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7-4基本不等式


高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

第4课时 基本不等式

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2016 考纲下载

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1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基

本不等式解决简单的最值问题.

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请注意 基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查 之一, 它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节, 且常考常新, 但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方 面的应用.

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课前自助餐

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基本不等式 a+b 若 a,b∈R+,则 ≥ ab,当且仅当 a=b 时取“=”. 2 这一定理叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数.

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常用不等式 (1)若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时取“=”.
? a2+b2 ? ?a+b?2 (2) ≥? ≥ab. ? 2 ? 2 ?

(3)a2+b2≥2|ab|.
? 1? (4)?x+x?≥2. ? ?

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利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果 x,y∈(0,+∞),且 xy=p(定值), 那么当 x=y 时,x+y 有最小值 2 p. (2)如果 x,y∈(0,+∞),且 x+y=S(定值), S2 那么当 x=y 时,xy 有最大值 . 4

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1.x∈R,下列不等式恒成立的是( A.x +1≥x C.lg(x2+1)>lg(2x)
答案 A
2

) 1 B. 2 <1 x +1 D.x2+4>4x

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2.下列不等式证明过程正确的是( b a A.若 a,b∈R,则 a+b≥2 ba a· b=2

)

B.若 x>0,y>0,则 lgx+lgy≥2 lgx·lgy 4 C.若 x<0,则 x+x≥-2 4 x· x=-4

D.若 x<0,则 2x+2-x>2 2x·2-x=2

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答案 D 解析 ∵x<0,∴2x∈(0,1),2 x>1.


∴2x+2-x>2 2x·2-x=2.∴D 正确. 而 A,B 首先不满足“一正”,C 应当为“≤”.

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3.若x+2y=4,则2x+4y的最小值是( A.4 C.2 2
答案 解析 B ∵2x+4y≥2 2x·22y=2 2x
+2y

)

B.8 D.4 2
=2 24=8,当且仅当 2x

=22y,即 x=2y=2 时取等号, ∴2x+4y 的最小值为 8.

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4.设x>0,y>0,且x+4y=40,则lgx+lgy的最大值是 ( ) A.40 C.4 B.10 D.2

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答案 D 解析 ∵x+4y=40,且 x>0,y>0, ∴x+4y≥2 x· 4y=4 xy.(当且仅当 x=4y 时取“=”) ∴4 xy≤40.∴xy≤100. ∴lgx+lgy=lgxy≤lg100=2. ∴lgx+lgy 的最大值为 2.

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5. (课本习题改编)建造一个容积为 8 m3, 深为 2 m 的长方体 无盖水池,如果池底和池壁 1 m2 的造价分别为 120 元和 80 元, 那么水池表面积的最低造价为________元.
答案 1 760 解析 设水池底面的长度、宽度分别为 a m,b m,则 ab=4, 令水池表面的总造价为 y, 则 y=ab×120+2(2a+2b)×80 =480+320(a+b)≥480+320×2 ab=480+320×4=1 760, 当 且仅当 a=b=2 时取“=”.

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授人以渔

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? 题型一 求最值 例1 1 在下列条件下,求 y=4x-2+ 的最值. 4x-5

5 (1)当 x<4时,求最大值; 5 (2)当 x> 时,求最小值; 4 (3)当 x≥2 时,求最小值.

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【解析】

5 (1)∵x<4,∴5-4x>0.

? 1 ? 1 ? ∴ y= 4x - 2+ =- ?5-4x+5-4x? ? + 3≤ - 2 + 3 = 1. 当 4x-5 ? ?

1 且仅当 5-4x= ,即 x=1 时,上式等号成立. 5-4x 故当 x=1 时,ymax=1. 5 (2)∵x>4,∴4x-5>0. 1 1 y=4x-2+ =4x-5+ +3≥2+3=5. 4x-5 4x-5

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1 3 当且仅当 4x-5= ,即 x=2时上式“=”成立. 4x-5 3 即 x= 时,ymin=5. 2 1 (3)当 x≥2 时,y=4x-2+ 为增函数, 4x-5 1 19 ∴ymin=4×2-2+ = . 4×2-5 3 【答案】 (1)1 (2)5 19 (3) 3

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探究 1 用均值定理求最值要注意三个条件:一正、二定、 三相等.“一正”不满足时,需提负号或加以讨论,如例(1), “二 定”不满足时,需变形如例(2), “三相等”不满足时,可利用函 数单调性如例(3).

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思考题 1

16x2-28x+11 (1)已知函数 y= . 4x-5

4 ①当 x≤ 时,求 y 的最大值; 5 5 ②当 x≠4时,求 y 的值域; 5 ③当 0<x<4时,求 y 的最大值. Ax2+Bx+C x (2)自己总结形如 y= 或 y = 的一类 2 x Ax +Bx+C 函数的值域或最值的求法.

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【解析】

t+5 (1)①设 4x-5=t,则 x= 4 .

4 9 ∵x≤5,∴t≤-5. t2+3t+1 1 ∴y= =t+ t +3. t 1 1 设 g(t)=t+ t ,∴g′(t)=1-t2>0. 9 ∴g(t)在(-∞,-5]上为增函数. 9 5 29 ∴ymax=-5-9+3=45.

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②设 4x-5=t,则 t≠0. 1 ∴y=t+ t +3. 当 t>0 时,y≥2+3=5; 当 t<0 时,y≤-2+3=1. ∴函数的值域为(-∞,1]∪[5,+∞). 5 ③x∈(0,4)时,t∈(-5,0). 1 1 y=t+ +3, y′=1- 2. t t

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令 y′=0,得 t=-1. t∈(-5,-1)时,y′>0. t∈(-1,0)时,y′<0. ∴t=-1 时,ymax=1. 29 【答案】 (1)①45 ②(-∞,1]∪[5,+∞) ③1 (2)略

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? 题型二 例2

求二元函数的最值

1 1 (1)已知 x>0,y>0,且 x+2y=1,求 + 的最小值. x y

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【解析】

∵x+2y=1,

1 1 1 1 x 2y ∴ + =( + )· (x+2y)=3+ + x y x y y x ≥3+2 x 2y · =3+2 2. y x

x 2y ?x= 2-1, ? ? ? = , y x 当且仅当? 即? 2 时取等号. y=1- 2 ? ?x+2y=1, ? ? 1 1 故x+y的最小值为 3+2 2. 【答案】 3+2 2

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1 9 (2)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值. x y 1 9 【解析】 方法一:减少元素个数.根据条件x+y=1 解出 y
或 x,用只含 x 或 y 的代数式表示 y 或 x,代数式 x+y 转化为只含 x 的函数,再考虑利用基本不等式求出最值. 1 9 y 由 x+y=1,得 x= . y-9 ∵x>0,y>0,∴y>9. y-9+9 y ∴x+y= +y=y+ y-9 y-9 9 9 =y+ +1=(y-9)+ +10. y-9 y-9
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∵y>9,∴y-9>0. 9 ∴y-9+ +10≥2 y-9 9 (y-9)· +10=16. y-9

9 当且仅当 y-9= ,即 y=12 时取等号. y-9 1 9 又 + =1,则 x=4. x y ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 方法二:在利用基本不等式求最值时,巧妙运用“1”的代换, 也会给解决问题提供简捷的解法.

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1 9 ∵ + =1, x y 1 9 y 9x ∴x+y=(x+y)· (x+y)=10+x+ y . y 9x ∵x>0,y>0,∴ + ≥2 x y y 9x · =6. x y

y 9x 当且仅当x= y ,即 y=3x 时,取等号. 1 9 又x+y=1,∴x=4,y=12. ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 【答案】 16
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探究 2 (1)要创造条件应用均值定理:和定积最大,积定和 最小.多次应用时,必须保证每次取等号的条件相同,等号才可 以传递到最后的最大(小)值. (2)注意“1”的代换技巧. (3)本题(1)易错解为: 2 1=x+2y≥2 2xy,∴ xy≤ 4 . 1 1 2 8 ∴x+y≥ ≥ =4 2. xy 2 其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立.
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思考题2 为________.

1 2 (1)已知正数a,b满足a+b=4, a +b 的最小值

x y (2)(2015· 福建文)若直线a +b=1(a>0,b>0)过点(1,1),则 a+b的最小值等于( A.2 C.4 ) B.3 D.5

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【解析】

1 2 1 2 a+b 1 b 2a 3+2 2 (1) a+b=(a+b)· 4 =4(3+a+ b )≥ 4 .(当

且仅当 b= 2a=4(2- 2)时取等号). x y 1 (2)方法一:因为直线 a+b=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以 a+ 1 1 1 =1, 所以 1= + ≥2 b a b 11 2 ·= (当且仅当 a=b=2 时取等号), ab ab

所以 ab≥2.又 a+b≥2 ab(当且仅当 a=b 时取等号),所以 a+ b≥4(当且仅当 a=b=2 时取等号),故选 C.

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x y 1 1 方法二:因为直线a+b=1(a>0,b>0)过点(1,1),所以a +b 1 1 a b =1,所以 a+b=(a+b)( a+b)=2+b+a≥2+2 当 a=b=2 时取等号),故选 C. 3+2 2 【答案】 (1) 4 (2)C ab b· a=4(当且仅

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? 题型三 例3

求参数的取值范围

若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,求:

(1)ab 的取值范围; (2)a+b 的取值范围.

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【解析】 (1)∵ab=a+b+3≥2 ab+3, 令 t= ab>0,∴t2-2t-3≥0,∴(t-3)(t+1)≥0. ∴t≥3 即 ab≥3,∴ab≥9,当且仅当 a=b=3 时取等号. a+b 2 (2)∵ab=a+b+3,∴a+b+3≤( ). 2 令 t=a+b>0,∴t2-4t-12≥0,∴(t-6)(t+2)≥0. ∴t≥6 即 a+b≥6,当且仅当 a=b=3 时取等号. 【答案】 (1)[9,+∞) (2)[6,+∞)

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探究 3 利用方程的思想是解决此类问题的常规解法. a+3 另外,第二问也可用如下方法求解:由已知 b= >0,∴a a-1 a+3 a-1+4 4 -1>0,∴a+b =a+ =a+ = a+ 1 + =(a-1) + a-1 a-1 a-1 4 +2≥6. a-1

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思考题 3

若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的

最小值是________.
【解析】 由基本不等式, 得 xy≥2 2 xy+6.令 xy=t 得不等 式 t2-2 2t-6≥0,解得 t≤- 2(舍去)或者 t≥3 2,当且仅当 x= 3,y=6 时,取等号.故 xy 的最小值为 18. 【答案】 18

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? 题型四 证明不等式 例4 (1)已知 a,b,c∈R,求证:

a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).

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【证明】 ∵a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2, ∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2). 即 a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2. 又 a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2, c2a2+a2b2≥2a2bc, ∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc). 即 a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+abc2+a2bc=abc(a+b+c). 【答案】 略

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1 1 1 (2)已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,求证: + + ≥9. a b c 【证明】 ∵a+b+c=1,
1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c ∴ + + = + + a b c a b c b c a c a b =3+a+a+b+b+c+ c b a c a c b =3+(a +b)+(a+c)+(b+c ) ≥3+2+2+2=9. 1 当且仅当 a=b=c=3时,取等号. 【答案】 略
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探究 4

证明不等式时,可依据求证式两端的式子结构,合

理选择重要不等式及其变形不等式来证. 本题先局部运用基本不等式,然后用不等式的性质,通过不 等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式,这种证明方法在 证明这类轮换对称不等式时具有一定的普遍性.

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思考题 4

(1)已知 a>0,b>0,c>0 且 a,b,c 不全相等,

bc ac ab 求证: a + b + c >a+b+c.

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【证明】

∵a,b,c∈(0,+ ∞),且不全相等, bc ac a· b =2c.

bc ac ∴ a + b ≥2

ac ab ab bc 同理: + ≥2a, + ≥2b. b c c a 上述三个等号至少有一个不成立,三式相加,得
?bc ac ab? 2? a + b + c ?>2(a+b+c). ? ?

bc ac ab 即 a + b + c >a+b+c. 【答案】 略

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(2) a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥ 2(a+b+c).

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【证明】

a2+b2 a+b 2 ∵ ≥( ), 2 2

a2+b2 |a+b| a+b ∴ ≥ ≥ . 2 2 2 2 即 a +b ≥ (a+b). 2
2 2

2 同理 b +c ≥ 2 (b+c),
2 2

2 c +a ≥ 2 (c+a).
2 2

三式相加,得 a2+b2+ b2+c2+ c2+a2≥ 2(a+b+c). 【答案】 略
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? 题型五 例 5

实际应用

如图所示,为处理含有某种杂质

的污水,要制造一个底宽 2 m 的无盖长方体 的沉淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长度为 a m,高度为 b m, 已知流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积 ab 成反比.现 有制箱材料 60 m2,问 a,b 各为多少 m 时,经沉淀后流出的水中 该杂质的质量分数最小(A,B 孔面积忽略不计).

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【解析】 设 y 为流出的水中杂质的质量分数, k 根据题意可知:y= ,其中 k 是比例系数且 k>0. ab 依题意要使 y 最小,只需求 ab 的最大值. 由题设,得 4b+2ab+2a=60(a>0,b>0), 即 a+2b+ab=30(a>0,b>0). ∵a+2b≥2 2ab,∴2 2· ab+ab≤30.

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当且仅当 a=2b 时取“=”号,ab 有最大值. ∴当 a=2b 时有 2 2· ab+ab=30,即 b2+2b-15=0. 解之得 b1=3,b2=-5(舍去),∴a=2b=6. 故当 a=6 m,b=3 m 时经沉淀后流出的水中杂质的质量分 数最小. 【答案】 a=6 m,b=3 m

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探究 5 (1)解应用题时,一定要注意变量的实际意义,从而 指明函数的定义域. (2)一般利用均值不等式求解最值问题时, 通常要指出取得最 值时的条件,即“等号”成立的条件. (3)在求函数最值时,除应用基本不等式外,有时会出现基本 不等式取不到等号,此时要利用函数的单调性.

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思考题 5

如图,在半径为 30 cm 的半

圆 形 (O 为 圆 心 ) 铝 皮 上 截 取 一 块 矩 形 材 料 ABCD,其中点 A,B 在直径上,点 C,D 在 圆周上. (1)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最 大面积; (2)若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆 柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗 ),应怎样截取,才能使做 出的圆柱形罐子体积最大?并求最大体积.
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【解析】 (1)连接 OC. 设 BC=x,矩形 ABCD 的面积为 S. 则 AB=2 900-x2,其中 0<x<30. 所以 S = 2x 900-x2 = 2 x2(900-x2) ≤ x2 + (900 - x2) = 900.当且仅当 x2=900-x2,即 x=15 2时,S 取最大值 900 cm2. 答:取 BC 为 15 2 cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大 值为 900 cm2.

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(2)设圆柱底面的半径为 r,高为 x,体积为 V.
2 900 - x 由 AB=2 900-x2=2πr,得 r= . π

1 所以 V=πr x= (900x-x3),其中 0<x<30. π
2

1 由 V′= (900-3x2)=0,得 x=10 3. π 1 因此 V= (900x-x3)在(0, 10 3)上是增函数, 在(10 3, 30) π 上是减函数.

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6 000 3 所以当 x=10 3时,V 取最大值为 cm3. π 答:取 BC 为 10 3 cm 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最 6 000 3 大值为 cm3. π 【答案】 (1)取 BC 为 15 2 cm 时,矩形 ABCD 的面积最

大,最大值为 900 cm2. (2)取 BC 为 10 3 cm 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最 6 000 3 大值为 cm3. π
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1. 利用基本不等式求最值, “和定积最大, 积定和最小”. 应 用此结论要注意三个条件:“一正二定三相等”. 2.对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且要掌握它 a+b 2 a2+b2 a+b 的变形及公式的逆用等,例如 ab≤( 2 ) ≤ 2 , ab≤ 2 ≤ a2+b2 (a>0,b>0)等. 2

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自 助 餐

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1.下列函数中,最小值为 4 的是( 4 A.y=x+ x 4 B.y=sinx+sinx(0<x<π ) C.y=4ex+e
-x

)

D.y=log3x+logx3(0<x<1)

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答案 C 解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a=b”,同时考 虑函数的定义域,A 中 x 的定义域为{x|x∈R,且 x≠0},函数没 4 有最小值;B 中若 sinx=sinx取到最小值 4,则 sin2x=4,显然不 成立.D 中没有最小值.故选 C.

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2.(2015· 重庆文)设 a,b>0,a+b=5,则 a+1+ b+3的 最大值为________.
答案 解析 3 2 ( a+1 + b+3)2 = a + b + 4 + 2 a+1 · b+3 ≤ 9 +

( a+1)2+( b+3)2 2· =9+a+b+4=18,所以 a+1+ b+3 2 7 3 ≤3 2,当且仅当 a+1=b+3 且 a+b=5,即 a= ,b= 时等号成 2 2 立.所以 a+1+ b+3的最大值为 3 2.

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1 4 3.已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= a+b的最小值是( 7 A.2 9 C. 2 B.4 D.5

)

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答案 解析

C 1 4 11 4 1 b 4a 1 依题意得 + = ( + )(a+b)= ×[5 +( + )]≥ a b 2 a b 2 a b 2 ? ?a+b=2, ?b 4a b 4a 9 2 4 ? = , 即 a=3,b=3时取 a× b )=2,当且仅当? a b ? ?a>0,b>0,

×(5+2

1 4 9 等号,即 + 的最小值是 . a b 2

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4.设 0<a<b,则下列不等式中正确的是 ( a+b A. a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2 a+b B.a< ab< 2 <b D. a+b ab<a< <b 2

)

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答案 B 解析 方法一(特值法):代入 a=1,b=2,则有 0<a=1< ab a+b = 2< 2 =1.5<b=2. a+b 方法二(直接法): 我们知道算术平均数 与几何平均数 ab 2 的大小关系,其余各式作差(作商)比较即可,答案为 B.

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a+b 5. (2015· 陕西)设 f(x)=lnx, 0<a<b, 若 p=f( ab), q=f( ), 2 1 r=2(f(a)+f(b)),则下列关系式中正确的是( A.q=r<p C.p=r<q B.q=r>p D.p=r>q )

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答案 C a+b a+b 1 解析 p=f( ab)=ln ab, q=f( )=ln , r= (lna+lnb) 2 2 2 =ln ab a+b 函数 f(x)=lnx 在(0,+∞)上单调递增,因为 > ab,所 2 以 p=r<q.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

a 6.(2013· 四川文)已知函数 f(x)=4x+x(x>0,a>0)在 x=3 时 取得最小值,则 a=________.
答案 解析 36 a f(x)=4x+x≥2 a a 2 4x· = 4 a( 当且仅当 4x = , 即 a = 4x x x

时取等号),则由题意知 a=4×32=36.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

课外阅读

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

不等式中恒成立问题的解法 一般解法: (1)f(x)≤0(或≥0)恒成立?f(x)max≤0(或 f(x)min≥0); (2)含参数不等式恒成立问题,首选方法是分离参数转化为 f(x)≥a(或≤a)形式,其次是数形结合.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

x 例 1 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则实数 a 的取 x +3x+1 值范围是________.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

x 【解析】 若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,只需求得 x +3x+1 x x y= 2 的最大值即可.因为 x>0 ,所以 y= 2 = x +3x+1 x +3x+1 1 ≤ 1 x + +3 2 x 1 1 x·+3 x 1 = ,当且仅当 x=1 时取等号,所以 a 的取 5

1 值范围是[5,+∞). 1 【答案】 [ ,+∞) 5

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

1 1 m 例 2 (2016· 衡水调研卷)设 x>0,y>0,不等式 + + ≥ x y x+y 0 恒成立,则实数 m 的最小值是________.

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

m 1 1 【解析】 原问题等价于 ≥-(x+y)恒成立, x+y 1 1 ∵x>0,y>0,∴等价于 m≥-( + )(x+y)的最大值. x y 1 1 y x 而-(x+y)(x+y)=-2-(x+y)≤-2-2=-4,当且仅当 x =y 时取“=”,故 m≥-4. 【答案】 -4

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

2 1 例 3 已知 x>0,y>0,且x+y=1,若 x+2y>m2+2m 恒成 立,则实数 m 的取值范围是( A.m≥4 或 m≤-2 C.-2<m<4 ) B.m≥2 或 m≤-4 D.-4<m<2

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高考调研 ·高三总复习 ·数学 (理)

2 1 【解析】 ∵x>0,y>0,且x+y=1, 2 1 4y x ∴x+2y=(x+2y)( + )=4+ + ≥4+2 x y x y 4y x ·=8,当且 x y

4y x 2 1 2 2 仅当 x =y, 即 4y =x , x=2y 时取等号, 又x+y=1, 此时 x=4, y=2,∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立,只需(x+ 2y)min>m2+2m 恒成立,即 8>m2+2m,解得-4<m<2. 【答案】 D

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