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2014高考数学三角函数汇编


2014 高考三角函数汇编
? ? 1. (辽宁)将函数 y ? 3sin(2 x ? ) 的图象向右平移 个单位长度,所得图象对 3 2
应的函数( B A.在区间 [
,


] 上单调递减

? 7?
12 12

B.在区间 [

C.在区间

[ ?

? ?

, ] 上单调递增 12 12

? 7?

, ] 上单调递减 6 3

D.在区间 [ ?

? ?

, ] 上单调递增 6 3

2. 为 了 得 到 函 数 y ? sin 3x ? cos3x 的 图 像 , 可 以 将 函 数 y ? 2 sin 3x 的 图 像 ( C )

? 个单位 4 ? C.向右平移 个单位 12
A.向右平移

? 个单位 4 ? D.向左平移 个单位 12
B.向左平移 )

?x 2 ? 1, x ? 0 3.(福建)已知函数 f ?x ? ? ? 则下列结论正确的是( D cos x , x ? 0 ?

A. f ?x ? 是偶函数 B. f ?x ? 是增函数 C. f ?x ? 是周期函数 D. f ?x ? 的值域为 ?? 1,??? 4. (江苏) 已知函数 y ? cos x 与 y ? sin(2 x ? ? ) (0≤ ? ? ? ),它们的图象有一个横 坐标为
?
3

的交点,则 ? 的值是



.

5、 (浙江)如图,某人在垂直于水平地面 知点 到墙面的距离为 确瞄准目标点

的墙面前的点 处进行射击训练.已 移动,此人为了准 的大小.若 。 (仰角 为

,某目标点 沿墙面的射击线 观察点 的最大值

,需计算由点 则

的仰角
5 3 9

直线 AP 与平面 ABC 所成角)

6.(新课标二 4)钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( 2 A. 5 C. 2 D. 1 B. 5 【答案】B

)

1 1 1 2 ac sin B = ? 2 ? 1? sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。 4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4 ? S ΔABC =

7. (江苏)若△ ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2 sin C ,则 cos C 的最小值是 ▲ .

8.( (浙江)本题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 已知 a ? b, c ? 3 , cos2 A - cos2 B ? 3 sin A cos A - 3 sin B cos B. (I)求角 C 的大小; (II)若 sin A ?
4 ,求 ?ABC 的面积. 5

解: (I)由题意得,

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 3 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B , 2 2 2 2



3 1 3 1 sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 B ? cos 2 B , 2 2 2 2

sin(2 A ? ) ? sin(2 B ? ) ,由 a ? b 得, A ? B ,又 A ? B ? ? 0, ? ? ,得 6 6 ? ? 2? ? 2 A ? ? 2 B ? ? ? ,即 A ? B ? ,所以 C ? ; 6 6 3 3 4 a c 8 ? (II)由 c ? 3 , sin A ? , 得a ? , 5 sin A sin C 5 3 由 a ? c ,得 A ? C ,从而 cos A ? ,故 5

?

?

sin B ? sin ? A ? C ? ? sin A cos C ? cos A sin C ?

4?3 3 , 10

1 8 3 ? 18 所以 ?ABC 的面积为 S ? ac sin B ? . 2 25

9. ( 新 课 标 二 14. ) 函 数 f ? x? ? s i n 2 ? ? 2 s i? n cos ? x? ? ? x ??? 的 最 大 值 为 _________. 【答案】 1

? f ( x) = sin(x + 2φ) - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ + cos(x + φ) ? sin φ - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) ? cosφ - cos(x + φ) ? sin φ = sin x ≤ 1.∴ 最大值为 1.
? ? 10.(大纲卷 16).若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( , ) 是减函数,则 a 的 6 2 取值范围是 a《=2 .
11. ( 重 庆 10 ) 已 知
?A B 的 C





A,B, C满足 s 2 A i ? s n Ai? B ? nC ) ? ( s

1 Ci? A ? nB) ? ( 2







满 )



1 ? S ? 2,记a, b, c分别为A, B, C 所对的边,则下列不等式成立的是( A
A. bc(b ? c) ? 8 B. ac(a ? c) C. 6 ? abc ? 12 D. 12 ? abc ? 24

? 12.(陕西)函数 f ( x) ? cos(2 x ? ) 的最小正周期是( 6 ? B.? C .2? D.4? A. 2
【答案】 ?T =
2π 2π = = π,∴选B |ω | 2



13.(天津)在 D ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c .已知 b - c =
2sin B = 3sin C ,则 cos A 的值为_______.

1 a, 4

解: -

1 4

因为 2sin B = 3sin C ,所以 2b = 3c ,解得 b =
b2 + c 2 - a 2 1 =- . 2bc 4

3c , a = 2c . 2

所以 cos A =

? ? 14.(北京 14) 设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) , A ? 0, ? ? 0 ,若 f ( x) 在区间 [ , ] 上 6 2
?? ? ? 2? ? ?? ? 具有单调性,且 f ? ? ? f ? ? ? ? f ? ? ,则 f ( x) 的最小正周期为___π _____. ?2? ? 3 ? ?6?

15.12 ( 广 东 12 ) . 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 应 的 边 分 别 为 a, b, c , 已 知

b cosC ? c cos B ? 2b ,则
答案 : 2

a ? b

.

a 提示 : 解法一 :由射影定理知b cos C ? c cos B ? a, 从而a ? 2b,? ? 2 . b 解法二:由上弦定理得:sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin B, 即sin( B ? C ) ? 2sin B, a ? sin A ? 2sin B, 即a ? 2b,? ? 2 . b 2 2 2 a ? b ? c a 2 ? c2 ? b2 解法三 :由余弦定理得 : b ? ? ? 2b, 即2a 2 ? 4ab, 2ab 2ac a ? a ? 2b, 即 ? 2 . b
16.(辽宁) (本小题满分 12 分)
1 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边 a, b, c, 且a ?c, 已知 BA ? BC ? 2 ,cos B ? , 3
b ? 3 ,求:

(1)a 和 c 的值; (2) cos( B ? C ) 的值. 解.(Ⅰ)由 BA ? BC ? 2 得, c ? a cos B ? 2 ,又 cos B ? 由余弦定理,得 a ? c ? b ? 2ac cos B . 又 b=3,所以 a ? c ? 9 ? 2 ? 2 ? 13 . 解?
2 2 2 2 2

1 ,所以 ac=6. 3

? ?ac ? 6 ? ?a ? c ? 13
2 2

,得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.

因为 a>c,∴ a=3,c=2. (Ⅱ)在 ?ABC 中, sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ( ) ?
2

1 3

2

2 2 . 3

由正弦定理,得 sin C ?

c 2 2 2 4 2 ,又因为 a ? b ? c ,所以 C 为 sin B ? ? ? b 3 3 9
2

锐角,因此 cos C ? 1 ? sin C ? 1 ? (

4 2 2 7 ) ? . 9 9

于是 cos( B ? C) ? cos B cos C ? sin B sin C = ?

1 7 2 2 4 2 23 . ? ? ? 3 9 3 9 27

17(福建) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? .

1 2

(1)若 0 ? ? ?

?
2

,且 sin ? ?

2 ,求 f (? ) 的值; 2

(2)求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间. 解法一:(1)因为 0 ? ? ?

?
2

, sin ? ?

2 2 , 所以 cos ? ? . 2 2

所以 f (? ) ?

2 2 2 1 1 ( ? )? ? 2 2 2 2 2

(2)因为
f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x ? 1 1 1 ? cos 2 x 1 1 1 2 ? ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 2 2 2 4

,所以 T ?
k? ?

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z .所以 f ( x) 的单调递增区间为 8 8 3? ? [ k? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8

2? ? ? ? ? ? .由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 得 2 2 4 2

解法二:
f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x ? 1 1 1 ? cos 2 x 1 1 1 2 ? ? sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 2 2 2 4

(1)因为 0 ? ? ?

?
2

, sin ? ?

? 2 , 所以 ? ? 4 2

从而 f (? ) ? (2) T ? 由 2 k? ?
2? ?? 2 ? 2x ?

2 ? 2 3? 1 sin(2? ? ) ? sin ? 2 4 2 4 2

?
2

?
4

? 2 k? ?

?
2

, k ? Z , 得 k? ?

单调递增区间为 [k? ?

3? ? , k? ? ], k ? Z . 8 8

3? ? ? x ? k? ? , k ? Z .所以 f ( x) 的 8 8

18. (重庆 17) (本小题 13 分, (I)小问 5 分, (II)小问 8 分)

? ?? ? ? f ?x ? ? 3 sin??x ? ? ? ? ? ? 0, ? ?? ? ? x? 2 2 ? 的图像关于直线 ? 3对 已知函数
称,且图像上相邻两个最高点的距离为 ? . (I)求 ? 和 ? 的值;

3 ?? 2? ? 3? ? ?? ? ? cos?? ? f? ?? ? ? ?? ? ? 2 ? 的值. 3 ? ,求 ? (II)若 ? 2 ? 4 ? 6
解:因 f ? x ? 的图象上相邻两个最高点的距离为 ? ,所以 f ? x ? 的最小正周期

T ? ? ,从而 ? ?

2? ?2. T

又因 f ? x ? 的图象关于直线 x ?
2?

?
3

对称,所以
,因?

?
3

? ? ? k? ?

?
2

, k ? 0, ?1, ?2,

?
2

?? ?

?
2

得k ? 0

所以 ? ?

?
2

?

2? ? ?? . 3 6

3 ?? ? ? ? ?? (II)由(I)得 f ? ? ? 3 sin ? 2 ? ? ? ? ?2? ? 2 6? 4

?? 1 ? 所以 sin ? ? ? ? ? . 6? 4 ?


?
6

?? ?

2? ? ? 得0 ?? ? ? , 3 6 2
2

?? ?? 15 ? ? ?1? . 所以 cos ? ? ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 6? 6? 4 ? ? ?4?
因此

3? ? cos ? ? ? 2 ?

?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? sin ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin 6? 6 6? 6 6 ? 6? ? ? ? ??
1 3 15 1 3 ? 15 ? ? ? = ? 4 2 4 2 8

19、(广东 16)(12 分)已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1)求 A 的值; (2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

?
4

), x ? R ,且 f (

5 3 ?) ? , 12 2

3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) . 2 2 4

解 : (1) f (

5? 5? ? 2? 3 3 2 ) ? A sin( ? ) ? A sin ? ,? A ? ? ? 3. 12 12 4 3 2 2 3

(2)由(1)得 : f ( x) ? 3 sin( x ? ), 4

?

? f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin(?? ? ) 4 4 ? 3 (sin ? cos

?

?

? cos ? sin ) ? 3 (sin(?? ) cos ? cos( ?? ) sin ) 4 4 4 4 ? 3 ? 2 3 cos ? sin ? 6 cos ? ? 4 2 6 ? 10 ? cos ? ? , ? ? (0, ),? sin ? ? 4 2 4 3? 3? ? 10 30 ? f ( ? ? ) ? 3 sin( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 3 ? ? . 4 4 4 4 4

?

?

?

?

20. (天津) (本小题满分 13 分)

?? 3 ? 已知函数 f ? x ? ? cos x ? sin ? x ? ? ? 3 cos2 x ? , x?R . 3? 4 ?
(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期;
? ? ?? (Ⅱ)求 f ? x ? 在闭区间 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 4 4?
骣 ?1 sin x + 3 cos x÷ ÷ 解: (Ⅰ)解:由已知,有 f ( x) = cos x 诅 ÷ ? ÷ ? 2 2 桫 3 cos 2 x + 3 4

=

1 sin x ?cos x 2

3 3 cos 2 x + 2 4

=

1 3 3 sin 2 x (1 + cos 2 x) + 4 4 4 1 sin 2 x 4 3 cos 2 x 4

=

=

1 骣 p sin ? 2x - ÷ ÷. ? 桫 2 ? 3÷
2p = p. 2

所以, f ( x) 的最小正周期 T =

轾p 轾p p p (Ⅱ)解:因为 f ( x) 在区间 犏 上是减函数,在区间 犏 - ,, 上是增函数. 犏 犏 臌 4 12 臌12 4 骣 p÷ 1 , f? - ÷ = ? ? 桫 4÷ 4 骣p÷ 1 , f? = ÷ ? ? 桫 12 ÷ 2 骣 p÷ 1 f? ÷= . ? ? 桫 4÷ 4

轾p p 1 1 所以,函数 f ( x) 在闭区间 犏 - , 上的最大值为 ,最小值为 - . 犏 4 2 臌4 4

21.(江苏)(本小题满分 14 分) 已知 ? ? ( , ? ) , sin ? ? (1)求 sin( ? ? ) 的值;
?
2

?

5 . 5

4 5? (2)求 cos( ? 2? ) 的值. 6


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