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公开课三次函数的图象和性质


课题

函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 的图象与性质

知识与技能:让学生了解三次函数的概念,能利用导数和二次函数等知识讨论三次函数的单调性, 进一步理解函数的单调性、极值,能利用图象来讨论三次方程实根的个数,体会分类讨论、数形结 合、函数方程的数学思想方法,培养学生识图能力、探究能力,提高运用

所学知识解决问题的能力。 过程与方法:通过学生自主探索得到三次函数的基本图形,发现影响三次函数单调性的元素,以及 三次函数零点个数的条件 情感态度价值观:让学生经历从特殊到一般的认识事物和发现规律的过程,鼓励学生勇于探索、设 法寻到解决问题的方案,体验“再创造”的乐趣。 教学重点:三次函数的单调性和相应三次方程实根的个数 教学难点:三次函数的图象的应用 请看幻灯片: 上周周练: 已知曲线 S : y ? 3x ? x3 及点 P ? 2,2? , 则过点 P 可引 S 的切线的条数 ( )

A )0

B )1

C )2

D )3

3 解 设切点为: x0 ,3 x0 ? x0

?

?

易得: x03 ? 3x02 ? 2 ? 0 由因式分解得三不同实数根,故选 D )

探究一:三次函数的图象与性质
3 2 2 当 a ? 0 时, f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0 ? 的草图: f ? ? x ? ? 3ax ? 2bx ? c

a?0

b2 ? 3ac ? 0

b2 ? 3ac ? 0
y

f ? ? x?

草 图
O
x

f ? x?

草 图

小结:函数 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0? 的单调性:
3 2

f ? ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? c 根的判别式: ? ? 4 ? b 2 ? 3ac ?
2 1)当 a ? 0 时,① 当 b ? 3ac ? 0 , f ? x ? 在 R 上是增函数;

② 当 b ? 3ac ? 0 ,设 f ? ? x ? ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 f ? x ? 在 ? ??, x1 ? , ? x2 , ??? 是
2

增函数,在 ? x1 , x2 ? 为减函数; (注: x1 为极大值点, x2 为极小值点) (增----减----增) 师:当 a ? 0 时,学生完成下表和单调性和极值小结

a?0

b2 ? 3ac ? 0

b2 ? 3ac ? 0

f ? ? x?

草 图

f ? x?

草 图

2)当 a ? 0 时,① 当 b ? 3ac ? 0 , f ? x ? 在 R 上是减函数;
2 2 ② 当 b ? 3ac ? 0 ,设 f ? ? x ? ? 0 的两根为 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,则 f ? x ? 在 ? ??, x1 ? , ? x2 , ??? 是减

函数,在 ? x1 , x2 ? 为增函数; (注: x1 为极小值点, x2 为极大值点) (减---增—减) 思考:上面我们已经研究了三次函数的四种基本图象,请大家就 a , b , c , d 对图象的影响? 探究二、 f ? x ? ? ax ? bx ? cx ? d ? a ? 0? 零点个数
3 2

a?0

b2 ? 3ac ? 0

b2 ? 3ac ? 0

f ? x?

草图

零点 个数

1个 2个

成立

y极大值 y极小值 ? 0 y极大值 y极小值 ? 0

控制 条件 3个

y极大值 y极小值 ? 0

例 1、已知方程

1 3 1 2 9 x ? ax ? ? 0 3 2 2

1)方程只有一个实数根,请求出 a 的取值范围;2)方程有两个不同实数根,请求出 a 的取值范围; 3)方程有三个不同实数根,请求出 a 的取值范围 解: 函数 f ? x ? ?

1 3 1 2 9 x ? ax ? 与直线 y ? 0 的交点个数; 3 2 2

1) f ? ? x ? ? x2 ? ax ? x ? x ? a ? ? 0

x ? 0或x?a

① a ? 0 , f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增,故符合要求; ② a ? 0, 图象草图:

x
f ? ? x? f ? x?

? ??, a?
?

a
0

? a, 0 ?
?

0

?0, ???
?

9 1 ? ? a3 ? 0 2 6
即 a ? ?3

0

9 1 ? ? a3 2 6

?

9 2

? a ? ? ?3,0?
③ a?0

x
f ? ? x? f ? x?

? ??,0?
?

0

? 0, a ?
?

a
0

? a, ???
?
草图 显然成立 即 a ? 0

0

?

9 2

9 1 ? ? a3 2 6

综上所述, a ? ? ?3, ?? ? (2)由(1)知 a ? ?3 (3)由(1)知 a ? ?3

变式一:已知函数 f ? x ? ?

1 3 1 2 1 x ? ax ? 2 x ? 3 2 2

直线 y ? 5 与函数 f ? x ? 只有一个交点,请求出 a 的取值范围 解 解法一: g ? x ? ? f ? x ? ? 5 ?
2

1 3 1 2 9 x ? ax ? 3 2 2

同例 1 一样

解法二: f ? ? x ? ? x ? ax ? x ? x ? a ?

令 f ? ? x? ? x ? x ? a? ? 0

x ? 0或x?a

(1) a ? 0 , f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增,故符合要求; (2) a ? 0 ,

x
f ? ? x? f ? x?

? ??, a?
?

a
0

? a, 0 ?
?

0

?0, ???
?

0
0

1 1 3 ? a 2 6

图象草图:

x

? ??,0?

0

? 0, a ?

a

? a, ???

只要:

1 1 3 ? a ?5 2 6

即 a ? ?3

f ? ? x? f ? x?

?

0

?

0

?

? a ? ? ?3,0?
3) a ? 0 显然 5 ? 故 a?0

1 2

1 1 3 ? a 2 6

1 成立 2
综上所述, a ? ? ?3, ?? ?

(课后思考)已知函数 f ? x ? ? x3 ? x 1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 M t, f ?t ? 处的切线方程 2)设 a ? 0 ,如果过点 ? a, b ? 可作曲线 y ? f ? x ? 的三条切线,证明: ?a ? b ? f ? a ? (07 全国) 解 1) f ? x ? ? x ? x
3

?

?

?

f ? ? x ? ? 3x2 ?1

在点 M t , f? ?t 处的斜率是: k ? 3t ? 1
2

?

?

3 2 故切线方程为: y ? t ? t ? 3t ? 1 ? x ? t ?

?

?



y ? ? 3t 2 ? 1? x ? 2t 3

2)设切点为 t , f ? t ?

?

?

2 3 故切线方程为 y ? 3t ? 1 x ? 2t

?

?

切线过点 ? a, b ? 即 2t ? 3t a ? a ? b ? 0
3 2

? b ? ? 3t 2 ? 1? a ? 2t 3

g ?t ? ? 2t 3 ? 3t 2a ? a ? b
令 g? ?t ? ? 6t ? 6ta ? 0
2

g? ?t ? ? 6t 2 ? 6ta
解得 t ? 0 , t ? a

g ? t ? 有三个零点
? ? g ? 0? ? 0 ? ? ? ?g ?a? ? 0
又 f ?a? ? a ? a
3

t
g? ?t ? g ?t ?

? ??,0?
?

0

? 0, a ?
?

a
0
极小值

? a, ???
?

?a ? b ? 0 即 ? 3 ?a ? b ? a ? 0

0
极大值

? ?a ? b ? f ? a ?
小结:通过本节课学习,我们掌握:1、知识方面:1)三次函数的四种基本图象; 2)三次函数的零点问题;2、思想方面: 1)数形结合; 2)分类讨论思想.


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