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四川省凉山州2013届高三第二次诊断性测试文科数学试题


四川省凉山州 2013 届高三第二次诊断性测试

数学(文)试题
本试卷分选择题和非选择题两部分。第 I 卷(选择题) ,第 II 卷(非选择题) ,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写 在答题卡上, 并检查条形码粘贴是否正确。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上;非选择题用 0 5 毫米黑色 签字笔书写在答题卡的对应框内,超山答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题 卷上答题无效。 3 考试结束后,将答题卡收回。

第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题(共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 符合要求) 1.设集合 A={x|| x|>2},B={x|x2-2x-3<0},则 A ? B=( ) , A. (一∞,-2) ? (-1,+ ? ) B. (-1,3) C. (2,3) D. (-1,2) 2.命题 p: ?x ∈R,x2-3≤0,则 ? p 是( ) A. ?x ∈R,x2-3>0 C. ? x∈R,x2-3≤0 3.递增等比数列{an}中,a2+ a5=9,a3a4=18,则 B. ?x ∈R, x2-3≥0 D. ? x∈R,x2-3>0

a2013 =( a2010



A.

1 2

B.2 D.8

C.4

?x ? y ? 6 y ? 4.若 x、y 满足 ? x ? 1 ,则 的最大值为( x ?y ? 3 ?
A.5 B.4 C.3 D.1 5.执行如图程序框图,输出结果是( A.1 B.2 C.





1 2

D.4 )

6.某几何体三视图如图所示,则其体积为( A.2 ? B.4 ? C. ? +2 D. ? +6 7.雨数 f(x)=cosx cos( A.0 B.1

? +x)+x 的零点的个数为( 2
C. 2 D. 3
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8. A、B 是抛物线 x2=y 上任意两点(非原点) ,当 OA · 最小时,O A、OB 两条直线 OB 的斜率之积 kOAkOB 的值为( A. ) C. 3 D.- 3 ) D.

??? ??? ? ?

1 2

B.-

1 2

9.从(0,2)内随机取两个数,则这两个数的和小于 1 的概率为( A.

1 16

B.

1 8

C.

1 4

1 2

10.图 1 是边长为 1 的菱形,∠DAB= 60o,现沿 BD 将△ ABD 翻折起,得四面体 A′- BDC (图 2) ,若二面角 A′-BD -C 的平面角为 ? (0<a< ? ) ,给出以下四个命题: (1)BD⊥A'C;②A'C 的长的范围是(0, 3 ) ;③当 A'B⊥DC 时,则 cos ? ? ④当四面体 A'-BDC 体积最大时, A'-BDC 的外接球的表面积是 其中真命题的个数为( ) A.1 B.2

5? . 3
D.4

1 ; 3

C.3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.复数 (a ? i ) ? 3 ? bi (i 为虚数单位, a, b ? R) ,则 ab=
2



12.(

1 ) 2

-2

+ 1og 2 7 ? 1og 2

1 = 7

。 。 。

4 ? m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 14.若 a 在 b 上的投影为 1,| a - b | =2,< a - b , b >=120° ,则| b |=
13.设实数 x>0,若 x+

15.在直角坐标平面内,点 A(x,y)实施变换 f 后,对应点为 A '( y, x) ,给出以下命题: ①圆 x ? y ? r (r ? 0) 上任意一点实施变换 f 后,对应点的轨迹仍是网 X2+y2=r2:
2 2 2

②若直线 y=kx+b 上海一点实施变换 f 后, 对应点的轨迹方程仍是 y ? kx ? b, 则k ? ?1;

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③椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 每一点,实施变换 f 后,对应点的轨迹仍是离心率小变 a 2 b2

的椭圆; ④曲线 C; y ? 1nx ? x( x ? 0) 上每一点实施变换 f 后,对应点轨迹足曲线 C',M 是曲线 C 上任意一点,N 是曲线 C'上任意一点,则|MN|的最小值为 2(1 ? ln 2) 。 以上正确命题的序号是 (写出全部正确命题的序号) 三、解答题(共 6 个小题,共 75 分) 16. (12 分)春节期间,甲乙两社区各 5 人参加社区服务写春联活动。据统计得两社区 5 人 书写对联数目如径叶图所示. (1)分别求甲乙两社区书写对联数的平均数; (2)在对联数不少于 10 的人中,甲乙两社区各抽取 1 人,记其对联数分别为 a,b, 设 X=|a-b|,求 X 的值为 1 时的概率。

17 . 12 分 ) 锐 角 △ ABC 中 , a , b , c 为 其 内 角 A 、 B 、 C 所 对 边 长 , 向 量 (

?? ? ??? ???? ? ?? ? ? ? m ? (sin A ? sin B,sin( B ? )), n ? (sin A ? sin B,sin( B ? )) ,若 m ? n, AB ·AC = 3 3
12。 (1)求角 A; (2)若 a=7,求 b,c(其中 b<c) .

18. (12 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB= AC,BC= 2BB1,D 为 BC 中点。 (1)证明:A1B∥平面 C1AD; (2)证明:平面 B1AD⊥平面 ClAD.

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19.(12 分)已知等差数列{an},等比数列{bn}均为递增数列,且 a1=1,b1=2,b2=2a2,b3= a3+ a5。 (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)记 Cn=an·n,数列{an}的前 n 项和为 Sn,求证 Sn<2Cn. b

20. (13 分)设函数 f (x)=x2+3ax2-4(a ? R, x ? R),g(x)= -2ax2+x (a∈R, x∈R)。 (1)若函数 f (x)在(02)上单调递减,在区问(2,+ ? )单凋递增,求 a 的值; (2)若函数 y=f (x)+g (x)在 R 上有两个不同的极值点,求

3 g 2 (1) 的取值范围; f (1) ? 3

(3)若方程 f2(x)-64f (x)=0,有且只有三个不同的实根,求 a 的取值范围。

21. (14 分)设椭圆 E :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , F1 , F2 是其左右焦点,点 P 2 a b 2

a2 ? 2 2 2 (xo,3)是直线 x ? (其中 c ? a ? b )上一点,且直线 PF2 的倾斜角为 . c 4
(1)求椭圆 E 的方程; (2)若 A、B 是椭圆 E 上两点,满足|AB|=1,求△ AOB(O 为坐标原点)面积的最小 值.
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