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第二章 专题研究2 图像变换


Go the distance

课时作业(三十一)
1.下列函数的图像中,经过平移或翻折后不能与函数 y=log2x 的图像重合的函数是( A.y=2x 4x C.y= 2 答案 C ) ) 1 B.y=log2x 1 D.y=log2x+1

2.函数 y=1+ax(0<a<1)的反函数的图像大致是(

答案

A

解析 ∵0<a<1,∴y=1+ax 的函数递减且图像过点(0,2),∴y=1 +ax 的反函数也递减且图像过点(2,0).故选 A. 3.已知函数 y=log1 x 与 y=kx 的图像有公共点 A,若点 A 的横
4

坐标为 2,则 k=( 1 A.-4 1 C.-2 答案 A

) 1 B.4
[来源:学科网 ZXXK]

1 D.2

解析 由于 A 点在 y=log1 x 的图像上, 则 A 点坐标满足 y=log1
4 4

1 1 1 1 2=-2,∴A(2,-2),又 A 在 y=kx 上,∴-2=k×2,∴k=-4,

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故选 A. 1 1 4.在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3)和 N(2,4)四点中,函数 y=ax 的图 像与其反函数的公共点可能是点( A.P C .M 答案 D ) B.Q D.N

解析 在验证时可以不动函数解析式, 只需把点的坐标对调即可, 点 P,Q 显然是不可能的,因为 loga1=0,不可能得到 1 或 2,下面验 1 1 1 x 证 N 点正确. 设 N(2, ) 在 y = a 图像上, ∴ 4 4=a
1 1 2

1 ?(4)

1 2

=(a

1 2

)

1 2



1 4 1 1 1 1 ∴2=a ,即4=loga2说明(2,4)在 y=logax 的图像上,所以 N 为公共 点.所以选 D. 5.方程 log2(x+2)= -x的实数解的个数为( A.0 C.2 答案 解析 B B.1 D.3 )

在同一坐标系中分别画出 y1=log2(x+2)与 y2= -x的图像, 如图

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所示, 由图像观察知二者有且仅有一个交点, 所以 log2(x+2)= -x有 且仅有一解,故选 B. 6.关于 x 的方程 x+lgx=3,x+10x=3 的根分别为 α,β,则 α +β 是( A.3 C.5 答案 解析 A ) B.4 D.6

lgx=3-x,10x=3-x 画出 y=lgx,y=10x,y=3-x 的图像如图所 示,A,B 两点横坐标分别是 β,α,A,B 两点关于直线 y=x 对称, 所以 A,B 两点的中点是 C,联立 y=x 和 y=3-x,求得 C 点横坐标 3 3 为2,所以 α+β=2×2=3,所以选 A. 1 7.函数 y=ln 的图像为( |2x-3| )

答案

A

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3 3 解析 易知 2x-3≠0,即 x≠2,排除 C,D 项.当 x>2时,函数 3 为减函数,当 x<2时,函数为增函数,所以选 A.
2 ? ?x ,x<0, 8.函数 y=? x 的图像大致是( ? ?2 -1,x≥0

)

答案

B

解析 当 x<0 时, 函数的图像是抛物线 y=x2(x<0)的图像; 当 x≥0 时,函数的图像是指数函数 y=2x(x≥0)的图像向下平移一个单位所得 的图像,所以选 B. 9.已知下图①的图像对应的函数为 y=f(x),则图②的图像对应 的函数在下列给出的四式中,只可能是( )

A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|) 答案 C

B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)

10.函数 y=2|log2x|的图像大致是(

)

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答案

C

解析 当 log2x>0,即 x>1 时,f(x)=2log2x=x; 1 当 log2x<0,即 0<x<1 时,f(x)=2-log2x=x . 1 所以函数图像在 0<x<1 时为反比例函数 y=x的图像, 在 x>1 时为 一次函数 y=x 的图像. lg|x| 11.函数 y= x 的图像大致是( )

答案

D )

1 12.函数 f(x)= 的图像是( 1+|x|

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答案 解析 1

C 本题通过函数 图像考查了函数 的性质. f(x) = 1 = 1+|x|

?1+x?x≥0?, ? 1 ?1-x?x<0?.

当 x≥0 时,x 增大,

1 减小,所以 f(x)在当 x≥0 1+x

1 时为减函数;当 x<0 时,x 增大, 增大,所以 f(x)在当 x<0 时为增 1-x 函数. 本题也可以根据 f(-x)= 图像关于 y 轴对称,故选 C. 13.已知函数 f(x)的定义域为[a,b],函数 y=f(x)的图像如下图所 示,则函数 f(|x|)的图像大致是( ) 1 1 = =f(x), 得 f(x)为偶函数, 1+|-x| 1+|x|

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答案

B

14.若把函数 y=f(x)的图像向左向上分别平移 2 个单位,得到 y =2x 的图像,则 f(x)=________. 答案 2x-2-2 15.若直线 y=2a 与函数 y=|ax-1|(a>0 且 a≠1)的图像有两个公 共点,则 a 的取值范围是________. 1 答案 0<a<2 1 16.若不等式 2x-logax<0 在 x∈(0,2)时恒成立,求实数 a 的取 值. 1 解析 要使不等式 2x<logax 在 x∈(0, 即函数 y=logax 2)时恒成立, 1 的图像在(0,2)内恒在函数 y=2x 图像的上方,由 y=2x,得图像过点 1 1 (2, 2),由右图可知 loga2> 2显然这里 0<a<1,∴函数 y=logax 单调 递减.

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1 又 loga2> 2=logaa ∴a <a<1.
2

2



1 1 2 1 2 >2,即 a>(2) 2 ,故所求的 a 的取值范围为(2) 2

[来源:Zxxk.Com]

1.(2013· 北京)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单 调递减的是( 1 A.y=x C.y=- x2+1 答案 解析 C 1 y=x是奇函数,选项 A 错;y=e-x 是指数函数, 非奇非偶, ) B.y=e-x D.y=lg|x|

选项 B 错;y=lg|x |是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,选项 D 错; 只有选项 C 是偶函数且在(0,+∞)上单调递减. 2.(2013· 浙江)已知 x,y 均为正实数,则( A.2lgx+lgy=2lgx+2lgy
lgy C.2lgx· =2lgx+2lgy

)
[来源:学科网]

B.2lg(x+y)=2lgx· 2lgy D.2lg(xy)=2lgx· 2lgy

答案 解析

D 取特殊值即可.如取 x=10,y=1,2lgx+lgy=2,2lg(xy)=2,2lgx

lgy +2lgy=3,2lg(x+y)=2lg11,2lgx· =1.

3.(2013· 陕西)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数,则下列等式中 恒成立的是( )

A.logab· logcb=logca B.logab· logca=logcb

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C.loga(bc)=logab· logac D.loga(b+c)=logab+logac 答案 解析 B logcb 利用对数的换底公式进行验证,logab· logca=log a· logca=
c

logcb,故选 B. 4. (2013· 课标全国Ⅱ)设 a=log36, b=log510, c=log714, 则( A.c>b>a C.a>c>b 答案 解析 D a=log36=1+log32,b=log510 =1+log52,c=log714=1 B.b>c>a D.a>b>c )

+log72,则只要比较 log32,log52,log72 的大小即可,在同一坐标系 中作出函数 y=log3x,y=log5x,y=log7x 的图像,由三个图像的相对 位置关系,可知 a>b>c,故选 D.
[来源:学 .科 .网 ]

5. (2013· 天津)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且在区间[0, +∞)上单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1 a)≤2f(1),则 a 的取
2

值范围是( A.[1,2] 1 C.[2,2] 答案 C

)

[来源:Z|xx|k.Com]

1 B.(0,2] D.(0,2]

解析 因为 log1 a=-log2a,且 f(x)是偶函数,所以
2

f(log2a) + f(log

1 2

a) = 2f(log2a) = 2f(|log2a|)≤2f(1) , 即

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f(|log2a|)≤f(1).又函数在[0,+∞)上单调递增,所以 0≤|log2a|≤1, 1 即-1≤log2a≤1,解得2≤a≤2. 6.(2013· 福建)函数 f(x)=ln(x2+1)的图像大致是( )

答案

A

解析 依题意, 得 f(-x)=ln(x2+1)=f(x), 所以函数 f(x)为偶函数, 即函数 f(x)的图像关于 y 轴对称,故排除 C.因为函数 f(x)过定点(0,0), 排除 B,D,故选 A. 7.(2013· 北京)函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度,所得图像 与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A.ex+1 C.e-x+1 答案 D )

B.ex-1 D.e-x-1

解析 与曲线 y=ex 关于 y 轴对称的曲线为 y=e-x,函数 y=e-x 的图像向左平移一个单位长度即可得到函数 f(x)的图像,即 f(x)=e-(x+1)=e-x-1. 8.(2010· 北京)给定函数①y=x
1 2

,②y=log1
2

(x+1),③y=|x )

-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( A.①② B.②③

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C.③④ 答案 B
1 2

D.①④

解析 对于①,y=x 故①错,排除 A,D. 对于②, y=log1
2

= x是幂函数,且它在(0,1)上单调递增,

(x+1)是将函数 y=log1 x 的图像沿 x 轴向左平
2

移一个单位而成,因为 y=log1 x 在定义域上单调递减,平移后仍然
2

是减函数,故②成立,排除 C. 9. (2010· 广东)若函数 f(x)=3x+3-x 与 g(x)=3x-3-x 的定义域均为 R,则( )

A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 答案 D )

10.(2010· 天津)设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( A.a<c<b C.a<b<c 答案 D B.b<c<a D.b<a<c

解析 a=log54∈(0,1),c=log45∈(1,+∞),b=(log53)2∈(0,1), c 最大,排除 A,B. 又∵b=(log53)2<log53<log54=a,∴b<a<c. ex+e-x 11.(2010· 山东)函数 y= x -x的图像大致为( e -e )

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答案

A

ex+e-x e2x+1 2 解析 因为 y= x -x= 2x =1+ 2x , 所以当 x>0 时函数为 e -e e -1 e -1 减函数,故选 A. 4x+1 12.(2010· 重庆)函数 f(x)= 2x 的图像( A.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 答案 D )

B.关于直线 y=x 对称 D.关于 y 轴对称

13.(2011· 安徽)若点(a,b)在 y=lgx 图像上,a≠1,则下列点也 在 此图像上的是(
?1 ? A.?a,b? ? ? ? ?10 ? C.? a ,b+1? ?

) B.(10a,1-b) D.(a2,2b)

答案

D )

1 14.(2012· 山东)函数 f(x)= + 4-x2的定义域为( ln?x+1? A.[-2,0)∪(0,2] C.[-2,2] 答案 B B.(-1,0)∪(0,2] D.(-1,2]

解析 要使函数有意义,必有

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x+1>0, ? ? ?ln?x+1?≠0, ? ?4-x2≥0

x>-1, ? ? ??x≠0, ? ?-2≤x≤2

?-1<x<0 或 0<x≤2.故选 B.

15.(2012· 陕西)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y=x 答案 解析 D B.y=-x3 D.y=x|x|

)

y=x+1 为增函数但不是奇函数;y =-x3 为奇函数但为减

1 函数;y=x 为奇函数但不是单调函数;对于 y=x|x|,f(-x)=-x|x|, -f(x)=-x|x|, ∴f(-x)=-f(x),∴y=x|x|为奇函数.
?x2,x≥0, ? 又 y=x|x|=? 2 结合图像知 y=x|x|为增函数,故选 D. ?-x ,x<0, ?

16.(2012· 四川)函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图像可能是(

)

答案

C

解析 当 x=1 时,y=a1-a=0,所以 y=ax-a 的图像必过定点 (1,0),结合选项可知选 C. 1 17.(2012· 天津)已知 a=21.2,b=(2)-0.8,c=2log52,则 a,b,c 的大小关系为( A.c<b<a ) B.c<a<b

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C.b<a<c 答案 A

D.b<c<a

1 4 解析 a=21.2>20=1,b=(2)-0.8=25>20=1,c=2log52=log54<1, 6 4 所以 a>c,b>c,又因为 a=25>25=b,所以 a>b>c. 18.(2012· 重庆)已知 a=log23+log2 3,b=log29-log2 3,c= log32,则 a,b,c 的大小关系是( A.a=b<c C.a<b<c 答案 B ) B.a=b>c D.a>b>c

解析 ∵a=log23+log2 3=log23 3, b=log29-log2 3=log2 9 =log23 3. 3

∴a=b=log23 3>log22=1. ∵c=log32<log33=1,∴a=b>c,故选 B . 1 19.(2012· 课标全国)当 0<x≤2时,4x<logax,则 a 的取值范围是 ( ) 2 A.(0, 2 ) C.(1, 2) 答案 解析 B 2 B.( 2 ,1) D.( 2,2)

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易知 0<a<1,则函数 y=4x 与 y=logax 的大致图像如图,只需满 1 2 2 足 loga2>2,解得 a> 2 ,∴ 2 <a<1,故选 B.


20.(2012· 大纲全国)已知 x=lnπ,y=log52,z=e A.x<y<z C.z<y<x 答案 D


1 2

,则(

)

B.z<x<y D.y<z<x

解析 由已知得 x=lnπ>1,y=log52∈(0,1),z=e 2<e<3, ∴ 2< e< 3, ∴ 1 =2,得 y<z<x,故选 D. 21.(2011· 江苏)f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是 ________. 答案 1 (-2,+∞)
1 2

1 2

∈(0,1),又

1 1 1 1 1 > >2, 得 z=e-2>2, 而 y=log52<log5 5 e 3

- 1 22.(2011· 四川)计算(lg4-lg25)÷ 100

=______.

答案

-20 x+1 x 的定义域为________.

23.(2012· 广东文)函数 y=

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答案 解析 x≠0}.

{x|x≥-1,且 x≠0}
? ?x≥-1, x+1 由? 得函数 y= x 的定义域为{x|x≥-1,且 ?x≠0, ?

24. (2012· 上海)已知 y=f(x)是奇函数. 若 g(x)=f(x)+2 且 g(1)=1, 则 g(-1)=________. 答案 3 解析 由 g(x)=f(x)+2,且 g(1)=1,得 f(1)=g(1)-2=-1. ∵f(x)是奇函数,∴f(-1)=-f(1)=1. ∴g(-1)=f(-1)+2=1+2=3. 25.(2012· 山东)若函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)在[-1,2]上的最大值 为 4,最小值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数, 则 a=________. 1 答案 4 解析 ∵g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数, 1 ∴应有 1-4m>0,即 m<4. 当 a>1 时,f(x)=ax 为增函数,
?a2=4, ? 1 1 由题意知? -1 ?m=2,与 m<4矛盾. ?a =m ?

当 0<a<1 时,f(x)=ax 为减函数,
2 ? ?a =m, 1 1 1 由题意知? -1 ?m=16,满足 m<4.故 a=4. ?a =4 ?

26.(2012· 北京) 已知函数 f(x)=lgx.若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)= ________.

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答案 2 解析 ∵f(x)=lgx,f(ab)=1,∴lg(ab)=1,∴f(a2)+f(b2)=lga2+ lgb2=2lga+2lgb=2lg(ab)=2.


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