得出. 解答: 解:∵直线 CE 与圆 O 相切于点 C,∴∠ACD=∠ABC. ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ADC=∠ACB=90°. ∴△ACD∽△ABC,∴ ,∴AC =AB?AD=9×1=9,解得 AC=3.
2

∴ 故答案为 .



点评: 熟练掌握圆的性质、切线的性质、三角形相似的判定与性质、三角函数的定义是解 题的关键. (坐标系与参数方程选讲选做题) 15. (坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1:ρ=2sinθ 与 C2:ρ=2cosθ 的交点分别为 A、B,则线段 AB 的垂直平分线的极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ=1. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆. 2 分析: 由 ρ=2sinθ 得 ρ =2ρsinθ,根据极坐标与直角坐标的互化公式求得曲线 C1 的直角坐标 方程,同理求得曲线 C2 的直角坐标方程;线段 AB 的垂直平分线经过两圆的圆心,将圆的方 程化为标准方程,求得圆心坐标,即可得到线段 AB 的垂直平分线方程,最后再化成极坐标方 程即可. 解答: 解:由 ρ=2sinθ 得,ρ =2ρsinθ,即曲线 C1 的直角坐标方程为 x +y ﹣2y=0, 2 2 由 ρ=2cosθ 得曲线 C2 的直角坐标方程为 x +y ﹣2x=0. 线段 AB 的垂直平分线经过两圆的圆心 ∵圆 x +y ﹣2x=0 可化为: (x﹣1) +y =1,圆 x +y ﹣2y=0 可化为:x +(y﹣1) =1 ∴两圆的圆心分别为(1,0) , (0,1) ∴线段 AB 的垂直平分线方程为 x+y=1,极坐标方程为 ρsinθ+ρcosθ=1. 故答案为:ρsinθ+ρcosθ=1. 点评: 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,考查两圆公共弦的垂直平分 线的方程,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=sinx+acosx(x∈R) , (1)求 a 的值,并求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若 α 的值. 考点: 函数零点的判定定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1)由 是函数 f(x)的一个零点知 ;从而求 a 的 ,且 , ,求 sin(α+β) 是函数 f(x)的一个零点.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

值并求函数的单调区间; (2)由 得 ;由 得

;从而根据角的范围求角的三角函数值,再由恒等变换求解.

解答: 解: (1)∵ ∴ ∴a=﹣1; ∴f(x)=sinx﹣cosx = = 由 得 .

是函数 f(x)的一个零点, .

,k∈Z, ,k∈Z, (k∈Z) .

∴函数 f(x)的单调递增区间是 (2)∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ . , . , . . , . . ,

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ = = .

点评: 本题考查了三角函数的化简与变换,属于基础题. 17. (12 分)广州某商场根据以往某种商品的销售记录,绘制了日销售量的频率分布表(如表) 和频率分布直方图(如图) . 分组 频数 频率

[0,50] n1 0.15 (50,100] n2 0.25 (100,150] n3 0.30 (150,200] n4 0.20 (200,250] n5 0.10 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求 a1,a3 的值. (2)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都高于 100 个且另 1 天的日销售量不高于 50 个的概率; (3) 用 X 表示在未来 3 天里日销售量高于 100 个的天数, 求随机变量 X 的分布列和数学期望.

考点: 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由频率分布直方图,能求出 a1,a3 的值. (2)设 A1 表示事件“日销售量高于 100 个”,A2 表示事件“日销售量不高于 50 个”,B 表示事 件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量高于 100 个且另 1 天销售量不高于 50 个”,由此能 求出结果. (3)X 的可能取值为 0,1,2,3,且 X~B(3,0.6) ,由此能求出 X 的分布列和 EX. 解答: (本小题满分 12 分) (1)解:由频率分布直方图,得: , .…(2 分)

(2)解:设 A1 表示事件“日销售量高于 100 个”,A2 表示事件“日销售量不高于 50 个”, B 表示事件“在未来连续 3 天里有连续 2 天日销售量高于 100 个且另 1 天销售量不高于 50 个”. P(A1)=0.30+0.20+0.10=0.6,P(A2)=0.15, 故所求概率:P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.…(5 分) (3)解:依题意,X 的可能取值为 0,1,2,3,且 X~B(3,0.6) .…(6 分) P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= , , ,

P(X=3)=

,…(10 分)

∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 …(11 分) ∴EX=3×0.6=1.8.…(12 分) 点评: 本题考查频率分布直方图的应用,考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列 和数学期望的求法,是中档题,解题时要认真审题,在历年 2015 届高考中都是必考题型之一. 18. (14 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,△ PAB 与△ PAD 均是以 A 为直角顶点的等腰直 角三角形,点 F 是 PB 的中点,点 E 是边 BC 上的任意一点. (1)求证:AF⊥EF; (2)求二面角 A﹣PC﹣B 的平面角的正弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)由已知得 PA⊥AD,PA⊥AB,AB⊥BC,从而 PA⊥BC,进而 BC⊥面 PAB, 又 AF⊥PB,由此能证明 AF⊥EF. (2)以 A 为原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,P 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能 求出二面角 A﹣PC﹣B 的平面角的正弦值. 解答: (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,△ PAB 与△ PAD 均是以 A 为直角顶点的等 腰直角三角形, ∴PA⊥AD,PA⊥AB,又 AD∩AB=A,AB⊥BC, ∴PA⊥平面 ABCD,又 BC?面 ABCD,∴PA⊥BC, ∵AB∩PA=A,∴BC⊥面 PAB, ∴BC⊥AF, ∵△PAB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,F 是 PB 中点, ∴AF⊥PB, 又 PB∩BC=B,∴AF⊥平面 PBC, ∵EF?平面 PBC,∴AF⊥EF. (2)解:以 A 为原点,AD 为 x 轴,AB 为 y 轴,P 为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 设 AB=1,则 A(0,0,0) ,B(0,1,0) ,C(1,1,0) ,P(0,0,1) , =(0,0,1) , =(1,1,0) ,

设平面 APC 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,取 x=1,得 =(1,﹣1,0) ,

=(0,1,﹣1) ,

=(1,1,﹣1) ,

设平面 PBC 的法向量 =(a,b,c) , 则 ,取 b=1,得 =(0,1,1) ,

|cos< ∴<

>|=|

|= , , .

>=60°,又 sin60°=

∴二面角 A﹣PC﹣B 的平面角的正弦值为

点评: 本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学 思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 19. (14 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: Sn= (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 a= ,设 bn= ,且数列{bn}的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< . , a 为常数, 且 a≠0, a≠1.

考点: 数列与不等式的综合;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列.

分析: (1)利用递推式与等比数列的通项公式即可得出; (2)当 时, ,可得 bn= .由 , ,

可得 bn

.即可证明. , (a≠0,a≠1) .

解答: (1)解:∵ ∴a1=a. 当 n≥2 时,







∴数列{an}是首项为 a,公比也为 a 的等比数列. ∴ (2)证明:当 . 时,



=

=







∴bn=



∴ ∵ ∴ 即 . , ,

=



点评: 本题考查了递推式与等比数列的通项公式、“放缩法”、“裂项求和”,考查了推理能力 与计算能力,属于难题.

20. (14 分)已知椭圆 C:
2 2 2 2

的离心率为

,且经过点(0,1) .圆 C1:

x +y =a +b . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 有且只有一个公共点 M,且 l 与圆 C1 相交于 A,B 两点,问 =0 是否成立?请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆经过的点求出 b,利用离心率求解 a,然后求解椭圆 C 的方程. (2)解法 1:求出圆 C1 的圆心为原点 O,利用直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M,联立 方程组,通过韦达定理结合直线的斜率关系判断即可. 解法 2:求出圆 C1 的圆心,联立直线 l 与椭圆 C 的方程组成方程组,有且只有一组解,求出 M,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 的中点为 N(xN,yN) ,通过若 xN=xM,推出矛盾, 得到结论. 解答: (本小题满分 14 分) (1)解:∵椭圆 ∴b =1.…(1 分) ∵ ∴a =4. …(3 分) ∴椭圆 C 的方程为 .…(4 分)
2 2 2 2

过点(0,1) ,

,…(2 分)

(2)解法 1:由(1)知,圆 C1 的方程为 x +y =5,其圆心为原点 O.…(5 分) ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M,

∴方程组
2

(*)
2

有且只有一组解.
2

由(*)得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0.…(6 分) 2 2 2 2 2 从而△ =(8km) ﹣4(1+4k ) (4m ﹣4)=0,化简得 m =1+4k .①…(7 分) , .…(9 分) .…(10 分)

∴点 M 的坐标为 由于 k≠0,结合①式知 m≠0,

∴kOM×k=

.…(11 分)

∴OM 与 AB 不垂直.…(12 分) ∴点 M 不是线段 AB 的中点.…(13 分) ∴ =0 不成立.…(14 分)
2 2

解法 2:由(1)知,圆 C1 的方程为 x +y =5,其圆心为原点 O.…(5 分) ∵直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点 M,

∴方程组
2

(*)
2

有且只有一组解.
2

由(*)得(1+4k )x +8kmx+4m ﹣4=0. …(6 分) 2 2 2 2 2 从而△ =(8km) ﹣4(1+4k ) (4m ﹣4)=0,化简得 m =1+4k .①…(7 分) ,…(8 分) 由于 k≠0,结合①式知 m≠0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,线段 AB 的中点为 N(xN,yN) , 由 消去 y,得(1+k )x +2kmx+m ﹣5=0.…(9 分)
2 2 2



.…(10 分) ,化简得 3=0,矛盾.…(11 分)

若 xN=xM,得

∴点 N 与点 M 不重合.…(12 分) ∴点 M 不是线段 AB 的中点.…(13 分) ∴ =0 不成立.…(14 分)

点评: 本题考查椭圆的标准方程的求法,直线与椭圆的位置关系的综合应用,考查分析问 题解决问题的能力. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x﹣ ﹣2lnx,a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,且 x1<x2,求 a 的取值范围; (3)在(2)的条件下,证明:f(x2)<x2﹣1. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.

专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求出函数的定义域为(0,+∞) ,函数的导数,令 f′(x)=0,①当△ ≤0,②当 △ >0,a<1 时,若 a≤0,若 a>0,分别判断导函数的符号,得到函数的单调性.当 0<a<1 时, 2 (2)求出函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,等价于方程 x ﹣2x+a=0 在(0,+∞) ,直接推出 结果. (3)通过(1) , (2) ,推出 0<a<1,构造新函数 g(t)=t﹣2lnt﹣1,1<t<2,利用新函数的 单调性证明 求解即可. 解答: (本小题满分 14 分) (1)解:函数 的定义域为(0,+∞) ,

,…(1 分) 令 f′(x)=0,得 x ﹣2x+a=0,其判别式△ =4﹣4a, 2 ①当△ ≤0,即 a≥1 时,x ﹣2x+a≥0,f′(x)≥0,此时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;…(2 分) ②当△ >0,即 a<1 时,方程 x ﹣2x+a=0 的两根为
2 2



,…

(3 分) 若 a≤0,则 x1≤0,则 x∈(0,x2)时,f′(x)<0,x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0, 此时,f(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增;…(4 分) 若 a>0,则 x1>0,则 x∈(0,x1)时,f′(x)>0,x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,x∈(x2, +∞)时,f′(x)>0, 此时,f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.… (5 分) 综上所述,当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增; 当 0<a<1 时,函数 f(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞) 上单调递增; 当 a≥1 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增.…(6 分) 2 (2)解:由(1)可知,函数 f(x)有两个极值点 x1,x2,等价于方程 x ﹣2x+a=0 在(0,+∞) 有 两不等实根,故 0<a<1.…(7 分) (3)证明:由(1) , (2)得 0<a<1, ,且 1<x2<2, .…(8

分) 令 g(t)=t﹣2lnt﹣1,1<t<2, 则 ,…(10 分)

,…(9 分)

由于 1<t<2,则 g′(t)<0,故 g(t)在(1,2)上单调递减.…(11 分) 故 g(t)<g(1)=1﹣2ln1﹣1=0.…(12 分)

∴f(x2)﹣x2+1=g(x2)<0.…(13 分) ∴f(x2)<x2﹣1.…(14 分) 点评: 本题考查函数的导数的应用,函数的极值以及函数的单调性的应用,考查分析问题 解决问题的能力,转化思想的应用.


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