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7.3两条直线的位置关系(四)


两条直线的位置关系(5) 两条直线的位置关系
第26课

复习与引入
问题1:两点 问题 两点P1(X1,Y1),P2(X2,Y2)间的距 两点 间的距 离公式是什么?是如何推导的 离公式是什么 是如何推导的? 是如何推导的
P2(X2,Y2) P1(X1,Y1)

·

·

Q(X2,Y1)

PP = (x2 ?x1) +(y2 ?y1) 1 2
2

2

问题2:若已知点P(-1,2),直线 直线l:2x+y-10=0,如 问题 若已知点 直线 如
何求点P到直线 的距离 何求点 到直线l的距离 到直线 的距离?
10 Y

思路1: 思路

S P 2 5 X

-1 O

2x+y-10=0

因为直线PS垂直于直线 故直线 的斜率为1/2,由 因为直线 垂直于直线l,故直线 的斜率为 垂直于直线 故直线PS的斜率为 由 直线PS的方程 的方程y-2=1/2(x+1)与2x+y-10=0联立 求 联立,求 直线 的方程 与 联立 得交点S(3,4),由两点间的距离公式得 d = 2 5 得交点 由两点间的距离公式得

问题2:若已知点P(-1,2),直线 直线l:2x+y-10=0,如 问题 若已知点 直线 如
何求点P到直线 的距离 的距离? 何求点 到直线l的距离 到直线 R
10 Y S Q 5 X

P -1 O

2x+y-10=0
思路二:过P点分别作直线PQ, PR 平行于x轴和y轴,交直线l于Q、R, 求得Q(4, 2),R( ? 1, )。由 12 S ?PQR =
1 2

PQ ? PR =

1 2

RQ ? PS ,

可得d = PS = 2 5.

问题2:若已知点P(-1,2),直线 问题2:若已知点P(-1,2),直线 2:若已知点P( l:2x+y-10=0,如何求点 如何求点P l:2x+y-10=0,如何求点P到直 的距离? 线l的距离?

Y 10 Q

P 2 -1 O 5 X

思路三:(函数思想)

点 P 到直线 l 的距离

2x+y-10=0

即为 P 点与直线 l 上动点 Q 的最小距离;因为 Q 点在直线 l 上,可设 Q ( x ,10 ? 2 x ), x ∈ R , 所以 PQ
2

= ( x + 1) 2 + (8 ? 2 x ) 2
2

= 5 ( x ? 3 ) + 20 , 当 x = 3时 PQ 有最小值 20。
2

因此点 P 到直线 l 的距离为

20 = 2 5。

问题3:在平面直角坐标系中 如果已知点 问题 在平面直角坐标系中,如果已知点 的坐 在平面直角坐标系中 如果已知点P的坐 标为(x 直线l的方程是 标为 0,y0),直线 的方程是 直线 的方程是Ax+By+C=0,又如何 又如何 求点P到直线 的距离? 到直线l的距离 求点 到直线 的距离 P(x ,y )
0 0

如图, 解:如图,设A≠0,B≠0,这 如图 这 轴都相交。 时L与x轴、y轴都相交。 与 轴 轴都相交 轴的平行线, 过P作X轴的平行线,交l 作 轴的平行线 于点R(x1,y0);作y轴平行线, 轴平行线, 于点 作 轴平行线 于点S(x0,y2)由Ax1+By0+C=0 交l于点 于点 由 Ax0+By2+c=0 得

R(x1,y0) d Q O S(x0,y2)

l

l

x1 =

? By 0 ? C A

, y2 =

? Ax 0 ? C B

.所以 , PS = y 0 ? y 2 =
Ax 0 + By 0 + C B

PR = x 0 ? x1 = RS =
2

Ax 0 + By 0 + C A 2

,

PR + PS =
Ax 0 + By 0 + C A2 + B 2

A2 + B 2 AB

× Ax 0 + By 0 + C .

从三角形面积公式可知 d ? RS = PR ? PS , 所以 d = .当A = 0或B = 0时,此公式也成立,故
Ax 0 + By 0 + C A +B
2 2

点到直线的距离公式为 d =

.

当A=0或B=0时,也可以不用上面公 式而直接求出距离。
d P(x0,y0) P(x0,y0)

d

y =?C B

x=?C A

d = x0 +

C A

y = y0 + C B

求点P 到下列直线的距离: 例1 求点P0(-1,2)到下列直线的距离: (1)3x+4y+3=0 (2)3x=2 (3)y=10-2x (3)y=10求平行线2x 7y+8=0与 2x-7y2x例2 求平行线2x-7y+8=0与 2x-7y6=0的距离 的距离。 6=0的距离。 变式1 求两直线l =0与 变式1:求两直线l1:Ax+By+C1=0与 =0的距离 的距离。 l2:Ax+By+C2=0的距离。 变式2:求与直线2x-7y+8=0平行且距 变式2 求与直线2x-7y+8=0平行且距 2x 离为2的直线方程。 离为2的直线方程。

过点P 引直线, 例3 过点P(1,2)引直线,使A(2, ),B 到它的距离相等, 3),B(4,-5)到它的距离相等,求这 条直线方程。 条直线方程。 课堂小结: 课堂小结: 两点间距离、点到直线的距离、 两点间距离、点到直线的距离、两平行 线距离。 线距离。

课堂练习: 课堂练习: 课本P53练习1,2,3。 课本P53练习1 P53练习 作业布置: 作业布置: 课本P54T12 13、14、16。 P54T12、 课本P54T12、13、14、16。


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